上海民辦社科星光高級中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

上海民辦社科星光高級中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知A，B分別為橢圓+=1（a＞b＞0）的右頂點和上頂點，直線y=kx（k＞0）與橢圓交于C，D兩點，若四邊形ABCD的面積最大值為2c2，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出C，D的坐標，得到|CD|，再由點到直線的距離公式求出A，B到直線的距離，把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個三角形的面積和，由基本不等式求得最大值，結(jié)合最大值為2c2求得橢圓的離心率．【解答】解：如圖，聯(lián)立，得C（），D（），∴|CD|==．A（a，0）到直線kx﹣y=0的距離為=，B（0，b）到直線kx﹣y=0的距離為，∴四邊形ABCD的面積S===．當(dāng)且僅當(dāng)ak=b，即k=時上式等號成立，∴，即2a2b2=4c4，∴a2b2=2c4，則a2（a2﹣c2）=2c4，解得：．故選：D．2.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．是的一個極值點

B．和都是的極值點

C.和都是的極值點

D．，，都不是的極值點參考答案：A3.已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，且滿足（是f(x)的導(dǎo)函數(shù)），則不等式的解集為（）A.(－1,2) B.(1,2) C.(1,+∞) D.(－∞,2)參考答案：C【分析】根據(jù)可知在上單調(diào)遞減；利用定義可求得；將不等式變?yōu)?，根?jù)單調(diào)性可得不等式，從而求得結(jié)果.【詳解】由得：令，則在上單調(diào)遞減由定義域為可得：，解得：

即：

，解得：綜上所述：本題正確選項：【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式的問題，涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、抽象函數(shù)定義域的求解.關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€函數(shù)值之間的比較，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞康牟坏汝P(guān)系.4.記確定的區(qū)域為,確定的區(qū)域為,在區(qū)域中每次任取個點,連續(xù)取次得到個點,則這個點中恰好只有個點在區(qū)域中的概率為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A5.焦點在x軸上的橢圓方程為+=1（a＞b＞0），短軸的一個端點和兩個焦點相連構(gòu)成一個三角形，該三角形內(nèi)切圓的半徑為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)AB=2c，AC=AB=a，OC=b，根據(jù)三角形面積相等求得a和c的關(guān)系，由e=，即可求得橢圓的離心率．【解答】解：由橢圓的性質(zhì)可知：AB=2c，AC=AB=a，OC=b，SABC=AB?OC=?2c?b=bc，SABC=（a+a+2c）?r=?（2a+2c）×=，∴=bc，a=2c，由e==，故答案選：C．【點評】本題主要考察橢圓的基本性質(zhì)，考察三角形的面積公式，離心率公式，屬于基礎(chǔ)題．6.類比“等差數(shù)列的定義”給出一個新數(shù)列“等和數(shù)列的定義”是（

）A．連續(xù)兩項的和相等的數(shù)列叫等和數(shù)列B．從第一項起，以后每一項與前一項的和都相等的數(shù)列叫等和數(shù)列C．從第二項起，以后每一項與前一項的差都不相等的數(shù)列叫等和數(shù)列D．從第二項起，以后每一項與前一項的和都相等的數(shù)列叫等和數(shù)列參考答案：D7.雙曲線方程為，則它的右焦點坐標為

（

）參考答案：C8.某大學(xué)數(shù)學(xué)系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年級的人數(shù)比為4：3：2：1，要用分層抽樣的方法從所有本科生中抽取一個容量為200的樣本，則應(yīng)抽取三年級的學(xué)生人數(shù)為（）A．80 B．40 C．60 D．20參考答案：B【考點】分層抽樣方法．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個容量為200的樣本，根據(jù)一、二、三、四年級的學(xué)生比為4：3：2：1，利用三年級的所占的比例數(shù)除以所有比例數(shù)的和再乘以樣本容量即得抽取三年級的學(xué)生人數(shù)．【解答】解：∵要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個容量為200的樣本，一、二、三、四年級的學(xué)生比為4：3：2：1，∴三年級要抽取的學(xué)生是×200=40，故選：B．【點評】本題考查分層抽樣方法，本題解題的關(guān)鍵是看出三年級學(xué)生所占的比例，本題也可以先做出三年級學(xué)生數(shù)和每個個體被抽到的概率，得到結(jié)果．9.已知，，且，，則（

）A． B． C． D．參考答案：C10.從字母a，b，c，d，e，f中選出4個字母排成一列，其中一定要選出a和b，并且必須相鄰（a在b的前面），共有排列方法（）種．A．36 B．72 C．90 D．144參考答案：A【考點】D9：排列、組合及簡單計數(shù)問題．【分析】再從剩余的4個字母中選取2個，方法有種，再將這2個字母和整體ab進行排列，方法有=6種，根據(jù)分步計數(shù)原理求得結(jié)果．【解答】解：由于ab已經(jīng)選出，故再從剩余的4個字母中選取2個，方法有=6種，再將這2個字母和整體ab進行排列，方法有=6種，根據(jù)分步計數(shù)原理求得所有的排列方法共有6×6=36種，故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察下列不等式1+＜，1++＜，1+++＜，…照此規(guī)律，第五個不等式為

．參考答案：1+++++＜

【考點】歸納推理．【分析】由已知中不等式1+＜，1++＜，1+++＜，…，分析不等式兩邊的變化規(guī)律，可得答案．【解答】解：由已知中：不等式：1+＜，1++＜，1+++＜，…歸納可得：第n個不等式為：1+++…+＜，當(dāng)n=5時，第五個不等式為1+++++＜，故答案為：1+++++＜12.已知集合，集合，則A∩B=▲

．參考答案：由題意結(jié)合交集的定義可得：.

13.某單位共有職工120人，其中男職工有48人，現(xiàn)利用分層抽樣的方法抽取一個15人的樣本，則男職工應(yīng)抽取的人數(shù)為

．參考答案：614.已知集合，則集合的真子集共有

個．參考答案：7試題分析：集合含有3個元素，則子集個數(shù)為，真子集有7個考點：集合的子集15.關(guān)于圖中的正方體，下列說法正確的有：____________．①點在線段上運動，棱錐體積不變；②點在線段上運動，直線AP與平面平行；③一個平面截此正方體，如果截面是三角形，則必為銳角三角形；④一個平面截此正方體，如果截面是四邊形，則必為平行四邊形；⑤平面截正方體得到一個六邊形（如圖所示），則截面在平面

與平面間平行移動時此六邊形周長先增大，后減小。參考答案：①②③16.已知拋物線的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點P在拋物線上，且，則△PKF的面積為________.

參考答案：817.已知關(guān)于x的不等式＞0在[1，2]上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為___________參考答案：【分析】對m進行分類討論，、時分別分析函數(shù)的單調(diào)性，對m的取值范圍進行進一步分類討論，求出該函數(shù)在區(qū)間上的最小值，令最小值大于0，即可求得m范圍.【詳解】①當(dāng)時，函數(shù)外層單調(diào)遞減，內(nèi)層二次函數(shù)：當(dāng)，即時，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減，，解得：；當(dāng)，即時，無意義；當(dāng)，，即時，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)先遞減后遞增，函數(shù)先遞增后遞減，則需，無解；當(dāng)，即時，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，，無解.②當(dāng)時，函數(shù)外層單調(diào)遞增，，二次函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，解得：.綜上所述：或.【點睛】本題考查不等式的恒成立問題，若大于0恒成立，則最小值大于0，若小于0恒成立則最大值小于0，注意對參數(shù)進行分類討論，區(qū)分存在性問題與恒成立問題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）﹣b2+16=0．（1）若a、b是一枚骰子擲兩次所得到的點數(shù)，求方程有兩正根的概率；（2）若a∈[2，4]，b∈[0，6]，求方程沒有實根的概率．參考答案：【考點】幾何概型；古典概型及其概率計算公式．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】（1）本題是一個古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投擲兩次所得到的點數(shù)的事件，基本事件（a，b）的總數(shù)有36個，滿足條件的事件是二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有兩正根，根據(jù)實根分布得到關(guān)系式，即可得到概率．（2）本題是一個幾何概型，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，滿足條件的事件為：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}，求出兩者的面積，即可得到概率．【解答】解：設(shè)“方程有兩個正根”的事件為A，（1）由題意知本題是一個古典概型用（a，b）表示一枚骰子投擲兩次所得到的點數(shù)的事件依題意知，基本事件（a，b）的總數(shù)有36個，二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有兩正根，等價于，即，則事件A包含的基本事件為（6，1）、（6，2）、（6，3）、（5，3）共4個∴所求的概率為P（A）=；（2）由題意知本題是一個幾何概型，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6}，其面積為S（Ω）=12滿足條件的事件為：B={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6，（a﹣2）2+b2＜16}，如圖中陰影部分所示，其面積為S（B）=+=∴所求的概率P（B）=．【點評】本題考查古典概型和幾何概型，幾何概型和古典概型是高中必修中學(xué)習(xí)的，高考時常以選擇和填空出現(xiàn)，有時文科會考這種類型的解答題目．19.如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中點，△A1MC1是等腰三角形，D為CC1的中點，E為BC上一點．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直線BC和平面A1MC1所成角的余弦值．參考答案：【考點】直線與平面所成的角；直線與平面平行的性質(zhì)．【專題】空間角．【分析】（1）取BC中點N，連結(jié)MN，C1N，由已知得A1，M，N，C1四點共面，由已知條件推導(dǎo)出DE∥C1N，從而求出．（2）連結(jié)B1M，由已知條件得四邊形ABB1A1為矩形，B1C1與平面A1MC1所成的角為∠B1C1M，由此能求出直線BC和平面A1MC1所成的角的余弦值．【解答】解：（1）取BC中點N，連結(jié)MN，C1N，…∵M，N分別為AB，CB中點∴MN∥AC∥A1C1，∴A1，M，N，C1四點共面，…且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，又DE∩平面BCC1B1，且DE∥平面A1MC1，∴DE∥C1N，∵D為CC1的中點，∴E是CN的中點，…∴．…（2）連結(jié)B1M，…因為三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，即四邊形ABB1A1為矩形，且AB=2AA1，∵M是AB的中點，∴B1M⊥A1M，又A1C1⊥平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1M，從而B1M⊥平面A1MC1，…∴MC1是B1C1在平面A1MC1內(nèi)的射影，∴B1C1與平面A1MC1所成的角為∠B1C1M，又B1C1∥BC，∴直線BC和平面A1MC1所成的角即B1C1與平面A1MC1所成的角…設(shè)AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形∴，則MC1=2，，∴cos=，∴直線BC和平面A1MC1所成的角的余弦值為．…【點評】本題考查兩條線段的比值的求法，考查角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．20.（本小題滿分12分）如圖，已知正四棱柱的底面邊長為3，側(cè)棱長為4，連結(jié)，過作垂足為，且的延長線交于。（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的正切值。

參考答案：解法二：根據(jù)題意，建立空間直角坐標系如圖2所示，則，，，，。（1），，又，平面。（2）由（1）知，平面，是平面的一個法向量。又是平面的一個法向量。，即即二面角的平面角的正切值為。略21.已知等差數(shù)列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的兩根，數(shù)列{bn}的前n項的和為Sn，且．（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；（Ⅱ）記cn=an?bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的通項公式．【分析】（Ⅰ）由已知可得，且a5＞a3，聯(lián)立方程解得a5，a3，進一步求出數(shù)列{an}通項，數(shù)列{bn}中，利用遞推公式（Ⅱ）用錯位相減求數(shù)列{cn}的前n和【解答】解：（Ⅰ）∵a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的兩根，且數(shù)列{an}的公差d＞0，∴a3=5，a5=9，公差．∴an=a5+（n﹣5）d=2n﹣1．（3分）