2023屆河南省開封市高三第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023年開封市2023屆高三年級(jí)第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.設(shè)命題，，則是（）A.， B.，C， D.，3.若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.4.已知中，為邊上一點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.5.已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的體積為（）A B. C. D.6.如圖為甲，乙兩位同學(xué)在5次數(shù)學(xué)測(cè)試中成績的莖葉圖，已知兩位同學(xué)的平均成績相等，則甲同學(xué)成績的方差為（）A.4 B.2 C. D.7.已知?jiǎng)tx＋2y的最大值為（）A.2 B.3 C.5 D.68.設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞減，則滿足的的取值范圍是（）A. B. C. D.9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A. B. C. D.10.已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則（）A.有最大值4 B.有最大值3 C.有最小值4 D.有最小值311.如圖，在正方體中，點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)，則下述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）①∥平面；②平面平面；③直線與所成的角為；④直線與平面所成的角為．A.1 B.2 C.3 D.412.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并且是構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.簡單地講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).若函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知點(diǎn)、、，則______.14已知函數(shù)，則______.15.3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)．如圖所示的塔筒為打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計(jì)算）的上底直徑為6cm，下底直徑為9cm，高為9cm，則喉部（最細(xì)處）的直徑為______cm．16.在數(shù)列中，，.記是數(shù)列的前項(xiàng)和，則______.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.同時(shí)從甲、乙、丙三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口某種商品的數(shù)量分別為、、（單位：件），工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取件樣品進(jìn)行檢測(cè).（1）求抽取件商品中，來自甲、乙、丙各地區(qū)的數(shù)量；（2）設(shè)抽取的件商品分別用、、、、、、表示，現(xiàn)從中再隨機(jī)抽取件做進(jìn)一步檢測(cè).（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；（ii）設(shè)為事件“抽取的件商品來自不同地區(qū)”，求事件發(fā)生的概率.18.在中，角A，B，C，所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，．（1）求的值；（2）若，求．19.如圖，△ABC是正三角形，在等腰梯形ABEF中，，.平面ABC⊥平面ABEF，M，N分別是AF，CE的中點(diǎn)，.（1）證明：平面ABC；（2）求三棱錐N－ABC的體積.20.已知函數(shù)，.（1）若是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求在上最小值.21.圖1所示的橢圓規(guī)是畫橢圓的一種工具，在十字形滑槽上各有一個(gè)活動(dòng)滑標(biāo)M，N，有一根旋桿將兩個(gè)滑標(biāo)連成一體，，D為旋桿上的一點(diǎn)且在M，N兩點(diǎn)之間，且.當(dāng)滑標(biāo)M在滑槽EF內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，滑標(biāo)N在滑槽GH內(nèi)隨之運(yùn)動(dòng)時(shí)，將筆尖放置于D處可畫出橢圓，記該橢圓為.如圖2所示，設(shè)EF與GH交于點(diǎn)O，以EF所在的直線為x軸，以GH所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.（1）求橢圓的方程；（2）以橢圓的短軸為直徑作圓，已知直線l與圓相切，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，記△OAB的面積為S，若，求直線l的斜率.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），為曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程；（2）過點(diǎn)任意作兩條相互垂直的射線分別與曲線交于點(diǎn)A，B，以直線的斜率為參數(shù)，求線段的中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程，并化為普通方程．[選修4－5：不等式選講]23.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）若，時(shí)，對(duì)任意使得不等式恒成立，證明：．開封市2023屆高三年級(jí)第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集的定義計(jì)算即可.【詳解】由題知，，由交集的定義得，，故選：C.2.設(shè)命題，，則是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】先仔細(xì)審題，抓住題目中的關(guān)鍵信息之后再動(dòng)，原題讓我們選擇一個(gè)全稱命題的否定，任意和存在是一對(duì)，要注意互相變化，大于等于的否定是小于.【詳解】，的否定是，.故選：D3.若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)純虛數(shù)的概念可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，即可得解.【詳解】為純虛數(shù)，則，解得.故選：D.4.已知中，為邊上一點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算即可求得.【詳解】在中，.因?yàn)?，所?所以.故選：A5.已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由側(cè)面展開圖求得母線長后求得圓錐的高，再由體積公式計(jì)算．【詳解】設(shè)圓錐母線長為，高為，底面半徑為，則由得，所以，所以．故選：B．6.如圖為甲，乙兩位同學(xué)在5次數(shù)學(xué)測(cè)試中成績的莖葉圖，已知兩位同學(xué)的平均成績相等，則甲同學(xué)成績的方差為（）A.4 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由平均數(shù)相等求出，再求方差.【詳解】由可得，，即甲同學(xué)成績的方差為故選：B7.已知?jiǎng)tx＋2y的最大值為（）A2 B.3 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】作出可行域，根據(jù)簡單線性規(guī)劃求解即可．【詳解】作出可行域如圖：由可得：，平移直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最大值，由解得，．故選：C8.設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞減，則滿足的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用的奇偶性、單調(diào)性可得，再解不等式可得答案.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，若，則，解得.故選：D.9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用與的關(guān)系可求得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求得的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.也滿足，故對(duì)任意的，，因此，.故選：B.10.已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則（）A.有最大值4 B.有最大值3 C.有最小值4 D.有最小值3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程求得，，，再由橢圓的定義可得，設(shè)，所以，利用對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性即可求解．【詳解】由橢圓可得，，，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，設(shè)，，即，則所以，由對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為即時(shí)，最大值為，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為即，時(shí)，最小值為，綜上所述：最小值為，最大值為故選：A．11.如圖，在正方體中，點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)，則下述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）①∥平面；②平面平面；③直線與所成的角為；④直線與平面所成的角為．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式逐一判斷即可.【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正方體的棱長為，，由正方體的性質(zhì)可知：平面，則平面的法向量為，，因?yàn)?，所以，而平面，因此∥平面，故①?duì)；設(shè)平面的法向量為，，，所以有，同理可求出平面的法向量，因?yàn)椋?，因此平面平面，故②正確；因?yàn)椋?，所以，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角范圍為，所以直線與所成的角為，故③正確；設(shè)直線與平面所成的角為，因?yàn)?，平面的法向量為，所以，所以直線與平面所成的角不是，因此④錯(cuò)誤，一共有個(gè)結(jié)論正確，故選：C12.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并且是構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.簡單地講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).若函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于和的等式，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn).【詳解】題意得若函數(shù)為不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)，則滿足，即，即設(shè)，令，解得當(dāng)時(shí)，，所以在上增函數(shù)當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的圖象為：要想成立，則與有交點(diǎn)，所以，對(duì)應(yīng)區(qū)間為故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知點(diǎn)、、，則______.【答案】【解析】【分析】計(jì)算出向量、的坐標(biāo)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的值.【詳解】由題意可得，，因此，.故答案為：.14.已知函數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡，再代入計(jì)算可得.【詳解】∵函數(shù)，即，∴.故答案為：.15.3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)．如圖所示的塔筒為打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計(jì)算）的上底直徑為6cm，下底直徑為9cm，高為9cm，則喉部（最細(xì)處）的直徑為______cm．【答案】【解析】【分析】由已知，根據(jù)題意，以最細(xì)處所在的直線為軸，其垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出雙曲線方程，并根據(jù)離心率表示出之間的關(guān)系，由題意底直徑為6cm，所以雙曲線過點(diǎn)，下底直徑為9cm，高為9cm，所以雙曲線過點(diǎn)，代入雙曲線方程即可求解方程從而得到喉部（最細(xì)處）的直徑.【詳解】由已知，以最細(xì)處所在的直線為軸，其垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程為，由已知可得，，且，所以，所以雙曲線方程為，底直徑為6cm，所以雙曲線過點(diǎn)，下底直徑為9cm，高為9cm，所以雙曲線過點(diǎn)，代入雙曲線方程得：，解得：，所以喉部（最細(xì)處）的直徑為cm.故答案為：.16.在數(shù)列中，，.記是數(shù)列的前項(xiàng)和，則______.【答案】【解析】【分析】對(duì)為奇數(shù)、為偶數(shù)兩種情況討論，求出數(shù)列前項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和，相加可得出的值.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，.因此，.故答案為：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.同時(shí)從甲、乙、丙三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口某種商品的數(shù)量分別為、、（單位：件），工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取件樣品進(jìn)行檢測(cè).（1）求抽取的件商品中，來自甲、乙、丙各地區(qū)的數(shù)量；（2）設(shè)抽取的件商品分別用、、、、、、表示，現(xiàn)從中再隨機(jī)抽取件做進(jìn)一步檢測(cè).（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；（ii）設(shè)為事件“抽取的件商品來自不同地區(qū)”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（1）分別為件、件、件（2）（i）答案見解析；（ii）【解析】【分析】（1）利用分層抽樣可計(jì)算得出所抽取的件商品中，來自甲、乙、丙各地區(qū)的數(shù)量；（2）（i）利用列舉法可列舉出所有的基本事件；（ii）列舉出事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得的值.【小問1詳解】解：由已知，從甲、乙、丙三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口某種商品的數(shù)量之比為，由于采用分層抽樣的方法從中抽取件商品，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口某種商品中分別抽取件、件、件.【小問2詳解】解：（i）從抽取的件商品中隨機(jī)抽取件商品的所有可能結(jié)果為：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、；（ii）不妨設(shè)抽取的件商品中，來自甲地區(qū)的是、、，來自乙地區(qū)的是、，來自丙地區(qū)的是、，則從抽取的件商品中隨機(jī)抽取的件商品來自相同地區(qū)的所有可能結(jié)果為：、、、、、、、、、、、、、、、，共種，所有的基本事件共種，故.18.在中，角A，B，C，所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，．（1）求的值；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由三角形內(nèi)角和的關(guān)系將代換，再由正弦定理將邊化角，求得角A，B的關(guān)系，解出的值；（2）由第一問求得的的值，根據(jù)余弦定理公式展開列方程求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，得，因?yàn)?，由正弦定理，可得，又，所以，又因?yàn)锳，B均為三角形內(nèi)角，所以，即，又因?yàn)?，即，即，又，得；【小?詳解】若，則，由（1）知，由余弦定理可得，即，所以或，當(dāng)時(shí)，，則，即為等腰直角三角形，又因?yàn)椋藭r(shí)不滿足題意，所以．19.如圖，△ABC是正三角形，在等腰梯形ABEF中，，.平面ABC⊥平面ABEF，M，N分別是AF，CE的中點(diǎn)，.（1）證明：平面ABC；（2）求三棱錐N－ABC的體積.【答案】（1）證明見解析（2）2【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，證明平面平面，原題即得證；（2）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OE，設(shè)，由勾股定理即可求出，進(jìn)而可求解三棱錐N－ABC的體積.【小問1詳解】取CF的中點(diǎn)D，連接DM，DN，∵M(jìn)，N分別是AF，CE的中點(diǎn)，∴，，又∵平面ABC，平面ABC，∴平面ABC.又，∴，同理可得，平面ABC.∵平面MND，平面MND，，∴平面平面ABC.∵平面MND，∴平面ABC.【小問2詳解】取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OE.由已知得OAEF且OA=EF，∴OAFE是平行四邊形，∴OEAF且OE=AF∵△ABC是正三角形，∴OC⊥AB，∵平面ABC⊥平面ABEF，平面平面ABEF＝AB，∴OC⊥平面ABEF，又平面ABEF，∴OC⊥OE.設(shè)，，在Rt△COE中，由，解得，即.由題意∠FAB＝60°，M到AB的距離即為M到平面ABC的距離又平面ABC，∴.20.已知函數(shù)，.（1）若是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求在上的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得：即可求解.（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)和隱零點(diǎn)替換即可求解最值.【小問1詳解】由已知可得：恒成立，即恒成立，又的最小值為-2，所以，則有.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，令，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，所以存在使得，即，從而則有x正負(fù)遞增遞減則有最大值為：，所以，則在上單調(diào)遞減，所以最小值為.21.圖1所示的橢圓規(guī)是畫橢圓的一種工具，在十字形滑槽上各有一個(gè)活動(dòng)滑標(biāo)M，N，有一根旋桿將兩個(gè)滑標(biāo)連成一體，，D為旋桿上的一點(diǎn)且在M，N兩點(diǎn)之間，且.當(dāng)滑標(biāo)M在滑槽EF內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，滑標(biāo)N在滑槽GH內(nèi)隨之運(yùn)動(dòng)時(shí)，將筆尖放置于D處可畫出橢圓，記該橢圓為.如圖2所示，設(shè)EF與GH交于點(diǎn)O，以EF所在的直線為x軸，以GH所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.（1）求橢圓的方程；（2）以橢圓的短軸為直徑作圓，已知直線l與圓相切，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，記△OAB的面積為S，若，求直線l的斜率.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由，，即可得到橢圓的長半軸長和短半軸長，進(jìn)而可求解.（2）分類討論直線斜率是否存在，當(dāng)斜率不存在時(shí)不滿足題意，故設(shè)，聯(lián)立方程，表達(dá)