風(fēng)險限制下的最優(yōu)動態(tài)交易策略

風(fēng)險限制下的最優(yōu)動態(tài)交易策略經(jīng)濟風(fēng)險價值(VaR)近年作為用來測量和控制交易組合風(fēng)險的一個標(biāo)準(zhǔn)工具出現(xiàn)。然而，交易者受VaR限制的的現(xiàn)有理論分析的最優(yōu)行為產(chǎn)生了一個作為風(fēng)險控制工具的關(guān)于VaR的負面的看法。特別是在一些國家VaR限制已被發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致風(fēng)險暴露的增加和極端損失概率的增加。然而，這些結(jié)論是基于靜態(tài)模型或動態(tài)模型是不一致的。在本文中我們制定了一個受VaR限制的動態(tài)一致的模型的最優(yōu)投資組合選擇，并且表明在早期論文中所表達的擔(dān)心不被適用，始終與常見的做法，風(fēng)險價值限制被動態(tài)地重新評估。特別是，我們發(fā)現(xiàn)，-個受風(fēng)險價值模型限制的交易者的最優(yōu)風(fēng)險暴露總是要比一個無約束的交易者的風(fēng)險暴露低，而且極端虧損的概率也較低。我們也考慮到風(fēng)險限制表示在尾部條件期望TCE),—致性風(fēng)險度量往往被主張作為VaR的一種替代。并且表明在我們的動態(tài)設(shè)定中，把TCE限制轉(zhuǎn)變成一個等價的VaR限制往往是可能的，反過來也可以。主題分類：投資，管理，證券投資組合涉及領(lǐng)域：金融歷史記錄：2006年2月收；2006年12月，2007年1月得到修正；2007年1月接受；2007年9月21日提前在文章上發(fā)表1.介紹投資企業(yè)通常通過對交易的投資組合的風(fēng)險上施加限制來限制其交易員的自由交易。因為風(fēng)險價值(VaR)作為風(fēng)險度量近年來得到了廣泛普及，這些限制往往頻繁的由VaR指定，如上,Jorion(2001,p.379)所述，“在商業(yè)區(qū)或單位，VaR可以用來確定交易者的頭寸限制并決定如何分配有限的資本資源。VaR的一大優(yōu)點是，它創(chuàng)建了一個共同標(biāo)準(zhǔn)，這個標(biāo)準(zhǔn)可以用來比較不同的冒險活動。傳統(tǒng)上，頭寸限制依據(jù)名義風(fēng)險來設(shè)定。舉個例子，一個交易者可能有一個一千萬的五年期國債的隔夜頭寸的限制。然而這個相同的限制對于三十年國債或者國債期貨只具有更大的風(fēng)險。因此在名義頭寸限制不具有直接可比性單位。相反,VaR提供了一個共同的標(biāo)準(zhǔn)來比較各種資產(chǎn)類別，并且可以作為指導(dǎo)去為業(yè)務(wù)單位制定頭寸限制?！彼鼤芮宄谙旅娴姆治鲋?，我們考慮把風(fēng)險限制很自然地轉(zhuǎn)變成頭寸限制，考慮到頭寸的風(fēng)險和預(yù)期收益。(見備注2和3)。VaR的流行是至少因為有一部分的事實，它是一個很容易理解的風(fēng)險度量：特別是在一個給定的置信水平下，VaR是投資組合的最大損失。盡管在它被廣泛使用，VaR也廣為人知具有不吸引人的特征。Artzner等人(1999)通過識別合理的風(fēng)險測度應(yīng)該滿足的四個屬性，并且通過提供一個滿足這些屬性的風(fēng)險界定方法,提出了一個風(fēng)險度量的公理基礎(chǔ)，被稱作是一致性風(fēng)險度量Folmer和Schied(2002)凸風(fēng)險度量的概念，這是一個對一致性風(fēng)險測度的概念的延伸(參見Frittelli和RosazzaGianin2002)。眾所周知，VaR即是不相關(guān)也不是凸風(fēng)險測度。這已經(jīng)引起Artzner等人(1999)提出的尾部條件期望(TCE)方法的使用，這種方法被定義為上述VaR損失的條件期望，作為一種替代VaR的測度方法。TCE是技術(shù)條件下風(fēng)險分布下的一個連貫的凸風(fēng)險度量oDelbaen(2000,2002)，F(xiàn)olmer和Schied(2004)提供了靜態(tài)風(fēng)險測度的詳細調(diào)查，其中包括其他一致性和凸風(fēng)險度量的例子。最近靜態(tài)風(fēng)險測度已經(jīng)延伸到了動態(tài)風(fēng)險測度Artzner等人(2003)，Cheriditoet等人(2004,2005,2006),Detlefsen和Sc和olo(2005),Weber(2006),Follmer和Penner(2006)。在本文中我們的關(guān)注點是基于VaR或者TCE風(fēng)險限制下的交易者的動態(tài)投資組合的選擇。這個問題在現(xiàn)有的文獻中還沒有得到完整的解決方案。Ahn等人(1999)研究了一個給定的使用股票看跌期權(quán)的股票暴露的VaR的靜態(tài)最小化。 Alex和er，Baptista(2002),Huisman等人(1999),Kast等人(1999),和Vorst(2001),他們注重基于靜態(tài)(一期)設(shè)定下的VaR約束的投資組合的預(yù)期收益最大化問題，而Rockafellar和Uryasev(2000)考慮靜態(tài)設(shè)定下TCE的最小化問題。?)基于風(fēng)險限制的投資組合選擇的分析是包括動態(tài)交易的第一個延伸Emmer等人(2001)，Basak和Shapiro(2001)。Emmer等人(2001)考慮了交易者面臨VaR約束的連續(xù)交易的模型。然而，因為分析的易處理性，他們僅僅考慮保持固定的投資組合權(quán)重的策略：這降低了它們的問題到了一個靜態(tài)問題，導(dǎo)致一個動態(tài)的不一致的交易策略。Basak和Shapiro(2001)考慮了下邊的靜態(tài)的最優(yōu)問題：supElu(W)]TELWJ<W,PW-W」<WrPW-W>VA^」<a /1X0T (1)此處u是交易者的效用方程,T>0是投資水平線(這個水平線被認為和VaR的水平線相一致)，Wt(W0)是末端投資組合值(初始投資組合值)，￡t是T時刻的指定價格，1-a是可選的置信水平，VaR>0是VaR的限制。模型(1)中的第一個約束條件時通常的預(yù)算約束，第二個約束相當(dāng)于投資組合VaR，而不是單個VaR約束。在模型(1)中，這個問題被解釋在一個有著連續(xù)交易的完整的市場經(jīng)濟下，基于VaR約束動態(tài)證券投資問題的靜態(tài)規(guī)劃。令e滿足PT>￡二a，Basak和Shapiro(2001)指出無論什么時候，這個約束都是有約束力的，在某些國家，被迫減少投資組合損失來滿足VaR約束的交易削將通過增加“昂貴的國家”投資組合損失來優(yōu)化選擇來進行資助這些減少的損失，此時￡T>￡。因為這些國家已經(jīng)具有無約束最優(yōu)策略下的最低終端組合價值，VaR約束導(dǎo)致的分布的尾部留下一個育肥終端產(chǎn)品組合的價值。（例如，極端損失的概率增加）。這使得Basak和Shapiro（2001）得出結(jié)論：VaR風(fēng)險管理被許多人視為一種工具，使經(jīng)濟主體免于巨額虧損，當(dāng)巨額虧損發(fā)生時，可能導(dǎo)致信用和償付能力問題。但是，我們的解決方案表明，當(dāng)一個大的損失發(fā)生時，它又是下一個大的VaR風(fēng)險管理下的損失，因此更容易導(dǎo)致信貸問題，擊垮使用VaR風(fēng)險管理的目的。Basak和Shapiro（2001）也發(fā)現(xiàn)了在模型（1）中的VaR約束導(dǎo)致交易者在某些情況下比在沒有這個約束下更多地投資于風(fēng)險資產(chǎn):持有風(fēng)險增加有必要意識到“昂貴的國家”的損失的增加。最后Basak和Shapiro（2001）報告了對于建立在風(fēng)險下的尾部期望的風(fēng)險限制將導(dǎo)致既不是極端的損失的增加，也不是風(fēng)險資產(chǎn)分配的增加:因此，出于風(fēng)險控制的目的，建立在尾部期望的測度應(yīng)該優(yōu)先于建立在分位點上的測度（例如VaR）。然而，模型（1）的問題作為基于風(fēng)險限制下交易者的動態(tài)投資組合決策的模型有一些缺點。第一，我們認為在初始數(shù)據(jù)后，投資組合的VaR從來沒有被重新估值:因此，在規(guī)定的VaR的最大值下投資組合損失的條件概率為零，而交易者被允許繼續(xù)遵循他的交易策略。這個假設(shè)是極端的:事實上，大多數(shù)金融機構(gòu)為了內(nèi)部風(fēng)險控制使用VaR至少每天重新估值。第二，因為VaR約束僅僅在初始數(shù)據(jù)中應(yīng)用，交易策略是動態(tài)的前后不一的，且必定被解釋為委托方法:另外，交易者會發(fā)現(xiàn)，在初始日期后，最優(yōu)投資策略會瞬間恢復(fù)到無約束的最優(yōu)投資策略，VaR約束將永遠不會失去其約束力。第三，模型（1）的公式假定投資組合的VaR在所有未來不可預(yù)見事件下完全了解投資者的投資策略的條件下計算出來。此外，這個假設(shè)是極端的，它不符合事實的實踐情況Jorion（2001,p.107））提出在存在投資組合在VaR水平線上保持不變的假設(shè)下，VaR算出來是一個常數(shù)。在文章中，第一個貢獻就是形成了一個更為實際的基于風(fēng)險約束的交易者最優(yōu)行為的動態(tài)一致的模型。與Basak和Shapiro（2001）不同，我們認為投資組合交易的風(fēng)險是動態(tài)的不斷連續(xù)重新估值的:因此，交易者必須始終滿足特定的風(fēng)險限制，而不是僅僅滿足初始日期的風(fēng)險限制。另外，我們在模型中做出的風(fēng)險估計和通過假設(shè)的實踐是相一致的，假設(shè)就是當(dāng)估計投資組合的風(fēng)險，在假設(shè)當(dāng)前的投資組合保持在水平線上不變的情況下計算投資組合在選擇的水平線下的分布。在完全的動態(tài)設(shè)定下，我們也允許風(fēng)險限制作為投資組合價值和時間的函數(shù)來變化，并且在這個限制的可選擇的功能的規(guī)格下檢查最有投資策略的行為。為了技術(shù)的便利，我們把我們自己限制在對數(shù)正態(tài)分布回報的情況下。當(dāng)投資組合的風(fēng)險通VaR來測量，在上邊所描述的動態(tài)風(fēng)險約束下，最優(yōu)交易行為顯著不同于靜態(tài)VaR約束所意味的交易行為，這使得VaR成為作為風(fēng)險控制工具的更為有利的評估。事實上，對于風(fēng)險資產(chǎn)的合適的分配總是低于沒有VaR約束時的分配，且發(fā)生極度損失的概率從來不會高于沒有VaR約束時的概率。就像Basak和Shapiro(2001)，我們發(fā)現(xiàn)最優(yōu)投資策略仍表現(xiàn)為兩基金分離形式(這兩個基金是無風(fēng)險資產(chǎn)和瞬時均值方差有效投資組合)。即使VaR限制允許的交易組合值的變化有所不同，這一結(jié)果是真的。因此，動態(tài)VaR約束不會扭曲風(fēng)險資產(chǎn)的最優(yōu)投資組合的組成：相反，它只是影響到無風(fēng)險和高風(fēng)險基金相對的分配量。我們也考慮到基于TCE約束的交易者最優(yōu)行為，并證明在我們的設(shè)定下，TCE約束和VaR約束是兩個等價的風(fēng)險控制工具：具體而言，給定一個動態(tài)的TCE約束，它總是能夠識別會產(chǎn)生相同的最優(yōu)交易策略的動態(tài)VaR限制(不管交易者的偏好)，且反過來也成立。這是真實的，盡管事實上，TCE是一種相干風(fēng)險度量，但是VaR約束不是，結(jié)果事實上，VaR不是次可加性的，是共單調(diào)可加的。同單調(diào)性因為作為兩基金分離的結(jié)果的最優(yōu)投資組合自然產(chǎn)生。對于在風(fēng)險約束下的關(guān)于動態(tài)投資組合選擇問題做出更多地的文獻這件事上，Gundel和Weber(2005a,2005b)做出了很大的貢獻，他們分別解決了在完全和不完全的市場下，基于效用的短缺風(fēng)險約束。這些文章通過考慮有著由Gilboa和Schmeidler(1989)引進的效用方程的一般半鞅模型問題延伸了Basak和Shapiro(2001)的觀點。另外，Gundel和Weber(2005a,2005b)提供了在論文中一個解的存在性的證明過程。這個證明在Basak和Shapiro(2001)論文中是沒有的，他們簡單的猜測這個解在一個非常特殊的市場環(huán)境下才能得出。基于效用短缺的風(fēng)險限制比在其沒有風(fēng)險限制下有著更小的風(fēng)險，但需要一個投資者的承諾。到目前為止，它沒有被用于實際應(yīng)用。Cuoco和Liu(2006)的研究，在本文的方法中，一個受最低資本要求金融機構(gòu)聯(lián)合報告和投資問題確定了自我報告的VaR方法的基礎(chǔ)。最后，Pirvu和力tkovi'c(2006)探討在VaR、TCE和有限的預(yù)期損失下的生長速率最大化的遍歷性問題。作者假設(shè)隨機市場系數(shù)并運用我們的方法來動態(tài)地評估風(fēng)險。要完成文獻回顧，我們列舉關(guān)于調(diào)查的VaR調(diào)控對價格的影響的文章。Basak和Shapiro(2001)使用靜態(tài)設(shè)定下的投資組合選擇問題找到的VaR約束的均衡影響。Berkelaaretal.(2005)進行了類似的分析并且估計波動率微笑。在相關(guān)的經(jīng)濟設(shè)定下，Danielssonetal.(2004)考慮單期一般均衡的經(jīng)濟體的序列。這個設(shè)置是靜態(tài)的，作者忽略了來自跨期避險

需求和那些有限的投資期限的重要影響。最后Leippoldetal.（2006）研究了當(dāng)投資者動態(tài)重新評估風(fēng)險時的市場均衡。投資者的這種行為是基于我們對反饋分析修改對價格的影響。把模型延伸到到隨機投資機會的設(shè)定下是有趣的。類似的任務(wù)是pirvu和力tkovi'C（2006）提出的的增長率最大化問題。作者認為，在任何時間t,對于以后t+1時刻在假設(shè)市場系數(shù)保持當(dāng)前價值下恒定的前提下的交易者財富投影分布被評估。Pirvu和力tkovi'c（2006）表明當(dāng)滿足風(fēng)險限制時交易者在任何狀態(tài)都持有一個較小的風(fēng)險暴露。同樣的簡化假設(shè)可以在我們的模型中采用并將其擴展到一個隨機的投資機會集和下。因為這個擴展并不影響我們的主要結(jié)論，我們避免它保持可追蹤性。在沒有以上假設(shè)的情況下，目前隨機市場T系數(shù)的分析變得更加復(fù)雜。然而，如果風(fēng)險重新評估的頻率很高（是小的），那么鑒于市場系數(shù)是足夠光滑，這些系數(shù)可以近似在時間間隔Lt+/通過在時間t和上述擴大它們的值適用。本文的其余部分安排如下。第2節(jié)描述了我們的模型。第3節(jié)中包含的VaR約束的最優(yōu)交易策略的主要表征結(jié)果。第4節(jié)提供了一些明確的CRRA效用的例子。5節(jié)考慮了TCE約并束條件下，建立了等價的結(jié)果。第6節(jié)結(jié)束語。所有的證據(jù)都附有電子版，是可提供的在線版本，可以在/中找到。2.模型我們考慮在有限范圍k丫］的一個連續(xù)時間的隨機經(jīng)濟。不確定性是由一個過濾的概率空間°，F(xiàn)卩，P）表示，這里F J是貨幣市場帳戶賺取恒定連續(xù)復(fù)利，利率r>0。另一個資產(chǎn)n（股票）是有風(fēng)險的，且其價格過程S（包括再投資股息）是一個有著漂移向量r1+卩和擴散矩陣&的n維幾何布朗運動。=s+JtIs(r1+u)d+JtIs5dw1=c，…"。不失一般性，我們0 01=c，…"。不失一般性，我們這里弋表示nxn的對角線上元素為st的對角矩陣且假設(shè)1-n-d且rankC）=n。債券和股票的交易持續(xù)發(fā)生，并且是無摩擦。W>0交易商被賦予在時間為零時初始財富為0 。他選擇一個適應(yīng)n維投資組合權(quán)重的過程兀t。這個過程是自我融資使價值關(guān)聯(lián)過程滿足動態(tài)預(yù)算約束W冗=W+JtW冗（r+兀tu）d+Jtw冗兀t5dwt 0 0S Ss0sSs我們假設(shè)過程兀t是被容許的，并且兀eA，如果（）和過程滿足0,0?t?T。接著(2)有VWw=VW兀t+T texp(Jt+t(r+兀tu-—壯tc2)d+ft+t兀tqdw)t s2S sVWw=VW兀t+T t對于任何T>0。對于給定的T>0,W>0和兀GRn,令t+TtW(w+兀)=Wexpr+兀tu—t+Tt緊隨（3）后，給定一個投資組合兀，在t時刻相關(guān)的投資組合價值為W兀，如果投資組合權(quán)重在t至卩+T時間段保持不變，則隨機變量wt+T tt'將成為在時刻t+T的投資組合的未來值。對于一個給定的置信水平1-aG（0,1）和一個給定的水平線合權(quán)重在t至卩+T時間段保持不變，則隨機變量wt+T tt'將成為在時刻t+T的投資組合的未來值。對于一個給定的置信水平1-aG（0,1）和一個給定的水平線T>0，投資組合兀GA在t時刻的*為""人t%且被定義為 ( ) )1( )VaRa,"=inf11>0:Pw"—ww",">L丿<a)='Qa,"Ct+Tt(t 、t t[—wV"," —w"<LE<a二t是投影組合收益在區(qū)間這里Qta,w=SUPt t+T tt tL,t+」的分位數(shù)，且x-=maxb,-x］表示實數(shù)x的負部。換句話說，VaRa兀是損失超過長度T的下一個階段，這將僅a（?。l件概率超出，如果目前組合中保持兀不變。事實上,VaRa兀的計算是在當(dāng)前的投資組合保持不變，反映實際和事實即金融機構(gòu)監(jiān)測他們的交易t員通常不知道在VaR的水平線上交易者的未來的投資組合選擇的假設(shè)下下進行的。相反,在（4）中VaR的測度只需要了解現(xiàn)有的投資組合價值的，目前的投資組合，與資產(chǎn)收益率的條件分布。類似的，一個投資組合兀GA的TCE約束被定義為TCEa，兀t t+T tt這里x+=maxb,x］。換句話說，投資組合的TCE約束的損失超過條件期望值的"°：，"。鑒于我們的資產(chǎn)收益對數(shù)正態(tài)分布的假設(shè)，無論是投資組合的VaR還是TCE的，都可以明確計算。命題1.我們有Vapa，兀=w"|1-exp((r+"tu-—"tg2)t+N-itTCEa,W二Wwt t1-exp((r+兀wu)rTCEa,W二Wwt t1-exp((r+兀wu)r)-tta這里N°）和N-1（x）表示正態(tài)分布的逆分布函數(shù)。特別是,0<vapa，兀<TCLa，兀<w兀t t t和vapa,0二TCEa,0二0t t證明參見在線附錄。3.VaR約束下的最優(yōu)交易策略W現(xiàn)在考慮初始基金為03.VaR約束下的最優(yōu)交易策略W現(xiàn)在考慮初始基金為0父易者白E投資組合交，的終端值的預(yù)期效用上風(fēng)險價值VaRta“不大于某些預(yù)先設(shè)定的水平是嚴格遞增、嚴格凹，連續(xù)可微、區(qū)域 dom（u）WeR:u（W）>-g lim u,（W）=0lim u,（W）=s= d的內(nèi)部，滿足Inada條件 wt0 , wtwW:二infWeR:u（W）>—g}u o必須選擇一個投資組合兀eA以便最大化的眄在任何時間teb，T［投資組合的t丿n0t 。我們假設(shè)效用函數(shù)u:R對于交易者所面臨的投資組合選擇問題是如下:supElu（W）］Ts.t.W兀二W00VaR”<VaR”<VARtt teb,T]備注?因為我們假定VaRtlog1r+備注?因為我們假定VaRtlog1r+兀TU 兀TQt2t—N—(ahtqv't<0注意到在（10）中我們允許VaR約束在時間t依賴于日程表時間和投資組合的當(dāng)前值兀,t>0,跟從（9）集合兀=0（也就是說，在無風(fēng)險債券t t投資一切）總是滿足VaR約束。因此，可行的交易策略的集合是非空的。備注2.在（6）中VaR的表達意味著投資組合兀滿足約束條件VaRa貝<VaRt在單一風(fēng)險資產(chǎn)（n=1）的情況下，它可以很容易地驗證（11）相當(dāng)于分配給風(fēng)險資產(chǎn)<K<K+t t的比例兀t的上限和下限:兀<K<K+t tt此時

兀土(w,t)=/\二<T±N兀土(w,t)=/\二<T±N-i(a)±|(二&土N-1(a))2冏 \同宀, 4vapC,t)、—2log1- ^w(Iw丿、+-rT‘11n>1和2。如果n>l和a‘11n>1和2。如果n>l和a>2,設(shè)這個不等式以后是很自然的。+兀TU丿dS.+Jtw冗兀Todw,0sS s1S\+兀TU丿dS.+Jtw冗兀Todw,0sS s1S\2t丿t一N-1(a)kto豳<0導(dǎo)致了最優(yōu)交易策略如下特征。1定理1?假設(shè)a<2且令v（w,t）=supEf為隨機控制問題（13）表示值函數(shù)。定義/ I|k療+N-1（a）+i|k卜'T+N-1（a》這里k=aTCoJ1卩。那么，決Hamilton-JacobiBellman（HJB）方程兀=wT箱f皿t)八'-2log1 -rTq+(W,t)>0a對于所有的（w，t）e（0,"）xb,T］和v，解-1-V^|kI2+vw+v2v" wrtwww2vkQ+wwa2+vw(r+\k|2Q+)+vw a tvw—WQ+wvawwotherwise而且與終端條件v（w，t）=u（w）最后，令v(w,t) / .n—―-,q+(w,t)wv(w,t)aww兀+(w,t)=Q(w,t)CjtLuQ(w,t)二mi解決(13)。證明參見在線附錄。備注3。方程(18)表明，VaR約束代理人的最優(yōu)投資組合是無風(fēng)險資產(chǎn)與均值方差有效投資組合^aT1卩的一個組合。因此，隨著資產(chǎn)收益對數(shù)正態(tài)分布，VaR約束影響無風(fēng)險和風(fēng)險資產(chǎn)之間叫最優(yōu)投資組合的分配，但不影響風(fēng)險資產(chǎn)的最優(yōu)投資組合的組成。在(14)中方程t丿可確定在VaR約束下，t時刻投資于均值方差有效組合的財富的最大比例(正如定理1的證明，缺失均值方差有效組合從來都不是最優(yōu)的)。定理1的結(jié)果也使我們能夠計算出最優(yōu)交易策略下的終端組合價值的分布。推論1.令P血't)表示W(wǎng)兀*的密度函數(shù)。那么，p解決Kolmogorov前向方程3p=1。2S卜p(M“打dt 23w2 9」3w初始條件p(W，0)=§W-%),此處9在方程(17),8表示Dirac'sde方程。證明.參見Karatzas和Shreve(1988)。4.CRRA效用的例子我們專注我們的模型通過假設(shè)對于任何何〉0，uW)=W_丫)。我們記得，在沒有VaR約束時,V有VaR約束時,V（W,t）二ep（T一tfW%_丫）"，此時Tfr+\/WeTfr+\/We和標(biāo)準(zhǔn)偏差為W0e‘兀*（w,t）= （8T）-1UrWk* We因此，從(3)和(20)，終端投資組合的價值Wt是對數(shù)正態(tài)分布，且均值為"oe為了進一步了解VaR約束的最優(yōu)交易策略的影響，我們考慮下面的函數(shù)VaR血'"三種可供選擇的規(guī)格，其確定在任何時候te^0,t)的最大允許風(fēng)險。，從備注3和(20)注意到,<inf 9+(w,t)當(dāng)且僅當(dāng)r(w,t比(o,8以亦］a ，給定的VaR約束是沒有約束力的。此外，從(18)和(20)可知，風(fēng)險價值約束的最優(yōu)投資組合是無約束的最優(yōu)投資組合的倍數(shù)。q^"'t)=丫9血，t)參照Basak和Shapiro(2001)的術(shù)語(2001)，我們將把這個倍數(shù)作為相對風(fēng)險暴露。特別是，我們在終端的日期的邊界條件(16)得到它。

qW,t)二mini,旳+(W,t山1a在解析解不可用的情況下，我們通過改寫狀態(tài)變量w=log^W）來數(shù)值化地解決了偏微分方程（15），然后應(yīng)用顯式有限差分方法（詳見Kushner和Dupuis1992）。這使我們能* w兀*夠從（18）獲得最佳的交易策略兀。由于應(yīng)用有限差分法近似的狀態(tài)變量 和一個馬爾W兀*可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率，我們使用這些過渡概率計算終端投資組合值Wt的分布。這種方法產(chǎn)生的結(jié)果和通過用有限差分法求解Kolmogorov方程（19）所得到的結(jié)果的相似。所有的數(shù)值計算，假設(shè)r=0.008,k=0.37,a=0.01,t=”1%。，T=10,Y=0.5或者丫=5,W=1。此外，我們縮放函數(shù)VaR（W,t），以使VaR（W,t）=0.05（這相當(dāng)于設(shè)置下0邊例子中0=0.05）4.1.VaR（W,t）=0我們首先考慮的恒定風(fēng)險限額的情況下：VaR血‘。在這種情況下，函數(shù)ea■是tlime+(wlime+(w,t)=wl0alime+(w,t)=Iawd+gN-1(a)+1；'(|托+N一1=0.000582因此，VaR約束是有約束力的當(dāng)Y<%.000582=1,717.8，否則是不具有約束力的。計算1曲線最優(yōu)策略（在（21）對于丫=0.5函數(shù)q（W,t）當(dāng)t=0和當(dāng)t=T）下的相對風(fēng)險.和Basak和Shapiro的結(jié)論（2001）相反，圖中顯示了VaR約束下的代理沒有投入更多的風(fēng)險資產(chǎn)相比不受VaR約束的代理（相對風(fēng)險暴露是不大于1）。因此，如圖2,風(fēng)險價值約束的投資策略極端損失在水平線T的概率比不受約束的策略時的低。我們認為這些結(jié)論也適用于其他的例子。因此，在表達反對使用風(fēng)險值作為風(fēng)險控制工具，在文獻中有所保留，并不包括設(shè)置在其中的風(fēng)險限額進行動態(tài)重新評估。另外值得一提的是在圖1中一個重要的避險需求的存在：例如，初始財富為W=0.4（log（W））=-0.916的VaR約束下的代理和10年的投資期限將投資只有67%之00多，在均值方差有效組合不受約束的代理，盡管他可以投資的無約束最優(yōu)數(shù)量的均值方差有效組合，在時間為零時仍然滿足風(fēng)險約束（因為^（0.4,0）=2.5>.片）。顯然，這種低配置的均值方差有效組合，降低了最優(yōu)投資組合的波動性，并反映當(dāng)投資組合價值增加引起的極端的組合值較小的間接效用時，一個恒定的VaR約束變得更加具有約束力的事實，極端

Q+的組合值中較小的間接效用時（從圖1中可以看到在這種情況下，（14）中的方程屮是一個遞減函數(shù)的組合值）。圖3和圖4說明丫二5的情況下的相應(yīng)結(jié)果。在這種情況下，避險需求是可以忽略的，女口所示的事實，在初始日期的最優(yōu)風(fēng)險暴露是非常接近在終端的日期的最優(yōu)風(fēng)險暴露。這源于一個事實，在時間t（i.e., ,t）），僅當(dāng)W>4.76（log（W））>1.56）VaR約束是有約束力的，且如圖4所示，這一事件的概率可以忽略不計。圖1?圖中表示t=0（粗線）和t=T（細線）時的相對風(fēng)險暴露q（W't），假設(shè)r=0.008,k二0.37,T=10,丫二0.5,W0二1，a=0.01，t二1.260，VaR（W,t）二0.05。0.80.6D-6 -4-2 0 2log(W)6圖D-6 -4-2 0 2log(W)6圖2.圖中表示終端投資組合值W兀*

t的概率密度在約束（粗線）和無約束（亮線）的情況下的最優(yōu)交易策略，假設(shè)r=0.008,k=0.37，T二10，丫二0.5，%=1，丫二0.5,t二1260，VaR（W,t）二0.05。0.8642O.O.O.642O.O.O.-6 -4 -2 0 2log(W)圖3.圖中表示t=0（粗線）和t=T（細線）時的相對風(fēng)險暴露q（W't），假設(shè)r=0.008,k=0.37,T=10,丫=5,W=1,a=0.01,t=垸。，VaR（W,t）二0.05。

-6 -4-2 0 2】og(W)4 6oQC-6 -4-2 0 2】og(W)4 6oQC自4衛(wèi)lo.o.o.o.0圖4.圖中表示終端投資組合值WK*的概率密度在約束（粗線）和無約束（亮線）的情t況下的最優(yōu)交易策略，假設(shè)r=0.008,k|=0.37，丫二5，T=10，W0=1，a=0.01，t二1.260VaR（W,t）二0.05。4.2.>.二工U3?二三qpqo」d2o-.26o.4.2.>.二工U3?二三qpqo」d2o-.26o..8--VaR約束固定到一個恒定的值有明顯的缺點，當(dāng)投資組合價值的增加，該約束變得有約束力；當(dāng)投資組合的價值是足夠低，該約束就沒有約束力。因此，一個恒定的VaR約束處罰成功的商人。在實踐中，成功的交易者通?？吹剿麄兊腣aR約束增加。捕捉到這一事實，我們接下來考慮一個固定比例的VaR的情況，VaR（W,t）=。因此，沐庁+N-1（X）+、/（|E|Jt+N-1匕加_2（log（l ）+_rK）A（w,t）= =申+X 勺Jt x對于所有的（W,t），在這種情況下很容易證明價值方程V（W，人ep-t）（W%-j，這里P，-Y）（+昭-gjkI?）和

(p*=(p*=，解決HJB等式（15）。因此，pW'并且對于所有的"'"qW' 心<1。因此,在這種情況下沒有套期保值的需求和VaR約束下的最優(yōu)交易策略與無約束的最優(yōu)交易策略的投資者CRRA的投資者CRRA系數(shù)Y*圖5.圖中表示終端投資組合值W滬的概率密度在約束（粗線）和無約束（亮線）的情T況下的最優(yōu)交易策略’假設(shè)r=O.O08,k=0.37，T二10，“0.5，W°=1，八0.01，0.35XJ5LBP卻二-qeqo?x0.150.10T二1260，VaR(W,t)二0.05W0.35XJ5LBP卻二-qeqo?x0.150.100-6 -4 -2 0 2 4MW)數(shù)值參數(shù)例子二0.966，如果使VaR約束是有約束力的Y<10.966二山彳'，否則,是沒有約束力的。尤其如果丫二0.5，對于代理人，有約束的最優(yōu)交易策略與無約束的交易策略相比有著更高的CRRA系數(shù)廠二1.035,且相對風(fēng)險暴露q（W,t）是一致的且等于0.483。圖5顯示了VaR約束和無約束條件的最優(yōu)交易策略下的終端投資組合值分布。43VaR（W,t）=W-（1—卩W丄0在§4.1例（恒定的VaR），在均值方差有效投資組合P+允許的最大比例的投資是當(dāng)前a投資組合價值的增函數(shù)，然而在§4.2例（恒定比例的VaR），它是恒定的。作為最后的例子，我們考慮VaRW,t）=（W-G-卩W丄這個情況，因此，VaR約束等于一個初始投資0組合價值的恒定的比例卩W0，加上任何經(jīng)營收益W-W。在這種情況下，P+W,t）是W0 a的單調(diào)遞增函數(shù)，lim3(W,t)wlok[Jx+N-iCx)+卜&+N-i(a》+2rr

k爲(wèi)=0.000582lim申和WT+8因此，當(dāng)Y<10.OOO582=1,717.8時，VaR約束是有約束力的。否則沒有約束力在（正如§4.1例）。圖6.圖中表示t=0（粗線）和t=T（細線）時的相對風(fēng)險暴露q（W't），假設(shè)r=0.008,\k\=0.37,T=10,Y=0.5,W°=1，a=0.01，t=[260VaRW,t)=W-G-0.05W丄。0log(W)TOC\o"1-5"\h\z值得注意的是，在對于所有W<（1-0W,a=0,Q+W,t）=0的極端情況下，最優(yōu)0 a投資組合兀*有財產(chǎn)W^>（1—卩W）,對于所有的tet）,T］。因此，動態(tài)VaR約束VaRs<W“-G-0加）可以被認為是一種放松的動態(tài)投資組合保險的約束t t 0W“>G—卩W，對于所有的teb,T］。\o"CurrentDocument"t 0圖6和7（圖8和9）顯示當(dāng)丫=0.5（y=5）最優(yōu)的風(fēng)險暴露和終端投資組合價值的分配。在這兩種情況下，風(fēng)險價值約束的結(jié)果是終端投資組合的價值的一個高度偏態(tài)分布。正如已經(jīng)指出的，當(dāng)°"=0，由此產(chǎn)生的分布必須分配logW兀丿的值概率為零在Tlog［（1-0”］=-0.051下：圖7和9的這些值的概率是正的，但可以忽略不計，而損失的概率小的0W是明顯大于無約束下的政策。0圖7.圖中表示終端投資組合值W滬的概率密度在約束（粗線）和無約束（亮線）的情T

況下的最優(yōu)交易策略’假設(shè)r=O.O08,k=0.37,T=10，，二0.5,忙=1,八0.°1,t二1260,VaR(W,t)=W-(1-0.05”丄。士uap2?三qpqp_d00.20士uap2?三qpqp_d00.200.05-6 -4 -2 0 2 4log(W)6圖8.圖中表示t=0（粗線）和t=T（細線）時的相對風(fēng)險暴露q（W't），假設(shè)r=0.000.37,T二10,丫二5,W0二1，a二0.01，t=［么。，VaR（W,t）=W-（1-0.05”丄圖9.圖9.圖中表示終端投資組合值”1*的概率密度在約束（粗線）和無約束（亮線）的情況下的最優(yōu)交易策略’假設(shè)r=0.008,k=0.37，T-10，，二5，忙=1，八0.01，VaR(W,t)=W-G-0.05”丄0。

2121*=(_qKfqald-0.2 0 0.2 0.4 0.6(U1.0logfff)5.TCE約束現(xiàn)在我們將轉(zhuǎn)向基于TCE風(fēng)險約束的交易者的問題,supeUCw）Ts.t.w兀二wTCE<TCE?兀,t）Vtelo,t]t t這里TCE是一個給定的非負函數(shù)且&e（0,1）o簡介中所提到的，TCE被提倡作為一個比VaR更好的風(fēng)險管理工具，然而，我們會表明至少在資產(chǎn)價格的情況下服從幾何布朗運動，VaR或TCE的選擇作為風(fēng)險管理工具是無關(guān)緊要的。）定義：約束VaRW：，t）和TCE與<TCEW，丿是等價的，如果在（10）和⑵）中的最優(yōu)投資組合策略是一致的對于所有效用函數(shù)u。TCE中的最優(yōu)投資組合策略是一致的對于所有效用函數(shù)u。TCE:pft丄，此時2VaR，兀=Wa卯p/ 、+十回想命題1 ttaG/和仔1r+兀tu一一1t2pG)=1-expxtT+N-1Cx)兀TOtp人G)=1-expxt(( ))NN-p人G)=1-expxtr+兀tu< -因為TCEa，k取決于兀僅僅通過瞬時收益率兀T卩和瞬時收益方差匸TO2，它如下定理t t 1t1，在（23）中，最優(yōu)投資組合k*是一個組合的無風(fēng)險資產(chǎn)與均值方差有效投資組合not丿1卩,例如兀*例如兀*=xt銳*,t t)1ut對于所有的方程。。下一個引理表明，它是投資組合的無風(fēng)險資產(chǎn)與均值方差有效組合,申A=引理1對于所有的A申A=引理1對于所有的A>0，設(shè)定A是是包含原點的閉區(qū)間。因此存在方程"a和幻且"A<0叫使得"a^-(A),9+(A)A A■A A」。如果A<1，"a是有界的,a A>1 "-(A)=-a"+=+8的兩個根。如果A>1，半A 且屮A 。TCE約束是相當(dāng)于一個下限和上限配置的均值方差有效組魚Gq丿1u<a證明：參見網(wǎng)上附錄。0A(w,t)=?A 土AA回顧ME、“=“廣Pa"t>,直接遵循上述引理，在（24）的政策滿足在（23）的TCE的約束，當(dāng)且僅當(dāng)%」<血t）<^a（w,t），對于所有的（w,t0A(w,t)=?A 土AA由于賣空的均值方差有效組合從來都不是最優(yōu)的，那么容易看到，對給定的VaR和TCE）"a。這導(dǎo)致了以下結(jié)果。）"a。這導(dǎo)致了以下結(jié)果。VaRA蟲VaR51是等價的，這里Ae（0,1）如，如果函數(shù)在（14）屮A和函數(shù)TCEA，冗<TCEW冗昇叩題2.約束t t和約束是一個隨機概率,kJt+N-1(kJt+N-1(a)+J|k師+N-10+2rT<inf(w,t)wR+xAa+(w,t)b,T](AVaP(