山東省威海市環(huán)翠區(qū)城里中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山東省威海市環(huán)翠區(qū)城里中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，直線和圓C，當(dāng)從開始在平面上繞點O按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動角度不超過）時，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時間t的函數(shù)，這個函數(shù)的圖象大致是（

）

參考答案：A2.設(shè)兩個正態(tài)分布和

的密度曲線如圖所示，則有（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A3.對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿足(x-1)，則必有

A．

B．

C．

D．參考答案：C4.f(x)的定義域為R，f(－1)=2，對任意x∈R，f′(x)＞2，則f(x)＞2x+4的解集為(

)A．(－1，1)

B．(－∞，－1)

C．(－1，+∞)

D．(－∞，+∞)參考答案：C5.小船以的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為，則小船實際航行速度的大小為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B6.橢圓+=1上點到直線x+2y﹣10=0的距離最小值為（）A． B． C． D．0參考答案：B【考點】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)出與直線x+2y﹣10=0平行的直線方程為直線x+2y+m=0，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由判別式等于0求得m值，再由兩點間的距離公式得答案．【解答】解：設(shè)與直線x+2y﹣10=0平行的直線方程為直線x+2y+m=0，聯(lián)立，得25x2+18mx+9m2﹣144=0．由（18m）2﹣100（9m2﹣144）=0，得576m2=14400，解得m=±5．當(dāng)m=﹣5時，直線方程為x+2y﹣5=0，此時兩直線x+2y﹣10=0與直線x+2y﹣5=0的距離d==．橢圓+=1上點到直線x+2y﹣10=0的距離最小值為．故選：B．【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．7.是直線y=kx﹣1與曲線x2﹣y2=4僅有一個公共點的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】把直線y=kx﹣1方程代入曲線x2﹣y2=4，化為：（k2﹣1）x2﹣2kx+5=0，由△=0，解得k=．此時直線與雙曲線有唯一公共點．當(dāng)k=±1時，直線y=kx﹣1與曲線x2﹣y2=4僅有一個公共點．j即可判斷出結(jié)論．【解答】解：把直線y=kx﹣1方程代入曲線x2﹣y2=4，化為：（k2﹣1）x2﹣2kx+5=0，由△=4k2﹣20（k2﹣1）=0，解得k=．此時直線與雙曲線有唯一公共點．當(dāng)k=±1時，直線y=kx﹣1與曲線x2﹣y2=4僅有一個公共點．∴是直線y=kx﹣1與曲線x2﹣y2=4僅有一個公共點的充分不必要條件．故選：A．8.橢圓上有兩點P、Q,O為原點,若OP、OQ斜率之積為,

為

(

)A.

4

B.

64

C.

20

D.

不確定

參考答案：C略9.函數(shù)，若,則的值為（

）

A.3

B.0

C.-1

D.-2參考答案：D略10.“所有金屬都能導(dǎo)電，鐵是金屬，所以鐵能導(dǎo)電”這種推理屬于（

）.A.演繹推理

B.類比推理

C.合情推理

D.歸納推理參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在區(qū)間[1,5]和[2,4]分別各取一個數(shù)，記為m和n，則方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓的概率是________．參考答案：略12.“兩條直線不相交”是“兩條直線是異面直線”的

▲

條件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不必要又不充分”中的一個）參考答案：必要不充分略13.若關(guān)于的不等式的解集，則的值為

參考答案：-314.在空間直角坐標(biāo)系中，點為平面ABC外一點，其中，，若平面ABC的一個法向量為，則點P到平面ABC的距離為______.參考答案：【分析】根據(jù)題意表示，由平面的一個法向量為，可得的值，利用點到面的距離公式即可求出點到平面的距離。詳解】∵，，∴，∵，∴到平面的距離為.【點睛】本題考查利用空間向量法求點到面距離的問題，考查學(xué)生空間想象能力以及計算能力，屬于基礎(chǔ)題。15.已知命題：，則￢

參考答案：16.若數(shù)列的前n項和為，且滿足，則數(shù)列的通項公式為

參考答案：17.若“使”是假命題，則實數(shù)的范圍

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分14分）如圖，酒杯的形狀為倒立的圓錐，杯深8cm.上口寬6cm,水以20cm3/s的流量倒入杯中，當(dāng)水深為4cm時，求水升高的瞬時變化率.參考答案：(14分)解法一：設(shè)時刻ts時，杯中水的體積為Vcm3,水面半徑為rcm,水深為hcm.則

2分

5分

7分記水升高的瞬時變化率為（即當(dāng)無限趨近于0時，無限趨近于）從而有，當(dāng)h=4時，解得

12分答：當(dāng)水深為4cm時，水升高的瞬時變化率為。

14分解法二：仿解法一，可得，即

4分

5分當(dāng)無限趨近于0時，無限趨近于,即無限趨近于

12分當(dāng)h=4時,水升高的瞬時變化率是.

14分解法三：水面高為4cm時，可求得水面半徑為，設(shè)水面高度增加時，水的體積增加，從而,(用圓柱近似增加的水體積),

8分故.當(dāng)無限趨近于0時得

10分即

12分答：當(dāng)水深為4cm時，水升高的瞬時變化率為。

14分解法四：設(shè)t時刻時注入杯中的水的高度為h,杯中水面為圓形，其圓半徑為r

1分如圖被子的軸截面為等腰三角形ABC,AO1O為底邊BC上的高，O1,O分別為DE，BC中點，容易求證∽，那么

2分時刻時杯中水的容積為V=

3分又因為V=20t,

4分則

即

6分

8分當(dāng)h=4時，設(shè)t=t1,由三角形形似的，

9分那么

10分

12分答:當(dāng)水高為4cm時，水升高的瞬時變化率為cm/s

14分略19.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2=4，S5=30．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=0，bn=2bn﹣1+1，（n∈N，n≥2），①求數(shù)列{an}的通項公式；②設(shè)Cn=bn+1，求證：{Cn}是等比數(shù)列，且{bn}的通項公式；③設(shè)數(shù)列{dn}滿足，求{dn}的前n項和為Tn．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項公式；等比關(guān)系的確定；數(shù)列遞推式．【分析】①等差數(shù)列{an}中，依題意，解關(guān)于首項a1與公差d的方程組，即可求得數(shù)列{an}的通項公式；②可求得=2（n≥2，n∈N），c1=b1+1=1，從而可確定{cn}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，繼而可得{bn}的通項公式；③通過裂項法可求得dn=（﹣）+2n﹣1﹣1，再利用分組求和、公式法求和即可求得{dn}的前n項和為Tn．【解答】解：①由a2=a1+d=4，S5=5a1+d=30得：a1=2，d=2，∴an=2+2（n﹣1）=2n…②∵bn=2bn﹣1+1，cn=bn+1，∴===2（n≥2，n∈N）∴{cn}是以2為公比的等比數(shù)列．又∵c1=b1+1=1，∴cn=bn+1=1×2n﹣1=2n﹣1，∴bn=2n﹣1﹣1…③∵dn=+bn=+2n﹣1﹣1=（﹣）+2n﹣1﹣1，∴Tn=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]+（1+2+22+…+2n﹣1）﹣n=（1﹣）+﹣n=2n﹣n﹣20.（本題14分）已知二次函數(shù)的二次項系數(shù)為，且不等式的解集為．(1)若方程有兩個相等的實數(shù)根,求的解析式；(2)若的最大值為正數(shù)，求的取值范圍．參考答案：解：（1）∴

所以

…………2分①由方程

②

……4分因為方程②有兩個相等的根，所以，即

………6分由于代入①得的解析式為

……………8分（若本題沒有舍去“”第一小問得6分）（2）由及

……………12分由

解得故當(dāng)?shù)淖畲笾禐檎龜?shù)時，實數(shù)a的取值范圍是21.（12）某種有獎銷售的飲料，瓶蓋內(nèi)印有“獎勵一瓶”或“謝謝購買”字樣，購買一瓶若其瓶蓋內(nèi)印有“獎勵一瓶”字樣即為中獎，中獎概率為.甲、乙、丙三位同學(xué)每人購買了一瓶該飲料。（Ⅰ）求三位同學(xué)都沒有中獎的概率；（Ⅱ）求三位同學(xué)中至少有兩位沒有中獎的概率.參考答案：解：設(shè)甲、乙、丙中獎的事件