復(fù)變函數(shù)初等多值解析函數(shù)

復(fù)變函數(shù)初等多值解析函數(shù)第一頁，共三十二頁，2022年，8月28日1定義2.8(單葉函數(shù)）

設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)有定義,且對D內(nèi)任意不同的兩點(diǎn)z1及z2都有f(z1)≠f(z2),則稱函數(shù)f(z)在D內(nèi)是單葉的.并且稱區(qū)域D為f(z)的單葉性區(qū)域.

顯然,區(qū)域D到區(qū)域G的單葉滿變換w=f(z)就是D到G的一一變換.

f(z)=z2不是C上的單葉函數(shù).

f(z)=z3是C上的單葉函數(shù)第二頁，共三十二頁，2022年，8月28日2冪函數(shù)的變換性質(zhì)及其單葉性區(qū)域設(shè)有冪函數(shù):w=zn

令z=rei,w=ei,則：w=zn

ei=

rnein=

rn,

=n于是得到冪函數(shù)有如下的變換性質(zhì)：z平面w平面射線=0射線=n0圓周r=r0圓周=r0n第三頁，共三十二頁，2022年，8月28日3xozyuowvW=znz平面w平面射線=0射線=n0圓周r=r0圓周=r0n0n0角域0<<0射線0<<n0))xozy)第四頁，共三十二頁，2022年，8月28日4從原點(diǎn)起沿負(fù)實(shí)軸剪開的w平面G0z平面w平面W=zn角域

0<<0角域0<<n0uowvxozy上岸下岸第五頁，共三十二頁，2022年，8月28日5映射特點(diǎn):

冪函數(shù)w=zn(n>1)單葉性區(qū)域是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，張度不超過2/n的角形區(qū)域的角形域,但張角變成為原來的

n倍.是冪函數(shù)的單葉性區(qū)域的一種分法總之：把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域映射成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)第六頁，共三十二頁，2022年，8月28日6根式函數(shù)定義2.9

若z=wn,則稱w為z的n次根式函數(shù)，記為：i.e.根式函數(shù)

為冪函數(shù)z=wn

的反函數(shù).(1)根式函數(shù)的多值性.第七頁，共三十二頁，2022年，8月28日7(2)分出根式函數(shù)的單值解析分支.1)產(chǎn)生多值的原因.

產(chǎn)生多值的原因是:當(dāng)z取定后，其輻角不固定，可以連續(xù)改變2的整數(shù)倍，對應(yīng)的函數(shù)值連續(xù)改變到下一個(gè)值第八頁，共三十二頁，2022年，8月28日82)解決的辦法.

限制z的輻角的變換，使其輻角的該變量argz<2

理論上的的做法：

從原點(diǎn)O起到點(diǎn)∞任意引一條射線將z平面割破，該直線稱為割線，在割破了的平面(構(gòu)成以此割線為邊界的區(qū)域，記為G)上，argz<2，從而可將其轉(zhuǎn)化為單值函數(shù)來研究

常用的做法：

從原點(diǎn)起沿著負(fù)實(shí)軸將z平面割破：zxozyG第九頁，共三十二頁，2022年，8月28日9

結(jié)論：

從原點(diǎn)起沿著負(fù)實(shí)軸將z平面割破,即可將根式函數(shù):

分成如下的n個(gè)單值函數(shù)：

定義域?yàn)?/p>

wk在Gk上解析,且第十頁，共三十二頁，2022年，8月28日10xozyG13xozyG0--T0T1T2uwvoxozyG235第十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日112.3.2對數(shù)函數(shù)1.定義說明：w=Lnz是指數(shù)函數(shù)ew=z的反函數(shù)Lnz一般不能寫成lnz2.計(jì)算公式及多值性說明：第十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日12由于Argz的多值性導(dǎo)致w=Lnz是一個(gè)具有無窮多值的多值函數(shù)規(guī)定：為對數(shù)函數(shù)Lnz的主值于是：z的主輻角第十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日13特殊地,第十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日14例4解注意:在實(shí)對數(shù)函數(shù)中,零和負(fù)數(shù)無對數(shù), 這一點(diǎn)在復(fù)對數(shù)函數(shù)中不再成立.第十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日15例5解第十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日16例6解第十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日17第十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日182.性質(zhì)第十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日19證(3)[證畢]第二十頁，共三十二頁，2022年，8月28日20(3)(4)錯(cuò)了例：錯(cuò)了，同志哥?。?！決不會相等?。?！原因Bernoulli悖論

Lnz是集合記號，應(yīng)該理解為兩個(gè)集合相加A={0,1}A+A={0,1,2}2A={0,2}A+A2A第二十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日213.分出w=Lnz的單值解析分支從原點(diǎn)起沿著負(fù)實(shí)軸將z平面割破，就可將對數(shù)函數(shù)w=Lnz分成如下n個(gè)單值解析分支：

定義域?yàn)?/p>

wk在Gk上解析,且第二十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日222.3.3一般冪函數(shù)與一般指函數(shù)1.一般冪函數(shù)稱為z的一般冪數(shù)函數(shù)2.一般指數(shù)函數(shù)稱為z的一般指數(shù)函數(shù)都是多值函數(shù)，適當(dāng)割破z平面，都可轉(zhuǎn)化為單值函數(shù)第二十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日23注意:1.一般冪函數(shù)稱為z的一般冪數(shù)函數(shù)第二十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日24第二十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日25特殊情況:第二十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日26第二十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日27例7解答案課堂練習(xí)第二十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日28例8解第二十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日292.冪函數(shù)的解析性它的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,第