云南省昆明市東川區(qū)高級(jí)中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

云南省昆明市東川區(qū)高級(jí)中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某大學(xué)中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年級(jí)的學(xué)生比為5：4：3：1，要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個(gè)容量為260的樣本，則應(yīng)抽二年級(jí)的學(xué)生

（

）

A、100人

B、60人

C、80人

D、20人參考答案：C2.定義在（0，）上的函數(shù)f（x），f′（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有f′（x）＞f（x）?tanx成立．則（）A．f（）＜f（） B．f（1）＜2cos1?f（）C．f（）＞2f（） D．f（）＞f（）參考答案：A【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）cosx，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即得到結(jié)論．【解答】解：當(dāng)x∈（0，），cosx＞0，則不等式f′（x）＞f（x）?tanx等價(jià)為f′（x）＞f（x）?，即cosxf′（x）﹣sinxf（x）＞0，設(shè)g（x）=f（x）cosx，則g′（x）=cosxf′（x）﹣sinxf（x）＞0，即函數(shù)g（x）在（0，）單調(diào)遞增，則g（）＜g（），g（1）＞g（），g（）＜g（），g（）＜g（），即f（）＜f（），cos1f（1）＞f（），f（）＜f（），f（）＜f（），則f（）＜f（），故A正確．2cosf（1）＞f（），故B錯(cuò)誤．f（）＜2f（），故C錯(cuò)誤．f（）＜f（），故D錯(cuò)誤．故選A．3.若，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略4.高二（2）班男生36人，女生18人，現(xiàn)用分層抽樣方法從中抽出人，若抽出的男生人數(shù)為12，則等于（

）A．16

B．18

C．20

D．22參考答案：B5.已知直線l：y=x+m與曲線y=有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．[1，） D．（﹣，）參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【分析】畫出圖象，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C時(shí)，求出m的值；當(dāng)直線l與曲線相切時(shí)，求出m．即可．【解答】解：畫出圖象，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C時(shí)，m=1，此時(shí)直線l與曲線y=有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線l與曲線相切時(shí)，m=．因此當(dāng)時(shí)，直線l：y=x+m與曲線y=有兩個(gè)公共點(diǎn)．故選C．【點(diǎn)評(píng)】正確求出直線與切線相切時(shí)的m的值及其數(shù)形結(jié)合等是解題的關(guān)鍵．6.設(shè)命題：方程的兩根符號(hào)不同；命題：方程的兩根之和為3，判斷命題“”、“”、“”、“”為假命題的個(gè)數(shù)為

(

)A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：C7.已知集合A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1)(x-3)>0},則A∩B=().A.(-∞,-1) B.

C.

D.(3,+∞)參考答案：D8.已知雙曲線﹣=1的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于（）A． B． C．3 D．5參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】確定拋物線y2=12x的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得雙曲線的一條漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離．【解答】解：拋物線y2=12x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）∵雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合∴4+b2=9∴b2=5∴雙曲線的一條漸近線方程為，即∴雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于故選A．9.函數(shù)f（x）=3sin2x+2sinxcosx+cos2x﹣2的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B．C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)f（x）的解析式為sin（2x﹣），從而求出函數(shù)的遞減區(qū)間即可．【解答】解：依題意f（x）=2sin2x+sin2x﹣1=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．10.（5分）函數(shù)f（x）=+mx在[1，2]上是增函數(shù)，則m的取值范圍為（）A．[，1] B． [1，4] C．[1，+∞） D． （﹣∞，﹣1]參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義運(yùn)算=，則符合條件=0的復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第

象限；參考答案：第一象限略12.一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為8cm，5cm，5cm的水槽中有水180cm3,現(xiàn)放入一個(gè)直徑為4cm的木球，如果木球的三分之二在水中，判斷水槽中水面是否會(huì)流出？答：_________.(回答問(wèn)題時(shí)，僅僅填寫“會(huì)”或“不會(huì)”).參考答案：會(huì)略13.已知點(diǎn)A為橢圓1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)B為圓(x－1)2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，求|AB|的最大值為_______參考答案：略14.若函數(shù)f（x）在定義域D內(nèi)某區(qū)間I上是增函數(shù)，且在I上是減函數(shù)，則稱y=f（x）在I上是“弱增函數(shù)”．已知函數(shù)h（x）=x2﹣（b﹣1）x+b在（0，1]上是“弱增函數(shù)”，則實(shí)數(shù)b的值為

參考答案：115.如下圖所示的程序框圖的輸出值，則輸入值

。參考答案：16.若雙曲線的離心率是，則實(shí)數(shù)的值是

．參考答案：略17.球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=1，則該球的表面積是

.參考答案：3π三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題16分）如圖，已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且異于點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)，（1）設(shè)直線的斜率分別為、，求證：為定值；（2）求線段的長(zhǎng)的最小值；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．參考答案：（1），，令，則由題設(shè)可知，直線的斜率，的斜率，又點(diǎn)在橢圓上，所以（），從而有.（2）由題意設(shè)直線的方程為，直線的方程為，由，由，直線與直線的交點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn),又，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，

即，故線段長(zhǎng)的最小值是。(3）設(shè)點(diǎn)是以MN為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則,故，又，以MN為直徑的圓方程為，，得或所以以MN為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)或。19.已知函數(shù)y=ax3+bx2，當(dāng)x=1時(shí)，有極大值3（1）求函數(shù)的解析式（2）寫出它的單調(diào)區(qū)間（3）求此函數(shù)在[﹣2，2]上的最大值和最小值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)解析式的求解及常用方法；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出y′，由x=1時(shí)，函數(shù)有極大值3，所以代入y和y′=0中得到兩個(gè)關(guān)于a、b的方程，求出a、b即可；（2）令y′＞0解出得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，令y′＜0得到函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（3）由（2）求出函數(shù)的極值，再計(jì)算出函數(shù)在x=﹣2，x=2處的函數(shù)值，進(jìn)行比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值；【解答】解：（1）y′=3ax2+2bx，當(dāng)x=1時(shí)，y′|x=1=3a+2b=0，y|x=1=a+b=3，即，解得a=﹣6，b=9，所以函數(shù)解析式為：y=﹣6x3+9x2．（2）由（1）知y=﹣6x3+9x2，y′=﹣18x2+18x，令y′＞0，得0＜x＜1；令y′＜0，得x＞1或x＜0，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，0），（1，+∞）．（3）由（2）知：當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)取得極小值為0，當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取得極大值3，又y|x=﹣2=84，y|x=2=﹣12．故函數(shù)在[﹣2，2]上的最大值為84，最小值為﹣12．20.已知，.（1）當(dāng)時(shí)，分別比較與的大小（直接給出結(jié)論）；（2）由（1）猜想與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.參考答案：（1）見解析；（2）見證明【分析】（1）根據(jù)題意，直接代入函數(shù)，比大小即可（2）猜想：，利用數(shù)學(xué)歸納法證明，①當(dāng)時(shí)，成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想成立；③當(dāng)時(shí)，證明成立即可【詳解】證明（1）當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，.（2）猜想：，即.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，上面已證.②假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想成立，即，則當(dāng)時(shí)，.因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)猜想也成立.綜上可知：對(duì)，猜想均成立.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，解題的關(guān)鍵在于證明，屬于難題21.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E是AB中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AB1⊥平面A1CE；（Ⅱ）求直線A1C1與平面A1CE所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．【分析】（Ⅰ）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，可知CC1⊥AC，CC1⊥BC，∠ACB=90°，AC⊥BC．建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz．則A，B1，E，A1，可得，，，可知，根據(jù)，，推斷出AB1⊥CE，AB1⊥CA1，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AB1⊥平面A1CE．（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面A1CE的法向量，，進(jìn)而利用向量數(shù)量積求得直線A1C1與平面A1CE所成角的正弦值【解答】（Ⅰ）證明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又∠ACB=90°，即AC⊥BC．如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz．A（2，0，0），B1（0，2，2），E（1，1，0），A1（2，0，2），∴，，．又因?yàn)?，，∴AB1⊥CE，AB1⊥CA1，AB1⊥平面A1CE．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，是平面A1CE的法向量，，∴|cos＜，＞|==．設(shè)直線A1C1與平面A1CE所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=．所以直線A1C1與平面A1CE所成角的正弦值為．22.（本小題滿分14分）將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處,

小球?qū)⒆杂上侣?小球在下落過(guò)程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)向左、右兩邊下落的概率都是.（Ⅰ）求小球落入A袋中的概率P(A);（Ⅱ）在容器入口處依次放入4個(gè)小球,記X為落入A袋中小球的個(gè)數(shù),試求X=3的概率和X的數(shù)學(xué)期望EX.參考