等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)學(xué)案-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)(1)會(huì)用不等式組表示不等關(guān)系．(2)能夠用作差法比較兩個(gè)數(shù)或式的大小．(3)掌握不等式的有關(guān)性質(zhì)．(4)能利用不等式的性質(zhì)證明不等式或解決范圍問(wèn)題．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)一不等式與不等關(guān)系1．不等式的定義所含的兩個(gè)要點(diǎn)(1)不等符號(hào)＜、≤?、＞、≥?或≠.(2)所表示的關(guān)系是________________．2．不等式中的文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換文字語(yǔ)言大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于符號(hào)語(yǔ)言＞≥＜≤≤≥≥≤要點(diǎn)二實(shí)數(shù)大小比較的基本事實(shí)a>b?________；a＝b?________；a<b?________．?要點(diǎn)三重要不等式?a，b∈R，a2＋b2________2ab，當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí)，等號(hào)成立．要點(diǎn)四等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的比較等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)a＝b?b＝aa>b?________a＝b，b＝c?a＝ca>b，b>c?________a＝b?a＋c＝b＋ca>b?________a＝b?ac＝bca>b，c>0?________；a>b，c<0?________?a＝b，c＝d?a＋c＝b＋da>b，c>d?________?a＝b，c＝d?ac＝bda>b>0，c>d>0?________a＝b≥0?an＝bna>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)助學(xué)批注批注?不等符號(hào)“≤”是指“<”或者“＝”．批注?不等符號(hào)“≥”是指“＞”或者“＝”．批注?比較兩實(shí)數(shù)a，b的大小，只需確定它們的差a－b與0的大小關(guān)系，與差的具體數(shù)值無(wú)關(guān)．批注?要特別注意“乘數(shù)c的符號(hào)”．例如當(dāng)c≠0時(shí)，若a>b，則ac2>bc2；若無(wú)c≠0這個(gè)條件，若a>b，則ac2>bc2就是錯(cuò)誤的．批注?同向不等式只能相加，不等號(hào)方向不變，不能相減．基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)在一個(gè)不等式的兩邊同乘一個(gè)非零實(shí)數(shù)，不等式仍然成立．()(2)同向不等式具有可加性和可乘性．()(3)若兩個(gè)數(shù)的比值大于1，則分子上的數(shù)就大于分母上的數(shù)．()(4)若a>b，則1a<12．某路段豎立的的警示牌，是指示司機(jī)通過(guò)該路段時(shí)，車速vkm/h應(yīng)滿足的關(guān)系式為()A.v＜60B．v＞60C．v≤60D．v≥363．設(shè)M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關(guān)系是()A.M＞NB．M＝NC．M＜ND．與x有關(guān)4．用不等號(hào)填空．(1)如果a＞b＞0，那么1a2______(2)如果a＞b＞c＞0，那么ca______c題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1實(shí)數(shù)(式)的比較大小例1已知a＞0，試比較a與1a方法歸納用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的一般步驟鞏固訓(xùn)練1(1)已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，則p與q的大小關(guān)系為()A．p＞qB．p≥qC．p＜qD．p≤q(2)已知b＞a＞0，m＞0，比較b+ma+m與b題型2利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假例2(1)[2022·山東青島高一期末]已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，則下述一定正確的是()A．a(chǎn)e＞beB．c2＜d2C．ea?c+ed?b＞0D．(d－c(2)(多選)下列命題為真命題的有()A．若a＞b＞0，則ac2＞bc2B．若a＞b＞0，則a2＞b2C．若a＜b＜0，則1a＜D．若a＞b＞0，c＜0則ca＞方法歸納判斷與不等式有關(guān)命題真假的3種常用方法鞏固訓(xùn)練2(1)已知a＞b＞0，則下列不等式一定成立的是()A．a(chǎn)c2＞bc2B．a(chǎn)b＞b2C．1a＞1bD．b(2)(多選)下列命題正確的是()A．ca＜cb且c＞0?aB．a(chǎn)＞b且c＞d?ac＞bdC．a(chǎn)＞b＞0且c＞d＞0?ad＞D．a(chǎn)c2＞bc2題型3利用不等式的性質(zhì)證明不等式例3若bc－ad≥0，bd＞0，求證：a+bb方法歸納利用不等式的性質(zhì)證明不等式的策略鞏固訓(xùn)練3若a＜b＜0，求證：ba＜a題型4利用不等式的性質(zhì)求范圍例4已知1<a<4，2<b<8.試求2a＋3b與a－b的取值范圍．方法歸納利用不等式的性質(zhì)求范圍的策略鞏固訓(xùn)練4已知1<a<6，3<b<4，求a－b，ab2．1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一1．(2)不等關(guān)系要點(diǎn)二a－b>0a－b＝0a－b<0要點(diǎn)三≥a＝b要點(diǎn)四b<aa>ca＋c>b＋cac>bcac<bca＋c>b＋dac>bd[基礎(chǔ)自測(cè)]1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．答案：C3．解析：因?yàn)镸－N＝x2＋x＋1＝x+122＋34>0，所以答案：A4．解析：(1)∵a＞b＞0，∴a2＞b2＞0，∴1a2＜(2)∵a＞b＞0，∴0＜1a＜1又c＞0，∴ca＜c答案：(1)＜(2)＜題型探究·課堂解透例1解析：因?yàn)閍－1a＝a2?1a＝所以當(dāng)a＞1時(shí)，a?1a+1有a＞1a當(dāng)a＝1時(shí)，a?1a+1a＝0，有a＝當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a?1a+1有a＜1a綜上，當(dāng)a＞1時(shí)，a＞1a當(dāng)a＝1時(shí)，a＝1a當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a＜1a鞏固訓(xùn)練1解析：(1)由題意，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，則p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1<0，所以p－q<0，即p<q.(2)作差：b+ma+m?ba＝ab+am?ab?bmaa+m＝ma?baa+m.∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，a＋m答案：(1)C(2)見(jiàn)解析例2解析：(1)因?yàn)閍＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，所以ae＜be，c2＞d2，故A，B錯(cuò)誤；－c＞－d＞0，所以a－c＞b－d＞0，所以1a?c＜1b?d，所以ea?c即ea?c對(duì)于D，若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－12，e則(d－c)e＝2＝ab(2)選項(xiàng)A：當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B:推導(dǎo)符合不等式性質(zhì)，判斷正確；選項(xiàng)C：1a?1b＝b?aab可知ab＞0，b－a＞0，則b?aab＞0，即1a＞選項(xiàng)D：ca?cb＝cb?a可知ab＞0，b－a＜0又有c＜0則cb?aab＞0，即ca答案：(1)C(2)BD鞏固訓(xùn)練2解析：(1)當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＞bc2不成立，A錯(cuò)誤．因?yàn)閍＞b＞0，所以ab＞b2，1b＞1a，(2)A，ca＜cbc>0?1a＜1b；當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)，滿足已知條件，但推不出a＞b，∴A錯(cuò)誤；B，當(dāng)a＝3，bC，a＞b＞0，c＞d＞0?ad＞bc＞0?ad＞D，顯然c2＞0，∴兩邊同乘以c2得a＞b，∴D正確．答案：(1)B(2)CD例3證明：方法一：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)．又bd＞0，兩邊同除以bd，得a+bb方法二：∵a+bb?c+dd＝ad+bd?bc?bd∴a+bb鞏固訓(xùn)練3證明：由于ba?ab＝∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，∴b+ab?aab＜0，故ba例4解析：∵1<a<4，2<b<8，∴2<2a<8，6<3b<24