專題71 瓜豆原理中動點軌跡不確定型最值問題

專題71瓜豆原理中動點軌跡不確定型最值問題【專題說明】動點軌跡非圓或直線時，基本上將此線段轉化為一個三角形中，（1） 利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求最值。（2） 在轉化較難進行時，可借助直角三角形斜邊上的中線及中位線或構建全等圖形進一步轉化求最值?！局R精講】所謂“瓜豆原理”，就是主動點的軌跡與從動點的軌跡是相似性，根據(jù)主、從動點與定點連線形成的夾角以及主、從動點到定點的距離之比，可確定從動點的軌跡，而當主動點軌跡是其他圖形時，從動點軌跡必然也是.【精典例題】.一 2…一…, ?，. 一…，一, , ,1、如圖，在反比例函數(shù)y=-2的圖像上有一個動點A，連接AO并延長交圖像的另一支于點B，在Xk.弟一象限內有一點C，滿足AC=BC，當點A運動時，點C始終在函數(shù)y=-的圖像上運動，右tanXZCAB=2,則k的值為（ ）A.2B.4A.2B.4C.6 D.8【分析】ZA0C=90。且A0：0C=1：2，顯然點C的軌跡也是一條雙曲線，分別作AM、CN垂直x軸，垂足分別為M、N，連接0C，易證△AM0s^0NC，..?CN=20M，0N=2AM，「.0N?CN=4AM?0M，故k=4X2=8.【思考】若將條件“tan/CAB=2”改為“^ABC是等邊三角形”，k會是多少？【模型】一、借助直角三角形斜邊上的中線1、如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=2,點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是（）A.6 B.2?.房 C.?無 D.2.F+2【解析】解：如圖，取CA的中點D，連接OD、BD，則OD=CD=^AC=^X4=2，由勾股定理得，BD=：F+京二23

當0、D、B三點共線時點B到原點的距離最大，所以，點B到原點的最大距離是2+2*2故答案為2+2?-質【模型】二、借助三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊1、如圖，已知等邊三角形ABC邊長為2*，兩頂點A、B分別在平面直角坐標系的x軸負半軸、軸的正半軸上滑動，點C在第四象限，連接OC，則線段OC長的最小值是（ ）CCC.D.*C.【答案】B【詳解】解：如圖所示：過點C作CEXAB于點E，連接0E，.?.△ABC是等邊三角形...CE=ACXsin60°=2后x^3=3,AE=BE,2VZAOB=90°,1EO=AB=\:32.?.EC-OENOC,?.?當點C,O,E在一條直線上，此時OC最短，故OC的最小值為：OC=CE-EO=3—3故選B.2、如圖，ZMON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=4，BC=2.運動過程中點D到點O的最大距離是.【答案】2、a+2【詳解】如圖，取AB的中點E,連接OE、DE、OD,?「ODWOE+DE,...當0、D、E三點共線時，點D到點O的距離最大，此時，?「AB=4,BC=2,...OE=AE=1AB=2,2DE=(AQ2+AE2-二(22+22=2<2?.?OD的最大值為：2巫+2,故答案為2還+2.3、如圖，在^人方。中，ZACB=90。，ZCAB=30。，AB=6，以線段AB為邊向外作等邊^(qū)ABD,點E是線段AB的中點，連結CE并延長交線段AD于點F.求證：四邊形BCFD為平行四邊形；求平行四邊形BCFD的面積；如圖，分別作射線CM,CN，如圖中^ABD的兩個頂點A,b分別在射線CN,CM上滑動，在這個變化的過程中，求出線段CD的最大長度.

【答案】（1）證明見解析；（2）9危；（3）3+3、日【詳解】⑴在ABC中,zACB=90。，zCAB=30。,azABC=60。在等邊ABD中,zBAD=60。,aZBAD=ZABC=60。E為AB的中點，aAE=BE△又ZAEF=ZBEC??aAEF^BEC?. 7在aABC中,zACB=90°,E為AB的中點，aCE=2AB,BE=2ABaCE=AE,aZEAC=ZECA=30°,aZBCE=ZEBC=60°A又AEF^BEC,aZAFE=ZBCE=60°又..ZD=60°,aZAFE=ZD=60°aFCBD??又ZBAD=zABC=60°,aADBC,即FDBCa四邊形BCFD是平行四邊形； 11 11⑵在RtABC中,ZBAC=30°,AB=6aBC=-AB=3?????AC=<AB2—BC2^.-'62-32=3思S =S =3擔x3=9君平行四邊形BCFD⑶取AB的中點G，連結CG,DG,CDCD<CG+DG.CD的最大長度=CG+DG=3+33ca E4、如圖，在RtAABC中，ZACB=90，將AABC繞頂點C逆時針旋轉得到職'B'C，M是BC的中點，N是A'B'的中點，連接MN，若BC=4,ZABC=60。，則線段MN的最大值為（）A.4B.8C.A.4B.8C.4/3D.6【答案】D【詳解】連接CN???將AABC繞頂點C逆時針旋轉得到AA'B'C/A'CB'=/ACB=90。，B'C=BC=4,ZA'B'C=ZABC=60。???ZA'=30。，A'B'=8N是A'B'的中點，CN=1A'B'=42,/在CMN中，MNVCM+CN,當且僅當M,C,N三點共線時，MN=CM+CN=6,?.?線段MN的最大值為6.故選D.【模型】三、借助構建全等圖形1、如圖，在△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=5，點P是AC上的動點，連接BP，以BP為邊作等邊ABP。，連接CQ,則點P在運動過程中，線段CQ長度的最小值是.【答案】54【詳解】解：如圖，取AB的中點E,連接CE,PE.VZACB=90°,ZA=30°,AZCBE=60°,VBE=AE,...CE=BE=AE,「.△BCE是等邊三角形，...BC=BE,VZPBQ=ZCBE=60°,.\ZQBC=ZPBE,?「QB=PB,CB=EB,.?.△QBC￡^PBE(SAS),...QC=PE,...當EP±AC時，QC的值最小，在Rt^AEP中,VAE=5,ZA=30°,.?.PE=2AE=5,?.?CQ的最小值為5.4故答案為：542、如圖，邊長為12的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點，連結MB,將線段BM繞點B逆時針旋轉60。得到BN,連結HN.則在點M運動過程中，線段HN長度的最小值是（ ）A.6 B.3 C.2 D.1.5【答案】B【詳解】解：如圖，取BC的中點G,連接MG,???旋轉角為60°,AZMBH+ZHBN=60°,又VZMBH+ZMBC=ZABC=60°,.\ZHBN=ZGBM,?「CH是等邊△ABC的對稱軸，.?.HB=1AB,2...HB=BG,又「MB旋轉到BN,...BM=BN,BG=BH<ZMBG=/NBHMB=NBAAMBG^ANBH(SAS),...MG=NH，根據(jù)垂線段最短，當MG±CH時，MG最短，即HN最短，此時ZBCH=1X60°=30°，CG=1AB=1X12=6，.?.MG=1CG=1X6=3，2 2...HN=3；故選：B.【模型】四、借助中位線1、如圖，在等腰直角AABC中，斜邊AB的長度為8,以AC為直徑作圓，點P為半圓上的動點，連接BP，取BP的中點M，則CM的最小值為( )C.而-顯【答案】C【詳解】BF C...EM、FM和EF分別是△ABP.ACBP和^ABC的中位線BF C...EM、FM和EF分別是△ABP.ACBP和^ABC的中位線...EM〃AP,FM〃CP,EF〃AC,EF=1AC.\ZEFC=180o-ZACB=90°?「AC為直徑.\ZAPC=90°,即AP±CPAEMXMF，即ZEMF=90°..?點M的運動軌跡為以EF為直徑的半圓上取EF的中點O,連接OC，點O即為半圓的圓心當0、M、C共線時，CM最小，如圖所示，CM最小為CM的長，「?等腰直角AABC中，斜邊AB的長度為8EF=5AC=2*''2,FC=gBC=2*‘‘2EF=5AC-2。2,FC=gBC=2*‘‘2-EF=2:,OM1=OF=§EF-解：連接AP、CP,分別取AB、BC的中點E、F,連接EF、EM和FM,根據(jù)勾股定理可得OC=根據(jù)勾股定理可得OC=頊OF2+FC2根據(jù)勾股定理可得OC=頊OF2+FC2=優(yōu)。.?.CMjOC—OMj面-^2即CM最小值為仍-寸2故選C.2、如圖，拋物線y=1X2-1與X軸交于A,B兩點，D是以點C（0,4）為圓心，1為半徑的圓上的動點，E是線段AD的中點，連接OE,BD，則線段OE的最小值是（）D.3A.D.3【答案】A【詳解】1,/y=—X2-19八.1 一.?.當y=0時，0=9x2-1，解得：x=土3?.?A點與