第一章特殊平行四邊性1.1.2菱形的判定 九年級數(shù)學(xué)上冊

27/271.1.2菱形的判定一．選擇題（共8小題）1．下列說法正確的是（）A．對角線相等的四邊形是菱形 B．四條邊相等的四邊形是菱形 C．一組鄰邊相等的四邊形是菱形 D．對角線互相垂直的四邊形是菱形2．在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四邊形ABCD為菱形，則可以添加的條件是（）A．∠AOB＝60° B．AC⊥BD C．AC＝BD D．AB⊥BC3．如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且AC⊥BD，則下列條件能判定四邊形ABCD為菱形的是（）A．AB＝CD B．OA＝OC，OB＝OD C．AC＝BD D．AB∥CD，AD＝BC4．如圖，在?ABCD中，M，N是BD上兩點，BM＝DN，連接AM，MC，CN，NA，添加一個條件，使四邊形AMCN是菱形，這個條件是（）A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND5．如圖，已知點E、F分別是四邊形ABCD的邊AD、BC的中點，G、H分別是對角線BD、AC的中點，要使四邊形EGFH是菱形，則四邊形ABCD需滿足的條件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC第3題第4題第5題6．如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四邊形DBFE是菱形，還需要添加的條件是（）A．BE平分∠ABC B．AD＝BD C．BE⊥AC D．AB＝AC7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D為斜邊AB上一點，以CD、CB為邊作平行四邊形CDEB，當(dāng)AD＝_____，平行四邊形CDEB為菱形．（）A． B． C． D．38．如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分別是OC、OD、AB的中點，下列結(jié)論：①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四邊形BEFG是菱形．其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．②③⑤第6題第7題第8題二．填空題（共4小題）9．如圖，A（0，4），B（8，0），點C是x軸正半軸上一點，D是平面內(nèi)任意一點，若以A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形，則點D的坐標(biāo)為．10．如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四種說法：①四邊形AEDF是平行四邊形；②如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是菱形；③如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形；④如果AB＝AC，那么四邊形AEDF是菱形．其中，正確的有．（只填寫序號）11．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8cm，點P從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒cm的速度向終點B運(yùn)動；同時動點Q從點B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點C運(yùn)動，將△PQC沿BC翻折，點P的對應(yīng)點為點P′．設(shè)Q點運(yùn)動的時間t秒，則t的值為時，四邊形QPCP′為菱形．12．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高，BE為∠ABC的角平分線交AC于E，交AD于F，F(xiàn)G∥BD，交AC于G，過E作EH⊥CD于H，連接FH，下列結(jié)論：①四邊形CHFG是平行四邊形；②AE＝CG；③FE＝FD；④四邊形AFHE是菱形，其中正確的結(jié)論是．三．解答題（共11小題）13．如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝2∠BAD．O是四邊形ABCD內(nèi)一點，且OA＝OB＝OD．（1）求證：∠BOD＝∠C；（2）若BC＝CD，求證：四邊形OBCD是菱形．14．如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點O的直線EF與BA、DC的延長線分別交于點E、F．（1）求證：AE＝CF；（2）請再添加一個條件，使四邊形BFDE是菱形，并說明理由．15．如圖，在?ABCD中，點E、F在對角線BD上，BE＝DF．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若BD平分∠ABC，求證：四邊形AECF是菱形．16．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）當(dāng)AB與AC滿足什么位置關(guān)系時，四邊形AECF是菱形？請證明．17．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于F，連接CF．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）若∠BAC＝90°，求證：四邊形ADCF是菱形．18．如圖，已知△ABC中，點D、M分別是邊BC、AC的中點，過點A作AE∥BC交線段DM的延長線于點E，聯(lián)結(jié)AD、CE．（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）如果∠BAC＝90°，求證：四邊形ADCE是菱形．19．平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝ax+b與x軸、y軸分別交于點B，C，且a，b滿足：a＝++3．不論k為何值，直線l：y＝kx﹣2k都經(jīng)過x軸上一定點A．（1）a＝，b＝；點A的坐標(biāo)為；（2）如圖，當(dāng)k＝1時，將線段BC沿某個方向平移，使點B，C對應(yīng)的點M，N恰好分別在直線l和直線y＝2x﹣4上，請你判斷四邊形BMNC的形狀，并說明理由．20．如圖，在平行四邊形ABCD中，P是對角線BD上的一點，過點C作CQ∥DB，且AB∥PQ，連接AP、BQ、PQ．（1）求證：△APD≌△BQC；（2）若∠ABP+∠BQC＝180°，求證：四邊形ABQP為菱形．21．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，對角線AC、BD交于點O，過點C作CE⊥CD交AB的延長線于點E，聯(lián)結(jié)OE，OC＝OE．（1）求證：OE＝AC；（2）如果DB平分∠ADC，求證：四邊形ABCD是菱形．22．如圖，△ABC中，D是AB上一點，DE⊥AC于點E，F(xiàn)是AD的中點，F(xiàn)G⊥BC于點G，與DE交于點H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，連接GE，GD．（1）求證：△ECG≌△GHD；（2）小亮同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：AD＝AC+EC．請你幫助小亮同學(xué)證明這一結(jié)論．（3）若∠B＝30°，判定四邊形AEGF是否為菱形，并說明理由．23．D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點，O是△ABC內(nèi)任意一點，連接OB、OC，點G、F分別是OB、OC的中點，順次連接點D、G、F、E．問當(dāng)OA與BC應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形DGFE是菱形，并證明之．

1.1.2菱形的判定參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．下列說法正確的是（）A．對角線相等的四邊形是菱形 B．四條邊相等的四邊形是菱形 C．一組鄰邊相等的四邊形是菱形 D．對角線互相垂直的四邊形是菱形【解答】解：A．對角線相等的平行四邊形是矩形，故不符合題意；B．四條邊相等的四邊形是菱形，故符合題意；C．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故不符合題意；D．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故不符合題意；故選：B．2．在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四邊形ABCD為菱形，則可以添加的條件是（）A．∠AOB＝60° B．AC⊥BD C．AC＝BD D．AB⊥BC【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，A、∵∠AOB＝60°，∴不能得出四邊形ABCD是菱形；選項A不符合題意；B、∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，故選項B符合題意；C、∵AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形，故選項C不符合題意；D、∵AB⊥BC，∴四邊形ABCD是矩形，故選項D不符合題意；故選：B．3．如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且AC⊥BD，則下列條件能判定四邊形ABCD為菱形的是（）A．AB＝CD B．OA＝OC，OB＝OD C．AC＝BD D．AB∥CD，AD＝BC【解答】A、當(dāng)AB＝CD，AC⊥BD時，四邊形ABCD不是平行四邊形；故選項A不符合題意；B、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD為菱形，故選項B符合題意；C、當(dāng)AC＝BD，AC⊥BD時，四邊形ABCD不是平行四邊形；故選項C不符合題意；D、當(dāng)AB∥CD，AD＝BC時，四邊形ABCD不是平行四邊形；故選項D不符合題意．故選：B．4．如圖，在?ABCD中，M，N是BD上兩點，BM＝DN，連接AM，MC，CN，NA，添加一個條件，使四邊形AMCN是菱形，這個條件是（）A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD∵對角線BD上的兩點M、N滿足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四邊形AMCN是平行四邊形，∵BD⊥AC，∴MN⊥AC，∴四邊形AMCN是菱形．故選：C．5．如圖，已知點E、F分別是四邊形ABCD的邊AD、BC的中點，G、H分別是對角線BD、AC的中點，要使四邊形EGFH是菱形，則四邊形ABCD需滿足的條件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC【解答】解：∵點E、F分別是四邊形ABCD的邊AD、BC的中點，G、H分別是對角線BD、AC的中點，∴EG＝FH＝AB，EH＝FG＝CD，∵當(dāng)EG＝FH＝GF＝EH時，四邊形EGFH是菱形，∴當(dāng)AB＝CD時，四邊形EGFH是菱形．故選：A．6．如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四邊形DBFE是菱形，還需要添加的條件是（）A．BE平分∠ABC B．AD＝BD C．BE⊥AC D．AB＝AC【解答】解：當(dāng)BE平分∠ABC時，四邊形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC，∵∠EBC＝∠EBD，∴∠EBD＝∠DEB，∴BD＝DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形，∵BD＝DE，∴四邊形DBFE是菱形．其余選項均無法判斷四邊形DBFE是菱形，故選：A．7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D為斜邊AB上一點，以CD、CB為邊作平行四邊形CDEB，當(dāng)AD＝_____，平行四邊形CDEB為菱形．（）A． B． C． D．3【解答】解：如圖，連接CE交AB于點O．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5．若平行四邊形CDEB為菱形時，CE⊥BD，且OD＝OB，CD＝CB．∵S△ACB＝AB?OC＝AC?BC，∴OC＝．∴在Rt△BOC中，根據(jù)勾股定理得，OB＝＝＝，∴AD＝AB﹣2OB＝．故選：A．8．如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分別是OC、OD、AB的中點，下列結(jié)論：①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四邊形BEFG是菱形．其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．②③⑤【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴BO＝DO＝BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥BC，又∵BD＝2AD，∴OB＝BC＝OD＝DA，且點E是OC中點，∴BE⊥AC，故①正確；∵E、F分別是OC、OD的中點，∴EF∥CD，EF＝CD，∵點G是Rt△ABE斜邊AB上的中點，∴GE＝AB＝AG＝BG∴EG＝EF＝AG＝BG，無法證明GE＝GF，故②錯誤；∵BG＝EF，AB∥CD∥EF，∴四邊形BGFE是平行四邊形，∴GF＝BE，且BG＝EF，GE＝GE，∴△BGE≌△FEG（SSS）故③正確；∵EF∥CD∥AB，∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF，∵AG＝GE，∴∠GAE＝∠AEG，∴∠AEG＝∠AEF，∴AE平分∠GEF，故④正確，若四邊形BEFG是菱形∴BE＝BG＝AB，∴∠BAC＝30°與題意不符合故⑤錯誤，故選：B．二．填空題（共4小題）9．如圖，A（0，4），B（8，0），點C是x軸正半軸上一點，D是平面內(nèi)任意一點，若以A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形，則點D的坐標(biāo)為（5，4）或（4，4）．【解答】解：當(dāng)AB為菱形的對角線時，如圖1，設(shè)菱形的邊長為m，∵A（0，4），B（8，0），∴OA＝4，OB＝8，∵四邊形ABCD為菱形，∴CA＝AD＝BC，AD∥BC，∴CA＝CB＝8﹣m，在Rt△AOC中，42+（8﹣m）2＝m2，解得m＝5，∴D（5，4）；當(dāng)AB為菱形的邊時，如圖2，AB＝＝4，∵四邊形ABCD為菱形，∴BC＝AB＝AD＝4，AD∥BC，∴D（4，4），綜上所述，D點坐標(biāo)為（5，4）或（4，4）．故答案為（5，4）或（4，4）．10．如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四種說法：①四邊形AEDF是平行四邊形；②如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是菱形；③如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形；④如果AB＝AC，那么四邊形AEDF是菱形．其中，正確的有①③．（只填寫序號）【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四邊形AEDF是平行四邊形，故①正確；∵∠BAC＝90°，四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF是矩形，故②錯誤；∵AD平分∠BAC，四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF是菱形，故③正確；∵AB＝AC，四邊形AEDF是平行四邊形，不能得出AE＝AF，故四邊形AEDF不一定是菱形，故④錯誤；故答案為：①③．11．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8cm，點P從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒cm的速度向終點B運(yùn)動；同時動點Q從點B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點C運(yùn)動，將△PQC沿BC翻折，點P的對應(yīng)點為點P′．設(shè)Q點運(yùn)動的時間t秒，則t的值為時，四邊形QPCP′為菱形．【解答】解：如圖，連接PP′交CQ于D，∵四邊形QPCP′為菱形，∴PP′⊥CQ，CD＝DQ，∵點Q的速度是每秒1cm，∴CD＝CQ＝（8﹣t）cm，過點P作PO⊥AC于O，則四邊形CDPO是矩形，∴CD＝PO，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∴PO＝AP，∵點P的運(yùn)動速度是每秒cm，∴PO＝×t＝tcm，∴（8﹣t）＝t，解得t＝．故答案為：．12．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高，BE為∠ABC的角平分線交AC于E，交AD于F，F(xiàn)G∥BD，交AC于G，過E作EH⊥CD于H，連接FH，下列結(jié)論：①四邊形CHFG是平行四邊形；②AE＝CG；③FE＝FD；④四邊形AFHE是菱形，其中正確的結(jié)論是①②④．【解答】解：∵∠FBD＝∠ABF，∠FBD+∠BFD＝90°，∠ABF+∠AEB＝90°，∴∠BFD＝∠AEB，∴∠AFE＝∠AEB，∴AF＝AE，∵BE是∠ABC的角平分線，EH⊥BC，∴AE＝EH，∴AF＝EH，又∵EH∥AD，∴四邊形AEHF是平行四邊形，結(jié)合AE＝EH可得四邊形AEHF是菱形，∴④對；∴FH∥AC，∴四邊形CHFG是平行四邊形，①對；∴CG＝FH＝AE，②對；③中EF與FD并不存在相等，故答案為：①②④．三．解答題（共11小題）13．如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝2∠BAD．O是四邊形ABCD內(nèi)一點，且OA＝OB＝OD．（1）求證：∠BOD＝∠C；（2）若BC＝CD，求證：四邊形OBCD是菱形．【解答】證明：（1）延長AO到E，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO，又∠BOE＝∠ABO+∠BAO，∴∠BOE＝2∠BAO，同理∠DOE＝2∠DAO，∴∠BOE+∠DOE＝2∠BAO+2∠DAO＝2（∠BAO+∠DAO），即∠BOD＝2∠BAD，又∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C；（2）連接OC，∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共邊，∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC（SSS），∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD，又∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC，又OB＝OD，BC＝CD，∴OB＝BC＝CD＝DO，∴四邊形OBCD是菱形．法二，連接OC，∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共邊，∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC（SSS），∴∠B＝∠D，∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，∴∠BOD＝∠BCD，∴四邊形BCDO是平行四邊形，∵BC＝CD，∴平行四邊形BCDO是菱形．14．如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點O的直線EF與BA、DC的延長線分別交于點E、F．（1）求證：AE＝CF；（2）請再添加一個條件，使四邊形BFDE是菱形，并說明理由．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，BE∥DF，∴∠E＝∠F，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE＝CF；（2）當(dāng)EF⊥BD時，四邊形BFDE是菱形，理由如下：如圖：連結(jié)BF，DE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，∵△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∵EF⊥BD，∴四邊形BFDE是菱形．15．如圖，在?ABCD中，點E、F在對角線BD上，BE＝DF．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若BD平分∠ABC，求證：四邊形AECF是菱形．【解答】證明：（1）如圖，連接AC，與BD相交于點O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝FD，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF．∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即AC⊥EF；由（1）得：四邊形AECF是平行四邊形，∴四邊形AECF是菱形．16．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）當(dāng)AB與AC滿足什么位置關(guān)系時，四邊形AECF是菱形？請證明．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．∴AF＝DF＝AD，BE＝CE＝BC，∴AF＝CE且AF∥EC，∴四邊形AECF是平行四邊形．（2）解：當(dāng)AB⊥AC時，四邊形AECF是菱形，證明如下：由（1）得：四邊形AECF是平行四邊形，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵點E是BC的中點，∴AE＝BC＝CE，∴平行四邊形AECF是菱形．17．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于F，連接CF．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）若∠BAC＝90°，求證：四邊形ADCF是菱形．【解答】證明：（1）∵E是AD的中點，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵∠AEF＝∠DEB，∴△AEF≌△DEB；（2）∵△AEF≌△DEB，∴AF＝DB，∵AD是BC邊上的中線，∴DC＝DB，∴AF＝DC，∵AF∥DC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，AD是BC邊上的中線，∴AD＝DC，∴?ADCF是菱形．18．如圖，已知△ABC中，點D、M分別是邊BC、AC的中點，過點A作AE∥BC交線段DM的延長線于點E，聯(lián)結(jié)AD、CE．（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）如果∠BAC＝90°，求證：四邊形ADCE是菱形．【解答】證明：（1）∵點D，M分別是邊BC，AC的中點，∴DM是△ABC的中位線，∴DM∥AB，∵AE∥BC，∴四邊形ABDE是平行四邊形；（2）∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴BD＝AE，∵D是BC的中點，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∴四邊形ADCE是平行四邊形，又∵∠BAC＝90°，點D是邊BC的中點，∴AD＝BC＝CD，∴平行四邊形ADCE是菱形．19．平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝ax+b與x軸、y軸分別交于點B，C，且a，b滿足：a＝++3．不論k為何值，直線l：y＝kx﹣2k都經(jīng)過x軸上一定點A．（1）a＝3，b＝6；點A的坐標(biāo)為（2，0）；（2）如圖，當(dāng)k＝1時，將線段BC沿某個方向平移，使點B，C對應(yīng)的點M，N恰好分別在直線l和直線y＝2x﹣4上，請你判斷四邊形BMNC的形狀，并說明理由．【解答】解：（1）∵，∴b＝6，a＝3，∵y＝kx﹣2k都經(jīng)過x軸上一定點A（2，0），故答案為：3，6，（2，0）；（2）如圖，作NP⊥y軸于點P，∵y＝3x+6與x軸交于點B，∴點B坐標(biāo)為（﹣2，0），∵y＝3x+6與y軸交于點C，∴點C坐標(biāo)為（0，6），當(dāng)k＝1時，y＝kx﹣2k＝x﹣2，根據(jù)平移的性質(zhì)，可得四邊形BMNC是平行四邊形，設(shè)點M坐標(biāo)是（m，m﹣2），則點N坐標(biāo)是（m+2，m+4），∵點N在直線y＝2x﹣4上，∴m+4＝2（m+2）﹣4，解得m＝4，∴m+2＝4+2＝6，m+4＝4+4＝8，∴點N的坐標(biāo)是（6，8），∵NC＝＝2，BC＝＝2，∴NC＝BC，又∵四邊形BMNC是平行四邊形，∴四邊形BMNC是菱形．20．如圖，在平行四邊形ABCD中，P是對角線BD上的一點，過點C作CQ∥DB，且AB∥PQ，連接AP、BQ、PQ．（1）求證：△APD≌△BQC；（2）若∠ABP+∠BQC＝180°，求證：四邊形ABQP為菱形．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADB＝∠DBC，∵CQ∥DB，∴∠BCQ＝∠DBC，∴∠ADB＝∠BCQ，∵AB∥PQ，∴CD∥PQ，∴四邊形CDPQ是平行四邊形，∴DP＝CQ，∴△APD≌△BQC（SAS）．（2）證明：由（1）得：四邊形CQPD是平行四邊形，∴CD＝PQ，CD∥PQ，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴AB＝PQ，AB∥PQ，∴四邊形ABQP是平行四邊形，∵△ADP≌△BCQ，∴∠APD＝∠BQC，∵∠APD+∠APB＝180°，∠ABP+∠BQC＝180°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∴四邊形ABQP是菱形．21．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，對角線AC、BD交于點O，過點C作CE⊥CD交AB的延長線于點E，聯(lián)結(jié)OE，OC＝OE．（1）求證：OE＝AC；（2）如果DB平分∠ADC，求證：四邊形ABCD是菱形．【解答】證明：（1）過O作OF⊥CE于F，如圖所示：∵OC＝OE，∴CF＝EF，∵OF⊥C