幾何切平面與法線方向量

1空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線8.6

多元函數微分學的幾何應用全微分的幾何意義小結一、空間曲線的切線與法平面——切線為割線的極限位置設空間曲線的方程設(1)式中的三個函數均可導.

1.空間曲線的方程為參數方程隨著t的變動，描繪出空間一條曲線上式分母同除以割線

的方程為——M處的切線方程切向量法平面切線的方向向量稱為曲線的切向量.過M點且與切線垂直的平面.解切線方程例法平面方程即設曲線方程為法平面方程為2.空間曲線的方程為兩個柱面的交線則曲線可看成參數方程：在M(x0,y0,z0)處,切線方程為x為參數例

在拋物柱面

與

的交線上,

求對應

的點處的切向量.x為參數,于是解所以交線上與對應點的切向量為:交線的參數方程為取設空間曲線方程為3.空間曲線的方程為兩個曲面的交線確定了隱函數

兩邊分別對x求導:則曲線依然可看成參數方程：x為參數同(2)一樣可寫出切線方程和法平面方程解例

切線方程和法平面方程.2個方程3個變量，曲線可看作參數方程

所給方程的兩邊對x求導確定了2個1元函數：

切線方程和法平面方程.切線方程法平面方程12設曲線練習證因原點(0,0,0)在法平面上,即于是證明此曲線必在以原點為中的法平面都過原點,在任一點心的某球面上.曲線過該點的法平面方程為故有任取曲線上一點二、曲面的切平面與法線定義過M點與切平面垂直的直線曲面上一點M，若曲面上所有過M點的曲線在M點的切線都在同一個平面上，則稱此平面為在M點的切平面稱為在M點的法線今在曲面Σ上任取一條1.設曲面Σ的方程為的情形

函數的偏導數在該點連續(xù)且不同時為0點M對應于參數

不全為零.過點M的曲線Γ,設其參數方程為

由于曲線Γ在曲面Σ上,

在恒等式兩端對t求全導數,

并令

則得記向量

曲線Γ在點M處切線的方向向量記為

則*式可改寫成即向量垂直.*則

設平面∏過M點，以

為法向量

所以平面∏是曲面在M點的切平面在M(x0,

y0,

z0)處的法向量:切平面方程為法線方程為所以曲面Σ上在點M的曲面方程解令

例∥曲面方程切平面方程法線方程解設

為曲面上的切點,切平面方程為依題意，切平面方程平行于已知平面，得

例因為

是曲面上的切點，所求切點為滿足曲面方程切平面方程或2.曲面方程形為

的情形曲面在M處的切平面方程為法線方程令曲面方程解切平面方程為法線方程為

例法向量解設切點也是已知平面的法向量切點滿足曲面和平面方程練習253.曲面方程為參數方程的情形(u,v為雙參變量)求(u0,

v0)對應的點M0(x0,

y0,

z0)處的法向量固定v=

v0,讓u變,它在M0處的切向量為曲面Σ的參數方程為得到曲面Σ上一條所謂的u

曲線雙切線法26(u,v為雙參變量)求(u0,

v0)對應的點M0(x0,

y0,

z0)處的法向量它在M0處的切向量為曲面Σ的參數方程為同樣,固定u=

u0,讓v變,得到另一條所謂的v曲線,曲面Σ的法向量同時與垂直,故有公式

雙切線法27

例求馬鞍面對應點處的切平面方程.解u=1

,

得曲線,即v

=1,

它們在點(u

,

v)=(1,

1)處的切向量分別為馬鞍面在曲面上分別令切平面的法向量為切平面方程為雙切線法28令∥

解

切線方程和法平面方程.垂直于曲線在點

例

當空間曲線方程為一般式時,求切向量曾采用了隱函數求導法.處切線向量再用向量代數法做此題.應同時29∥令∥

切線方程和法平面方程.

例30

切線方程和法平面方程.

解雙切平面法由于兩曲面的交線的切線等于兩曲面的切平面的交線,所以求出兩曲面在點P0處的切平面方程,再將兩切平面方程聯(lián)立即為所求.曲面在M處的切平面方程三、全微分的幾何意義表示切平面上的點的z坐標的增量.設曲面方程為法向量表示法向量的方向角,表示法向量的方向向上,或說法向量與z軸的正向夾角是銳角,則法向量的方向余弦為法向量的方向余弦設曲面方程為33思考求旋轉拋物面因為(第三個分量為負),解而為向下的法向量故向上的法向量應為:在任意點在任意點P(x,y,z)處向上的法向量(即與z軸夾角為銳角的法向量).法向量34研究生考題,填空