任意角 教學(xué)設(shè)計(jì)-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

5.1.1任意角內(nèi)容及其解析1.內(nèi)容：任意角2.內(nèi)容解析本節(jié)課選自人教A版必修一第五章第一節(jié)，在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的一般概念，并研究了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，知道了函數(shù)的研究?jī)?nèi)容、過程和方法，本章將利用這些經(jīng)驗(yàn)，利用單位圓進(jìn)一步研究任意角的三角函數(shù)，并用集合與對(duì)應(yīng)的語言來刻畫，這樣，在研究三角函數(shù)之前，有必要先將角的概念推廣。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將進(jìn)一步掌握任意角的概念，同時(shí)，還利用直角坐標(biāo)系建立象限角的概念，使得任意角的討論有了一個(gè)統(tǒng)一的載體，為以后三角函數(shù)的引入做準(zhǔn)備，因此，本節(jié)課起著承上啟下的作用。根據(jù)上述分析，可以確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：將0°到360°范圍的角擴(kuò)充到任意角。目標(biāo)及其解析結(jié)合實(shí)例體驗(yàn)角的概念推廣的必要性；理解并掌握正角、負(fù)角、零角的定義；能用集合和數(shù)學(xué)符號(hào)表示終邊相同的角，即掌握所有與ɑ角終邊相同的角（包括ɑ角）的表示方法；能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來討論任意角，理解象限角、軸線角的概念，并能用集合和數(shù)學(xué)符號(hào)表示；通過正角、負(fù)角、零角與正數(shù)、負(fù)數(shù)、零的類比，培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力；通過畫圖和判斷角的象限，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法。問題診斷分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了集合語言，并對(duì)現(xiàn)實(shí)情境中“周而復(fù)始”現(xiàn)象較為熟悉，同時(shí)，具備了一定抽象概括能力，溝通交流能力，都為本節(jié)內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)。但是，學(xué)生在理解終邊相同的角的表示方法上，會(huì)出現(xiàn)障礙，其原因是：剛剛將角的概念推廣，還不是很適應(yīng)終邊相同的角的“周而復(fù)始”這個(gè)現(xiàn)象的本質(zhì)；同時(shí)，在學(xué)習(xí)了象限角的概念之后，怎樣用集合和數(shù)學(xué)符號(hào)語言正確地表示象限角（如：第一象限角）會(huì)出現(xiàn)障礙，其原因是：對(duì)第一象限角是由無數(shù)個(gè)區(qū)間構(gòu)成，它們的終邊是“周而復(fù)始”的現(xiàn)象的刻畫還不了解，教師要進(jìn)一步解釋k·360°的運(yùn)用特點(diǎn)。本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是任意角概念的構(gòu)建，用集合表示終邊相同的角。教學(xué)支持條件分析在課件中插入動(dòng)圖，在角的旋轉(zhuǎn)量、旋轉(zhuǎn)方向上給學(xué)生以動(dòng)態(tài)的體會(huì)；動(dòng)態(tài)地表現(xiàn)角的終邊旋轉(zhuǎn)過程，有利于學(xué)生觀察到角的變化與終邊的位置關(guān)系，從特殊到一般，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證終邊相同的角的表示方法。教學(xué)過程設(shè)計(jì)創(chuàng)設(shè)情境，引入新知引導(dǎo)語：這節(jié)課我們開啟新篇章：三角函數(shù)。首先，同學(xué)們打開章導(dǎo)語，有這樣一副月相變化圖：從新月到滿月再到新月，就是月相變化的一個(gè)周期，這一周期為29.53天，稱為朔望月，到了下月初一，又是朔，開啟了新的循環(huán)?，F(xiàn)實(shí)世界中的許多運(yùn)動(dòng)、變化都有著循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的規(guī)律，這種規(guī)律稱為周期性。例如：地球自轉(zhuǎn)、地球于太陽公轉(zhuǎn)，月亮圓缺、潮汐變化等，數(shù)學(xué)中的圓周運(yùn)動(dòng)也是一種常見的周期性變化現(xiàn)象。問題1：如圖，上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針方向的旋轉(zhuǎn)。如何刻畫點(diǎn)P的位置變化呢？OAPPOOAPPOA【師生活動(dòng)】學(xué)生思考，教師引導(dǎo)：我們知道，角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形。在圖中，射線的端點(diǎn)是圓心O，它從起始位置OA按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OP，形成一個(gè)角，射線OA，OP分別是角的始邊和終邊，點(diǎn)P是終邊OP與的交點(diǎn)．可以借助角的大小變化刻畫點(diǎn)P的位置變化?！驹O(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)情境，以圓為載體研究周期性變化對(duì)理解角的擴(kuò)充更有幫助。由初中知識(shí)可知，射線OA繞端點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周回到起始位置，在這個(gè)過程中可以得到范圍內(nèi)的角。如果繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，那么所得到的的角就超出這個(gè)范圍了。所以，為了借助角的大小變化刻畫圓周運(yùn)動(dòng)，需要先擴(kuò)大角的范圍。引導(dǎo)探究，建構(gòu)概念現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見超出范圍的角。例如，摩天輪繞機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)一周半轉(zhuǎn)過了540°，如果鐘表快兩個(gè)小時(shí)，應(yīng)當(dāng)將分針逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)720°，慢兩個(gè)小時(shí)，應(yīng)當(dāng)將分針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)720°。問題2：這些角有哪些不同，體現(xiàn)在哪幾個(gè)方面？【師生活動(dòng)】學(xué)生思考，得出結(jié)論：不同體現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向?！驹O(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從生活實(shí)際出發(fā)用數(shù)學(xué)的眼光分析問題，歸納刻畫角的兩個(gè)方面——旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向。1.角的概念類比實(shí)數(shù)的學(xué)習(xí)，我們對(duì)角的范圍進(jìn)行擴(kuò)充：一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角。如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個(gè)零角。【數(shù)學(xué)情境】你能分別作出750°、210°、-150°、-660°嗎？【設(shè)計(jì)意圖】再次強(qiáng)調(diào)決定一個(gè)角的要素是旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量。角的運(yùn)算問題3：類比實(shí)數(shù)，思考下列問題：（1）你認(rèn)為相等的兩個(gè)角應(yīng)該怎樣規(guī)定？（2）兩角相加又是怎樣規(guī)定的？（3）你知道什么是互為相反角嗎？?jī)山窃鯓酉鄿p？【師生活動(dòng)】學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行交流?！驹O(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生嘗試定義角的相等和加減法，體會(huì)定義的合理性。3.象限角角的范圍擴(kuò)充后，為了討論的方便，我們通常在直角坐標(biāo)系中研究角。角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合。問題4：根據(jù)終邊位置的不同，可以把角分為哪幾類？【師生活動(dòng)】學(xué)生經(jīng)過思考不難得出：根據(jù)角的終邊所在象限，將角分為第一象限角，第二象限角，第三象限角，第四象限角。教師補(bǔ)充：如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限，也稱為軸線角。并展示象限角和軸線角的動(dòng)態(tài)形成過程?！驹O(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)在直角坐標(biāo)系中研究角是自然和合理的。問題5：銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生舉手作答：因?yàn)殇J角是指大于且小于的角，所以銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角?！驹O(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生明確“銳角”“第一象限角”之間的關(guān)系，避免混淆。4.終邊相同的角問題6：在直角坐標(biāo)系中，將角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么與角終邊重合的角還有哪些？有多少個(gè)？【師生活動(dòng)】學(xué)生討論后作答：328°，688°，－392°，－752°；無數(shù)個(gè)追問：它們與角有什么關(guān)系？能不能用集合的形式將它們表達(dá)出來？【師生活動(dòng)】學(xué)生先獨(dú)立完成，然后小組交流，教師引導(dǎo)學(xué)生用集合語言表述。追問：將推廣到一般角，結(jié)論應(yīng)該是什么？【師生活動(dòng)】學(xué)生不難得出：.【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)特殊角之間關(guān)系的研究得到一般性的結(jié)論，符合學(xué)生由特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，并且培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。當(dāng)堂訓(xùn)練，鞏固深化例1在范圍內(nèi)，找出與－950o12′角終邊相同的角，并判斷它是第幾象限角?！編熒顒?dòng)】由學(xué)生給出答案，并要求學(xué)生說出解答步驟?！驹O(shè)計(jì)意圖】利用終邊相同的角判定其象限，為以后證明恒等式、化簡(jiǎn)及利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)的值等奠定基礎(chǔ)。例2寫出終邊在軸上的角的集合?！編熒顒?dòng)】師生一起分析，教師板書示范?！驹O(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用集合表示終邊相同的角時(shí)，表示方式不唯一，要注意采用簡(jiǎn)約的形式。例3寫出終邊在直線上的角的集合。中滿足不等式的元素有哪些？【師生活動(dòng)】可以由幾個(gè)學(xué)生分別上臺(tái)板書，教師引導(dǎo)學(xué)生點(diǎn)評(píng)。【設(shè)計(jì)意圖】鞏固終邊相同的角的表示。歸納小結(jié)，回顧反思教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并回答下列問題：（1）任意角都是象限角嗎？（2）第一象限的角如何用集合表示？布置作業(yè)，拓展新知1.基礎(chǔ)作業(yè)：完成質(zhì)量監(jiān)測(cè)A組；2.拓展作業(yè)：完成質(zhì)量監(jiān)測(cè)B組。六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1．已知角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合