四川省南充市教育學(xué)院附屬中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

四川省南充市教育學(xué)院附屬中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個(gè)幾何體的體積是

A．4cm3 B．5cm3 C．6cm3 D．7cm3 參考答案：A幾何體如圖四棱錐，體積為選A.

2.等差數(shù)列中，則（

）A．45

B．42

C.21

D．84參考答案：A3.為平行四邊形的一條對角線，（

）

A．

B．

C．D．參考答案：D因?yàn)樗?，即，選D.4.如果實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則z=3x+2y+的最大值為（）A．7 B．8 C．9 D．11參考答案：C【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移直線，得到最優(yōu)解，求出斜率的最值，即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域（陰影部分），由u=3x+2y，平移直線u=3x+2y，由圖象可知當(dāng)直線u=3x+2y經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線u=3x+2y的截距最大，此時(shí)u最大．而且也恰好是AO的連線時(shí)，取得最大值，由，解得A（1，2）．此時(shí)z的最大值為z=3×1+2×2+=9，故選：C．5.已知，則（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C6.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為K，拋物線上一點(diǎn)P，若，則的面積為（

）A．4

B．5

C．8

D．10參考答案：A由拋物線的方程，可得，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則，即，不妨設(shè)在第一象限，則，所以，故選A．

7.已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，當(dāng)[0，2]時(shí)，，則方程在區(qū)間[-8，8]上的解的個(gè)數(shù)為A.6

B.7

C.8

D.9參考答案：B8.設(shè)，則等于（

）A

B

C

D

參考答案：D略9.已知函數(shù)，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D10.已知函數(shù)f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處切線的傾斜角為，對于任意t∈[1，2]函數(shù)g（x）=x3+x2[f′（x）+]在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．?（﹣∞，﹣5）? B．?（﹣，﹣5）? C．（﹣9，+∞）?? D．（﹣，﹣9）?參考答案：D【考點(diǎn)】直線的方向向量；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線的斜率求出a，利用函數(shù)的單調(diào)性，任意t∈[1，2]函數(shù)g（x）=x3+x2[f′（x）+]在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)由極值，然后求解函數(shù)的值域即可得到結(jié)果．【解答】解：由函數(shù)f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．可得f′（x）=﹣a，得a=﹣2，對于任意t∈[1，2]函數(shù)=x3+x2（﹣+2+）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，只需2在（2，3）上不是單調(diào)函數(shù)，故g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2在（2，3）上有零點(diǎn)，即方程在（2，3）上有解，而在（2，3）上單調(diào)遞減，故其值域?yàn)椋蔬x：D．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知中，角所對的邊長分別為，且角成等差數(shù)列，的面積，則實(shí)數(shù)的值為

。參考答案：12.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（1，0）到直線ρ（cosθ+sinθ）=2的距離為．參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式；簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)所給的直線的極坐標(biāo)方程，轉(zhuǎn)化成直線的一般式方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，寫出距離的表示式，得到結(jié)果．【解答】解：直線ρ（cosθ+sinθ）=2直線ρcosθ+ρsinθ=2∴直線的一般是方程式是：x+y﹣2=0∴點(diǎn)（1，0）到直線的距離是故答案為：【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式和簡單的極坐標(biāo)方程，本題解題的關(guān)鍵是把極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成一般式方程．13.若對任意實(shí)數(shù),都有,則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：14.若函數(shù)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?，則

▲

．參考答案：略15.若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為______.參考答案：－3【分析】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解．【詳解】由題意，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)，可化為直線，直線過點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)直線在y軸上的截距最小，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，又由，解得，所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為．

【點(diǎn)睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.設(shè)區(qū)域，若任取點(diǎn)，則關(guān)于x的方程有實(shí)根的概率為____________．參考答案：17.(考生請注意:請?jiān)谙铝腥}中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分)A.(不等式選做題)已知a,b,m,n均為正數(shù),且a＋b＝1,mn＝2,則(am＋bn)(bm＋an)的最小值為

.

B.(幾何證明選做題)如圖,弦AB與CD相交于內(nèi)一點(diǎn)E,過E作BC的平行線與AD的延長線相交于點(diǎn)P.已知PD＝2DA＝2,則PE＝

.

C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)如圖,以過原點(diǎn)的直線的傾斜角為參數(shù),則圓的參數(shù)方程為

.

參考答案：A.由科爾不等式可得（am+bn）（bm+an）≥（）2mn（a+b）2=2B.C.x=，y=，0≤＜A.

略B.

已知∠BCE=∠PED=∠BAP

∴PDE∽PEA∴

而PD=2DA=2

∴PA=3PE2=PA·PD=6

故PE=C.

x2+y2-x=0，（x-）2+y2=，以（）為圓心，為半徑，且過原點(diǎn)的圓，它的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為x=，y=，0≤a＜2，由已知，以過原點(diǎn)的直線傾斜角為參數(shù)，則0≤＜，所以0≤2＜2，所以所求圓的參數(shù)方程為x=，y=，0≤＜

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)數(shù)集，其中，，向量集.若使得，則稱具有性質(zhì).（1）若，數(shù)集，求證：數(shù)集具有性質(zhì)；（2）若，數(shù)集具有性質(zhì)，求的值；（3）若數(shù)集（其中，）具有性質(zhì)，，

(為常數(shù)，)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.參考答案：（1）證明：數(shù)集時(shí)，列表如下：

由表知：使得，數(shù)集具有性質(zhì)；

（2）選取，中與垂直的元素必有形式，，，，，；

（3）由（1）（2）猜測.

記，.先證明:若具有性質(zhì)P，則也具有性質(zhì)P.任取、.當(dāng)、中出現(xiàn)時(shí),顯然有滿足;當(dāng)且時(shí)，、.因?yàn)榫哂行再|(zhì)P,所以有，使得,從而和中有一個(gè)是，不妨設(shè).假設(shè)?且?，則.由，得，與矛盾.?.從而也具有性質(zhì)P

現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測:.①當(dāng)n=1和2時(shí)，結(jié)論顯然成立;②假設(shè)n=時(shí),有性質(zhì)P，則，；當(dāng)n=時(shí),若有性質(zhì)P，則也有性質(zhì)P，.取，并設(shè)滿足，即.由此可得或.若，則矛盾；，，又，，，.綜合①②知，.19.參考答案：20.（本小題滿分10分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線l過點(diǎn)P，且傾斜角為，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，半徑為4的圓C的圓心的極坐標(biāo)為．（Ⅰ）寫出直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）試判定直線l和圓C的位置關(guān)系．參考答案：21.（本小題滿分分）已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知?jiǎng)又本€與橢圓相交于、兩點(diǎn)．①若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求斜率的值；②若點(diǎn)，求證：為定值．

參考答案：解：（Ⅰ）因?yàn)闈M足，，…………2分。解得，則橢圓方程為

……………4分（Ⅱ）（1）將代入中得……………………6分……………7分因?yàn)橹悬c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得…………9分（2）由（1）知，所以

……………11分………12分22.（16分）已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=λ（x2﹣1）（λ為常數(shù)）（1）已知函數(shù)y=f（x）與y=g（x）在x=1處有相同的切線，求實(shí)數(shù)λ的值；（2）如果λ=，且x≥1，證明f（x）≤g（x）；（3）若對任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）先分別求導(dǎo)，再根據(jù)函數(shù)y=f（x）與y=g（x）在x=1處有相同的切線，得到f′（1）=g′（1），即可求出λ的值，（2）設(shè)h（x）=g（x）﹣f（x）=（x2﹣1）﹣xlnx，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值為0，即可證明．（3）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)m（x）=，多次利用導(dǎo)數(shù)和構(gòu)造函數(shù)，判斷出m（x）在[1，+∞）為減函數(shù)，再根據(jù)極限的定義求出m（x）的最大值，問題即可解決．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=λ（x2﹣1），∴f′（x）=1+lnx，g′（x）=2λx，∵函數(shù)y=f（x）與y=g（x）在x=1處有相同的切線，∴f′（1）=g′（1），∴1+ln1=2λ，解得λ=，（2）當(dāng)，且x≥1時(shí)，設(shè)h（x）=g（x）﹣f（x）=（x2﹣1）﹣xlnx，∴h′（x）=x﹣1﹣lnx，令φ（x）=x﹣1﹣lnx，∴φ′（x）=1﹣≥0在[1，+∞）上恒成立，∴φ（x）min=φ（1）=1﹣1﹣ln1=0，∴h′（x）=x﹣1﹣lnx≥0，在[1，+∞）上恒成立，∴h（x）在[1，+∞）上遞增，∴h（x）min=h（1）=0，∴當(dāng)，且x≥1，f（x）≤g（x）成立，（3）對任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≤g（x）恒成立，∴xlnx≤λ（x2﹣1），∴λ≥，設(shè)m（x）=，則m′（x）==，令n（x）=x2﹣1﹣（x2+1）lnx，則n′（x）=2x﹣2xlnx﹣（x+）=，再令p（x）=x2﹣2xlnx﹣1則p′（x）=2x﹣2（2xlnx