高中數(shù)學(xué) 2.2等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式設(shè)計(jì) 新人教B必修5

等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式.1+2+3+···+100=?

高斯(1777—1855）德國(guó)著名數(shù)學(xué)家

得到數(shù)列1，2，3，4，…，100.引例一

.姚明剛進(jìn)NBA一周訓(xùn)練罰球的個(gè)數(shù)：第一天：3000，第二天：3500，第三天：4000，第四天：4500，第五天：5000，第六天：5500，第七天：6000.

得到數(shù)列：3000，3500，4000，4500，5000，5500，6000.引例二

.一個(gè)梯子共8級(jí)，自下而上每一級(jí)的寬度（單位：cm）為：89,83,77,71,65,59,53,47.得到數(shù)列：89,83,77,71,65,59,53,47.引例三.

姚明罰球個(gè)數(shù)的數(shù)列：

②3000，3500，4000，4500，5000，5500，6000.

梯子寬度的數(shù)列：

③89,83,77,71,65,59,53,47.發(fā)現(xiàn)？觀察：以上數(shù)列有什么共同特點(diǎn)？從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一常數(shù)。高斯計(jì)算的數(shù)列：①1，2，3，4，…，100.觀察歸納

.

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示。

遞推公式：an－an－1=d（d是常數(shù)，n≥2，n∈N*）等差數(shù)列定義②3000，3500，4000，4500，5000，5500,6000；公差d=1公差d=500①1，2，3,…,100；③89,83,77,71,65,59,53,47；公差d=-6.2、常數(shù)列a，a，a，…是否為等差數(shù)列?若是，則公差是多少?若不是，說(shuō)明理由

想一想公差是0

3、數(shù)列0，1，0，1，0，1是否為等差數(shù)列?若是，則公差是多少?若不是，說(shuō)明理由

不是

公差d是每一項(xiàng)（第2項(xiàng)起）與它的前一項(xiàng)的差，防止把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒，而且公差可以是正數(shù)，負(fù)數(shù)，也可以為0

1、數(shù)列6，4，2，0,-2,-4…是否為等差數(shù)列？若是，則公差是多少?若不是，說(shuō)明理由

公差是-2.a2-a1=da3-a2=dan-an-1=da4-a3=d……a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3dan=a1+(n-1)d……an=a1+(n-1)d等差數(shù)列的通項(xiàng)公式當(dāng)n=1時(shí)，等式也成立。

由遞推公式：an－an－1=d（d是常數(shù)，n≥2，n∈N*）可得:通項(xiàng)公式

已知等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)是a1，公差是d.

已知等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)是a1，公差是da2-a1=d……an-an-1=d(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：a3-a2=da4-a3=dan-a1=（n-1）d，（1）（2）（3）（n-1）通項(xiàng)公式

累加法an=a1+（n-1）d即

由遞推公式：an－an－1=d（d是常數(shù)，n≥2，n∈N*）.在等差數(shù)列a,A,b中,A與a,b有什么關(guān)系？A-a=b-A解:依題得,所以,A=(a+b)/2A為a,b的等差中項(xiàng)

新概念.

例1（1）求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項(xiàng)（2）－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？解：（1）由a1=8,d=5-8=-3,n=20,得a20=(2)由a1=8,d=－9－(－5)=－4,得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=－5－4（n－1）由題意知，問(wèn)是否存在正整數(shù)n，使得－401＝－5－4（n－1）成立解關(guān)于n的方程，得n＝100即－401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng).8+(20-1)×（－3）=-49例題講解.例2在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首項(xiàng)a1與公差d.解：由題意知，a5=10＝a1+4da12=31＝a1+11d解得:a1=-2d=3即等差數(shù)列的首項(xiàng)為-2,公差為3.點(diǎn)評(píng)：利用通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化成首項(xiàng)和公差聯(lián)立方程求解..例３

梯子共有5級(jí),從上往下數(shù)第1級(jí)寬34cm，第5級(jí)寬110cm，且各級(jí)的寬度依次組成等差數(shù)列{an}，求第2,3,4級(jí)的寬度．.①求基本量a1和d

：根據(jù)已知條件列方程，由此解出a1和d，

再代入通項(xiàng)公式.②像這樣根據(jù)已知量和未知量之間的關(guān)系，

列出方程求解的思想方法，稱(chēng)方程思想.

這是數(shù)學(xué)中的常用思想方法之一.題后點(diǎn)評(píng)③巧妙借助等差中項(xiàng)，求解等差數(shù)列中間項(xiàng)問(wèn)題.注重對(duì)方法技巧性的掌握..(1)已知a4=10,a7=19,求a1與d.在等差數(shù)列{an}中，(2)已知a3=9,a9=3,求d與a12.解：(1)由題意知，a4=10＝a1+3da7=19＝a1+6d解得:a1=11d=3即等差數(shù)列的首項(xiàng)為1,公差為3(2)由題意知，a3=9＝a1+2da9=3＝a1+8d解得:a1=1d=-1所以：a12=a1+11d＝11＋11×(-1)=0

練一練.

我國(guó)古代算書(shū)《孫子算經(jīng)》卷中第25題記有：“今有五等諸侯，共分橘子六十顆。人分加三顆。問(wèn)：五人各得幾何？”古題今解分析：此題已知a1+a2+a3+a4+a5=60，d=3，∴a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=60,∴a1=6,a2=9,a3=12,a4=15,a5=18

即為五等諸侯分到橘子的顆數(shù)。點(diǎn)評(píng)：解等差數(shù)列有關(guān)問(wèn)題時(shí)轉(zhuǎn)化為a1和d是常用的基本方法..一個(gè)定義：a