高中數(shù)學《算法案例輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術》1 北師大必修3

輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術算法案例第一課時2023/1/17.1.回顧算法的三種表示方法：（1）、自然語言（2）、程序框圖（3）、程序語言（三種邏輯結構）（五種基本語句）復習引入2023/1/17.2.思考：

小學學過的求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的方法？先用兩個公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來.2023/1/17.例：求下面兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)：（1）求25和35的最大公約數(shù)（2）求49和63的最大公約數(shù)25（1）5535749（2）77639所以，25和35的最大公約數(shù)為5所以，49和63的最大公約數(shù)為7思考：除了用這種方法外還有沒有其它方法？例：如何算出8251和6105的最大公約數(shù)？2023/1/17.新課講解：一、輾轉(zhuǎn)相除法（歐幾里得算法）1、定義：所謂輾轉(zhuǎn)相除法，就是對于給定的兩個數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)。若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構成新的一對數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時較小的數(shù)就是原來兩個數(shù)的最大公約數(shù)。2023/1/17.

2、步驟：（以求8251和6105的最大公約數(shù)的過程為例）第一步用兩數(shù)中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，求得商和余數(shù)

8251=6105×1+2146結論：8251和6105的公約數(shù)就是6105和2146的公約數(shù)，求8251和6105的最大公約數(shù)，只要求出6105和2146的公約數(shù)就可以了。第二步對6105和2146重復第一步的做法

6105=2146×2+1813

同理6105和2146的最大公約數(shù)也是2146和1813的最大公約數(shù)。為什么呢？思考：從上述的過程你體會到了什么？2023/1/17.完整的過程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0例：用輾轉(zhuǎn)相除法求225和135的最大公約數(shù)225=135×1+90135=90×1+4590=45×2顯然37是148和37的最大公約數(shù)，也就是8251和6105的最大公約數(shù)顯然45是90和45的最大公約數(shù)，也就是225和135的最大公約數(shù)思考1：從上面的兩個例子中可以看出計算的規(guī)律是什么？S1：用大數(shù)除以小數(shù)S2：除數(shù)變成被除數(shù)，余數(shù)變成除數(shù)S3：重復S1，直到余數(shù)為02023/1/17.

輾轉(zhuǎn)相除法是一個反復執(zhí)行直到余數(shù)等于0才停止的步驟，這實際上是一個循環(huán)結構。8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0m=n×q＋r用程序框圖表示出右邊的過程r=mMODnm=nn=rr=0?是否思考2：輾轉(zhuǎn)相除法中的關鍵步驟是哪種邏輯結構？2023/1/17.思考：你能把輾轉(zhuǎn)相除法編成一個計算機程序嗎？(1)、算法步驟：第一步：輸入兩個正整數(shù)m,n(m>n).第二步：計算m除以n所得的余數(shù)r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r＝0,則m,n的最大公約數(shù)等于m；否則轉(zhuǎn)到第二步.第五步：輸出最大公約數(shù)m.2023/1/17.(2)、程序框圖：開始輸入m,n

r=mMODn

m=nr=0?是否

n=r輸出m結束2023/1/17.(3)、程序：INPUT“m,n=“;m,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND2023/1/17.二、更相減損術

可半者半之，不可半者，副置分母、子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。第一步：任意給定兩個正整數(shù)；判斷他們是否都是偶數(shù)。若是，則用2約簡；若不是則執(zhí)行第二步。第二步：以較大的數(shù)減較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的減數(shù)和差相等為止，則這個等數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。（1）、《九章算術》中的更相減損術：1、背景介紹：（2）、現(xiàn)代數(shù)學中的更相減損術：2023/1/17.2、定義：

所謂更相減損術，就是對于給定的兩個數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差和較小的數(shù)構成新的一對數(shù)，再用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，反復執(zhí)行此步驟直到差數(shù)和較小的數(shù)相等，此時相等的兩數(shù)便為原來兩個數(shù)的最大公約數(shù)。2023/1/17.例:用更相減損術求98與63的最大公約數(shù).解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減98－63＝35

63－35＝28

35－28＝7

28－7＝2121－7＝2114－7＝7所以，98和63的最大公約數(shù)等于73、方法：2023/1/17.1、用更相減損術求兩個正數(shù)84與72的最大公約數(shù)．

練習：思路分析：先約簡，再求21與18的最大公約數(shù),然后乘以兩次約簡的質(zhì)因數(shù)4。2、求324、243、135這三個數(shù)的最大公約數(shù)。思路分析：求三個數(shù)的最大公約數(shù)可以先求出兩個數(shù)的最大公約數(shù)，第三個數(shù)與前兩個數(shù)的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)即為所求。2023/1/17.(1)、算法步驟第一步：輸入兩個正整數(shù)a,b(a>b);第二步：若a不等于b,則執(zhí)行第三步；否則轉(zhuǎn)到第五步；第三步：把a-b的差賦予r;第四步：如果b>r,那么把b賦給a,把r賦給b;否則把r賦給a，執(zhí)行第二步；第五步：輸出最大公約數(shù)b.***思考：你能根據(jù)更相減損術設計程序，求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)嗎？2023/1/17.(2)、程序框圖開始輸入a,ba≠b?是否輸出b結束

b=ra=br=a-br<b?a=r否是2023/1/17.(3)、程序INPUT“a,b=“;a,bWHILEa<>br=a-bIFb>rTHENa=bb=rELSEa=rENDIFWENDPRINTbEND2023/1/17.比較輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術的區(qū)別（1