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具有約束方程的最優(yōu)化第一頁,共二十七頁,2022年,8月28日目錄一、求穩(wěn)定值(拉格朗日乘數(shù)法和全微分法)二、拉格朗日乘數(shù)的解釋和二階條件三、海塞加邊行列式四、擬凹性和擬凸性五、效用最大化和消費(fèi)需求六、齊次函數(shù)七、投入的最小成本組合第二頁,共二十七頁,2022年,8月28日約束的影響
30150
第三頁,共二十七頁,2022年,8月28日求穩(wěn)定值
第四頁,共二十七頁,2022年,8月28日拉格朗日乘數(shù)法
第五頁,共二十七頁,2022年,8月28日一般而言:
第六頁,共二十七頁,2022年,8月28日全微分法
第七頁,共二十七頁,2022年,8月28日拉格朗日乘數(shù)的解釋
第八頁,共二十七頁,2022年,8月28日
第九頁,共二十七頁,2022年,8月28日將Z*視為c的函數(shù),Z*對(duì)c求全微分:
=0第十頁,共二十七頁,2022年,8月28日N個(gè)變量和多重約束的情況
第十一頁,共二十七頁,2022年,8月28日二階全微分
第十二頁,共二十七頁,2022年,8月28日
第十三頁,共二十七頁,2022年,8月28日海塞爾加邊行列式
第十四頁,共二十七頁,2022年,8月28日應(yīng)用到與原來的例子中:
第十五頁,共二十七頁,2022年,8月28日
第十六頁,共二十七頁,2022年,8月28日
第十七頁,共二十七頁,2022年,8月28日擬凹性和擬凸性擬凹:定義域的線段uv在函數(shù)f圖形上給出的弧段MN,使得點(diǎn)N高于M。如果弧段MN上除了點(diǎn)M和N以外所有的點(diǎn)的高度均高于或等于點(diǎn)M的高度,則稱函數(shù)f為擬凹函數(shù)。若嚴(yán)格高于,則為嚴(yán)格擬凹函數(shù)。擬凸:如果弧段MN上除了點(diǎn)M和N以外所有的點(diǎn)的高度均低于或等于點(diǎn)N的高度。嚴(yán)格擬凹嚴(yán)格擬凸擬凹第十八頁,共二十七頁,2022年,8月28日對(duì)于函數(shù)f定義域中有兩個(gè)不同的點(diǎn)u和v,F(xiàn)[?u+(1-?)v]>=f(u)<=f(v)且f(v)>=f(u)f為擬凹擬凸定理1(函數(shù)的相反數(shù)):若f(x)為擬凹(嚴(yán)格擬凹),則-f(x)為擬凸(嚴(yán)格擬凸)。定理2(凹性和擬凹性):任意凹函數(shù)是擬凹函數(shù),但反之不成立。類似地,任意嚴(yán)格凹(嚴(yán)格凸)函數(shù)是嚴(yán)格擬凹(嚴(yán)格擬凸)函數(shù),反之不成立。定理3(線性函數(shù))若f(x)是線性函數(shù),則它既是擬凹函數(shù),也是擬凸函數(shù)。第十九頁,共二十七頁,2022年,8月28日可微函數(shù)兩種判斷凹凸的方法;二階連續(xù)可微函數(shù):一元可微函數(shù):F為擬凹函數(shù)第二十頁,共二十七頁,2022年,8月28日該函數(shù)為擬凹的。第二十一頁,共二十七頁,2022年,8月28日效用最大化與消費(fèi)需求
第二十二頁,共二十七頁,2022年,8月28日
無差異曲線是指能夠產(chǎn)生相同效用水平U的x與y組合的點(diǎn)的軌跡。
第二十三頁,共二十七頁,2022年,8月28日結(jié)論:要使效用最大化,消費(fèi)者必須對(duì)其預(yù)算線進(jìn)行分配,以使預(yù)算線的斜率等于無差異曲線的斜率,即預(yù)算線與無差異曲線的切點(diǎn)。第二十四頁,共二十七頁,2022年,8月28日二階條件
第二十五頁,共二十七頁,2022年,8月28日
第二十六頁,共二十七頁,2022年,8月28日齊次函數(shù)定義:若以常數(shù)j乘以函數(shù)的每一自變量,使函數(shù)變?yōu)?/p>
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