一類拋物線與多直線相交的中考壓軸題解法

一類拋物線與多直線相交的中考壓軸題解法張佑勝舒新詠翁先蘭縱觀近十年來全國各地中考數(shù)學(xué)壓軸題，大多數(shù)是以拋物線為背景的綜合性問題.這類問題，綜合性強，解法靈活，是對學(xué)生分析問題和解決問題能力的綜合考查，具有較好的區(qū)分度和選拔功能.因此，很多考生不知所措，望而卻步！本文選取近年來幾例武漢市中考或調(diào)考數(shù)學(xué)壓軸題，探討一類拋物線與多直線相交問題的解題通法與教學(xué)啟示先看幾個問題：問題1（2022武漢中考壓軸題第（3）問）如圖1,AMNE的頂點M,N在拋物線y=x2上，點M在N右邊，兩條直線ME，NE與拋物線y=x2均有唯一公共點，ME,NE均與y軸不平行.若△MNE的面積為2，設(shè)M,N兩點的橫坐標(biāo)分別為m,n，求m與n的數(shù)量關(guān)系口圖1圖2圖3問題2（2022武漢中考壓軸題第（3）問）如圖2,拋物線y二ax2+c與x軸交于A,B兩點，頂點為C,點P在拋物線上，且位于x軸下方，直線PA,PB與y軸分別交于E,F兩點.當(dāng)點P運動時，OE+OFOC是否為定值？問題3（2022武漢中考壓軸題第（3）問）如圖3,將拋物線y=x2+4x+3平移，當(dāng)頂點至原點時，過Q（0,3）作不平行于x軸的直線交拋物線于E,F兩點，問在y軸的負半軸上是否存在一點P,使APEF的內(nèi)心在y軸上？問題4（2022武漢元調(diào)壓軸題第（3）問）如圖4,拋物線y=x2+（1-m）x-m交x軸于A,B兩點（A在B的左邊），交y軸負半軸于點C.過點E(m,2)作一直線交拋物線于P,Q兩點，連接AP,AQ分別交y軸于M,N兩點，求證：OM?ON是一個定值口問題5(2022武漢四調(diào)壓軸題第(3)問)如圖5,點C為拋物線y=12x2-3x+92的頂點，直線y二kx(k>0)與拋物線相交于A，D兩點(點D在點A的下方)，若B是拋物線上點A的對稱點，直線BD交對稱軸于點M，求證：PC二CM圖4圖5這些都是拋物線與多直線相交的壓軸題,類似的,還有很多,不一一列出.為了有效的解決這類問題,先看如下基本命題基本命題：直線l與拋物線y二ax2+bx+c交于A,B兩點，點A,B的橫坐標(biāo)分別為xA,xB，則直線l的解析式是y=[a(xA+xB)+b]x+c-axAxBD略證：設(shè)直線l：y=mx+n,聯(lián)立y=ax2+bx+c,y=mx+n,得ax2+(b-m)x+c-n=0,所以xA+xB二m-ba,xA?xB二c-na,所以m=a(xA+xB)+b,n二c-axAxB,口所以直線l：y=[a(xA+xB)+b]x+c-axAxB推論直線l與拋物線y=ax2+bx+c有唯一公共點A,點A的橫坐標(biāo)為xA,則直線l的解析式是y=(2axA+b)x+c-ax2A運用上述基本命題及推論,我們可以按照統(tǒng)一的思維方式,有效地解決上述一類拋物線與多直線相交的壓軸題.現(xiàn)從問題1至問題5中選3個簡解如下問題1簡解作EH〃y軸交MN于H,由前面基本命題可得：口NE：y=2nx-n2,ME：y=2mx-m2,MN：y=(m+n)x-mn,聯(lián)立y=2nx-n2,y=2mx-m2，解得xE=m+n2,yE=mn,口所以SAMNE=12HE?(m-n)=12[(m+n)?m+n2-mn-mn](m-n)=14(m-n)3=2，所以m-n=2問題2簡解由前面基本命題可得：PA：y=[a(xA+xP)+c]x+c-axAxP，PB：y=[a(xB+xP)+c]x+c-axBxP，因為點A，B關(guān)于y軸對稱，所以xA+xB=0，所以O(shè)E+OF二(-c+axA?xP)+(-c+axB?xP)口=-2c+a(xA+xB)xP=-2c=2OC，所以0E+0F0C=2問題4簡解由x2+(1-m)x-m=0，得x1=-1,x2=m,□所以A(-1，0)，由前面基本命題可得：PQ：y=(xP+xQ+1-m)x-m-xPxQ，AQ：y=(-1+xQ+1-m]x-m+xQ，AP：y=(-1+xP+1-m]x-m+xP，因為點E(m,2)在直線PQ上,□所以2=(xP+xQ+1-m)m-m-xPxQ，所以m2-m（xP+xQ）+xPxQ=-2，所以O(shè)M?ON=|-m+xP|?|-m+xQ|口=|m2-m（xP+xQ）+xPxQ|=2口點評在上述解法中，都是選取拋物線與直線交點（公共點）的橫坐標(biāo)為參數(shù)，表達直線解析式y(tǒng)二kx+b中的k與b,進而表示出各條直線的解析式，順利地解決相關(guān)問題.為了以后稱呼的方便，不妨將這種解法冠名為“交點橫坐標(biāo)參數(shù)法”3.上述幾個問題除了運用“交點橫坐標(biāo)參數(shù)法”外，每個問題都有自身獨有的解法.但對于絕大多數(shù)學(xué)生而言，面對一個個獨特的解題方法，猶如一盤散沙，不知所云，難以駕馭，再遇到類似的問題時依然是束手無策.運用“交點橫坐標(biāo)參數(shù)法”這一“通法”，對于“拋物線與多直線相交”的一類問題，都可以順利解決.且看如下一例問題6拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A，B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C,平移直線BC分別交拋物線圖6于M,N兩點（M在N的左側(cè)），若拋物線上存在一定點P（P與M不重合），使得ZPMN-ZPNM=90°，求點P的坐標(biāo)口簡解如圖6,過P作PH丄y軸于H,設(shè)PM交y軸于點D所以ZMDO=ZNEO,□所以EH=HD,所以yD+yE=2yP由前面基本命題可得：PN：y=(2-xp-xN)x+xPxN+3，PM：y=（2-xp-xM）x+xPxM+3，MN：y=（2-xM-xN）x+xMxN+3，因為MN〃BC,□所以2-xM-xN=-l,所以xM+xN=3,口所以yD+yE=（xPxN+3）+（xPxM+3）=xP（xM+xN）+6=3xP+6，又2yP=2（-x2P+2xP+3），所以3xP+6=2（-x2P+2xP+3），所以xP=0（舍），或xP=12，口所以點P（12,154）□點評對于問題6，筆者曾請就讀于985高校的幾個往屆學(xué)生來做，四人中只有一人解答出來了，可見本題殺傷力還是有點大.運用“交點橫坐標(biāo)參數(shù)法”能夠較為順利地解決，就在于這種方法選取的參數(shù)少，每個參數(shù)之間又易于建立關(guān)聯(lián)問題6除了運用上述“通法”外，至少還有兩種特殊方法.第一種方法：在證明了等腰三角形PDE后，構(gòu)造以PM和PN為斜邊的兩個直角三角形相似，進而建立點P,M，N坐標(biāo)之間的等量關(guān)系，求出P點坐標(biāo).這種構(gòu)造方法對于初中生來講，難度就有點大，難以把握.第二種方法，運用高中知識，在證明了等腰三角形PDE后，得出直線PM和PN的斜率之和為零，建立等量關(guān)系求解對于“拋物線與多直線相交”一類問題，運用“交點橫坐標(biāo)參數(shù)法”這一“通法”，都可以順利解決.下面不妨提供幾個練習(xí)問題問題7拋物線y=-x2+1的頂點M在y軸上，與x軸交于A,B兩點圖7圖8如圖7，若向上平移直線y=12x交拋物線于P，Q兩點，直線BPBQ分別交y軸于C,□D兩點，求OC+OD的值如圖8,直線y=-2x+b與拋物線交于P,Q兩個不同的點，直線AP,AQ分別交y軸于C,D兩點，求證:OC=OD.□問題8如圖9，已知A(-2，t)為拋物線y=14x2上一點，B(-2，3),P為點A左側(cè)拋物線上一動點，直線PA交直線y=-x-3于點M，直線PB交拋物線于點N,連接MN，求證：AB〃MN圖9圖10圖11問題9已知直線y二kx-2k+3(k#0)與拋物線y=a(x-2)2(a>0)相交于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))口不論k取何值，直線y二kx-2k+3必經(jīng)過定點P，直接寫出點P的坐標(biāo);如圖10，已知B，C兩點關(guān)于拋物線y=a(x-2)2的對稱軸對稱.當(dāng)a=12時，口求證：直線AC必經(jīng)過一定點;如圖11，拋物線y二a(x-2)2的頂點記為點D，過點A作AE丄x軸，垂足為E，與直線BD交于點F，求線段EF的長.教學(xué)啟示1.數(shù)學(xué)是人類思維的體操，在培養(yǎng)人的聰明才智方面起著巨大的作用.所以，數(shù)學(xué)教學(xué)實質(zhì)上是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué).也就是說，在數(shù)學(xué)教學(xué)中除了要使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識、基本技能外，還要注意培養(yǎng)學(xué)生的思維能力應(yīng)把培養(yǎng)學(xué)生的思維能力貫穿在教學(xué)的全過程已故著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：要真正打好基礎(chǔ)，有兩個必經(jīng)的過程即“由薄到厚”和“由厚到薄”的過程.“由薄到厚”是學(xué)習(xí)、接受的過程，“由厚到薄”是消化、提煉的過程.筆者認為，多題一解，使眾多一大類問題，在統(tǒng)一簡單的思維方式下便可獲得解題思路，是讓學(xué)