【知識點(diǎn)】初中數(shù)學(xué)三角形知識點(diǎn)梳理匯總…

中考數(shù)學(xué)助力輕松升學(xué)！三角形兩邊：定理三角形兩邊的和大于第三邊推論三角形兩邊的差小于第三邊三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半三角形的重心：三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)距離的2倍。在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線，三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做“三角形的重心”。與三角形有關(guān)的角：1.三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°，與三角形的形狀無關(guān)。2.直角三角形兩個(gè)銳角的關(guān)系：直角三角形的兩個(gè)銳角互余（相加為90°）。有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。3.三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角；三角形三個(gè)外角和為360°。等腰三角形的性質(zhì)和判定：性質(zhì)：1.等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡寫成'等邊對等角')。2.等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高重合(簡寫成'等腰三角形的三線合一')。3.等腰三角形的兩底角的平分線相等(兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等)。4.等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。5.等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半。6.等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰距離之和等于一腰上的高（需用等面積法證明）。7.等腰三角形是軸對稱圖形，只有一條對稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸，等邊三角形有三條對稱軸。判定：在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（定義）。在同一三角形中，有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(簡稱：等角對等邊)全等三角形的性質(zhì)和判定：全等三角形共有5種判定方式：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。特殊情況下平移、旋轉(zhuǎn)、對折也會構(gòu)成全等三角形。1.SSS（邊邊邊），即三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。2.SAS（邊角邊），即三角形的其中兩條邊對應(yīng)相等，且兩條邊的夾角也對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。3.ASA（角邊角），即三角形的其中兩個(gè)角對應(yīng)相等，且兩個(gè)角夾的的邊也對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。4.AAS（角角邊），即三角形的其中兩個(gè)角對應(yīng)相等，且對應(yīng)相等的角所對應(yīng)的邊也對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。5.HL（斜邊、直角邊），即在直角三角形中一條斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。注意：1.SSS、SAS、ASA、AAS可用于任意三角形；HL只限于直角三角形2.SSA、AAA不能判定全等三角形3.在證明時(shí)注意利用定理，如：等式性質(zhì)、等量代換、等角重合有等角、公共邊、公共角、對頂角相等、等角或同角的余角或補(bǔ)角相等、角平分線定義、線段中點(diǎn)定義等4.證明全等寫條件時(shí)注意書寫順序5.寫全等結(jié)論時(shí)注意對應(yīng)頂點(diǎn)的位置6.有時(shí)全等三角形會結(jié)合等腰三角形出現(xiàn)命題直角三角形的判定：判定1：有一個(gè)角為90°的三角形是直角三角形。判定2：若a的平方+b的平方=c的平方，則以a、b、c為邊的三角形是以c為斜邊的直角三角形(勾股定理的逆定理)。判定3：若一個(gè)三角形30°內(nèi)角所對的邊是某一邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條長邊為斜邊的直角三角形。判定4：兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形。判定5：證明直角三角形全等時(shí)可以利用HL，兩個(gè)三角形的斜邊長對應(yīng)相等，以及一個(gè)直角邊對應(yīng)相等，則兩直角三角形全等。[定理：斜邊和一條直角對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。簡稱為HL]判定6：若兩直線相交且它們的斜率之積互為負(fù)倒數(shù)，則這兩直線垂直。判定7：在一個(gè)三角形中若它一邊上的中線等于這條中線所在邊的一半，那么這個(gè)三角形為直角三角形。等邊三角形的判定：1.三邊相等的三角形是等邊三角形（定義）。2.三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形。3.有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形。4.有兩個(gè)角等于60度的三角形是等邊三角形。勾股定理：內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么勾股定理的應(yīng)用：①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在中，，則，，②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題勾股定理的逆定理：如果三角形三邊長a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊。①勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；若時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是鈍角三角形；若時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是銳角三角形。②定理中a，b，c及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c滿足，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊。③勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形。勾股數(shù)：①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，a，b，c為正整數(shù)時(shí)，稱a，b，c為一組勾股數(shù)②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等。③用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：（n為正整數(shù)）；（n為正整數(shù)）（m>n,m，n為正整數(shù)）兩點(diǎn)間距離公式：公式描述：公式中(x1，y1)，(x2，y2)分別為A、B兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)相似三角形：簡介：三角分別相等，三邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形（similartriangles）相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣。全等三角形可以被理解為相似比為1的相似三角形。相似三角形其實(shí)是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是幾何中兩個(gè)三角形中，邊、角的關(guān)系。性質(zhì)：1.相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例2.相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比3.相似三角形周長的比等于相似比4.相似三角形面積的比等于相似比的平方由4可得：相似比等于面積比的算術(shù)平方根5.相似三角形內(nèi)切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同，內(nèi)切圓、外接圓面積比是相似比的平方6.若a/b=b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中項(xiàng)7.a/b=c/d等同于ad=bc8.不必是在同一平面內(nèi)的三角形里判定：類比全等三角形的判定定理，可以得出下列結(jié)論：定理1：兩角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。定理3：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似。定理4：一條直角邊與斜邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似。根據(jù)以上判定定理，可以推出下列結(jié)論：推論1：三邊對應(yīng)平行的兩個(gè)三角形相似。推論2：一個(gè)三角形的兩邊和三角形任意一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。推論：推論一：腰和底對應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。推論二：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。推論三：如果一個(gè)三角形的兩邊和三角形任意一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。攝影定理：攝影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）俗稱母子三角形：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。例如：(前提：∠BAD+∠DAC=90度，AD⊥BC)公式Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：(1)(AD)^2=BD·DC，(2)(AB)^2=BD·BC，(3)(AC)^2=CD·BC。等積式(4)ABXAC=BCXAD(可用面積來證明)一、平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在任一條(與這組平行相交的)直線上截得的線段也相等。二、平行截割定理：兩條直線與一組平行線相交,它們被這組平行線截得的對應(yīng)線段成比例。三、平行截割定理推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，截得的三角形與原三角形的對應(yīng)邊成比例。解直角三角形：1.概念：由直角三角形中已知的邊和角，計(jì)算出未知的邊和角的過程，叫做解直角三角形。3.特殊角值銳角三角形：sinA=a/ccosA=b/ctanA=a/bcotA=b/a若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA①sin2A+cos2A=1②tanA=sinA/cosA③tanA=1/tanB④a