2019學(xué)年湘教版數(shù)學(xué)選學(xué)22分層訓(xùn)練621直接證明分析法與綜合法含解析

6．2直接證明與間接證明6．2.1直接證明：分析法與綜合法一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．已知a，b，c∈R，那么以下命題中正確的選項(xiàng)是()A．若a>b，則ac2>bc2abB．若c>c，則a>b3311C．若a>b且ab<0，則a>b2211D．若a>b且ab>0，則a<b答案C分析對于A：若c＝0，則A不成立，故A錯；對于B：若c<0，則B不成立，B33a>011a<0錯；對于C：若a>b且ab<0，則b<0，所以a>b，故C對；對于D：若b<0，則不成立．2．A、B為△ABC的內(nèi)角，A>B是sinA>sinB的()．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．即不充分也不用要條件答案

C分析

ab由正弦定理sinA＝sinB，又A、B為三角形的內(nèi)角，∴

sinA>0，sinB>0，∴sinA>sinB?2RsinA>2RsinB?a>b?A>B.3．已知直線l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，給出以下四個命題：①若α∥β，則l⊥m；②若l⊥m，則α∥β；③若α⊥β，則l⊥m；④若l∥m，則α⊥β.此中正確命題的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4答案B分析若l⊥α，m?β，α∥β，則l⊥β，所以l⊥m，①正確；若l⊥α，m?β，l⊥m，α與β可能訂交，②不正確；若l⊥α，m?β，α⊥β，l與m可能平行或異面，③不正確；若l⊥α，m?β，l∥m，則m⊥α，所以α⊥β，④正確．4．設(shè)a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，則必有()a2＋b2B．a(chǎn)b<1<a2＋b2A．1≤ab≤22a2＋b2<1a2＋b2<ab<1C．a(chǎn)b<2D.2答案B分析由于a≠b，故a2＋b2>ab.2又由于a＋b＝2>2ab，2＋b2＋b2－2ab2＋b2故ab<1，a＝a2＝2－ab>1，即a2>1>ab.25．要證明3＋7<25，可選擇的方法有很多，最合理的應(yīng)為________．答案分析法6．設(shè)a＝2，b＝7－3，c＝6－2，則a，b，c的大小關(guān)系為________．答案a>c>b分析∵a2－c2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36>0，∴a>c.∵c＝6－2＝b7－37＋3＞1，∴c＞b.6＋27．設(shè)a≥b>0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.證明法一3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．由于a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，從而(3a2－2b2)(a－b)≥0，所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.法二要證3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需證3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，只需證(3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b>0.∴a－b≥0，3a2－2b2>2a2－2b2≥0，∴上式成立．二、能力提高18．設(shè)0<x<1，則a＝2x，b＝1＋x，c＝1－x中最大的一個是()A．a(chǎn)B．bC．cD．不可以確立答案C分析∵b－c＝(1＋x)－1＝1－x2－1＝－x2，1－x1－x1－x<0b<c.又∵b＝1＋x>2x＝a，∴a<b<c.ab9．已知a，b為非零實(shí)數(shù)，則使不等式：b＋a≤－2成立的一個充分不用要條件是()A．a(chǎn)b>0C．a(chǎn)>0，b<0

B．a(chǎn)b<0D．a(chǎn)>0，b>0答案

C分析

ababab∵b與a同號，由b＋a≤－2，知b<0，a<0，b即ab<0.又若ab<0，則b<0，a<0.abab∴b＋a＝－－b＋－a≤－2ab＝－2，－b·－aab綜上，ab<0是b＋a≤－2成立的充要條件，ab∴a>0，b<0是b＋a≤－2成立的一個充分而不用要條件．10.以以下圖，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件________時(shí)，有A1C⊥B1D1(注：填上你以為正確的一個條件即可，不用考慮全部可能的情況)．答案對角線相互垂直分析本題答案不獨(dú)一，要證A1⊥11，只需證B1D1垂直于A1C所在的平面11，CBDACC由于該四棱柱為直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需證B1D1⊥A1C1即可．．已知a＞0，1－1＞1.求證：1＋a＞111ba.1－b證明要證1＋a＞1成立，1－b1只需證1＋a＞，只需證(1＋a)(1－b)＞1(1－b＞0)，即1－b＋a－ab＞1，∴a－b＞ab，只需證：a－b＞1，即1－1＞1.abba由已知a＞0，1－1＞1成立，ba∴1＋a＞1成立．1－b．求證拋物線2＝2px(p＞0)，以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓必與x＝－p相切．12y2證明如圖，作AA′、BB′垂直準(zhǔn)線，取AB的中點(diǎn)M，作MM′垂直準(zhǔn)線．要證明以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，只1需證|MM′|＝|AB|2由拋物線的定義：|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，1所以只需證|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)，2依據(jù)梯形的中位線定理可知上式是成立的．p所以以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓必與x＝－相切．2三、研究與創(chuàng)新．·廣東設(shè)數(shù)列n的前n項(xiàng)和為n，已知a1＝1，2Sn＝an＋1－12－n－2，n∈13(2013){a}Sn3n3N*.(1)求a2的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(3)證明：對全部正整數(shù)1＋1＋＋1＜7n，有a1a2an4.(1)解當(dāng)＝時(shí)，2S1＝2a1＝a2－1－1－2＝2，解得a2＝4.n1133(2)解13222Sn＝nan＋1－n－n－n33①1322當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn－1＝(n－1)an－3(n－1)－(n－1)－3(n－1)②①－②得2an＝nan＋1－(n－1)an－n2－nan＋1anan＋1an整理得nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，即＝n＋1，＋－n＝1，n＋1n1當(dāng)n＝1時(shí)，a2a1＝2－1＝1.2－1an所以數(shù)列n是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．所以an＝n，即an＝n2.n所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為