工程電磁場導論矢量

標量場和矢量場標量場的梯度矢量場的通量與散度矢量場的環(huán)量與旋度亥姆霍茲定理電磁場的特殊形式第0章矢量分析下頁返回VectorAnalysis正交坐標系-直角坐標系下頁上頁返回元面積元體積正交坐標系-柱坐標系下頁上頁返回元面積元體積正交坐標系-球坐標系下頁上頁返回元面積元體積坐標系間間單位矢矢量的換換算投影原則則能理解書書中第322頁表附1-1所列公式式之間的的關系可參考書書籍：BHagSinghGuru,HuseyinR.Hiziroglu，周克定定等譯.，電磁場場與電磁磁波.北京：機機械工業(yè)業(yè)出版社社，2000第二章矢矢量分分析（Page10~47）場是一個個標量或或一個矢矢量的位位置函數數，即場場中任一一個點都都有一個個確定的的標量或或矢量。例如，在在直角坐坐標下：：0.1標量場和和矢量場場標量場矢量場如溫度場、電位場、高度場等；如流速場、電場、渦流場等。ScalarFieldandVectorField下頁上頁返回其方程為:圖0.1.1等高線(1)標量場--等值線(面)形象描繪場分布的工具——場線思考在某一高度上沿什么方向高度變化最快？下頁上頁返回三維場二維場圖0.1.2矢量線矢量場--矢量線線上每一一點處的的切線方方向都與與矢量場場在該點點的方向向相同其方程為：在直角坐標系下：下頁上頁返回0.2標量場的的梯度GradientofScalarField設一個標標量函數數(x，y，z)，若函數數在點P可微，則則在點P沿任意方方向的方向導導數為設

式中,,分別是任一方向與x,y,z軸的夾角下頁上頁返回則有：當，最大——梯度(gradient)——哈密頓算算子式中圖0.1.3等溫線分布梯度的方向為該點最大方向導數的方向。梯度的大小為該點標量函數的最大變化率（增加的方向），即最大方向導數。標量場的梯度是一個矢量，是空間坐標點的函數。梯度的意意義下頁上頁返回，例

0.2.1試證明在點電荷q產生的靜電場中，電位函數的負梯度等于電場強度。例電位場的的梯度圖0.2.2電位場的梯度電位場的梯度與過該點的等位線垂直；數值等于該點的最大方向導數；指向電位增加的方向。下頁上頁返回例:設一標量點函數

(1)該點函數

在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；描述了空間標量場。試求：

(2)求該點函數沿單位矢量

方向的方向導數，并以點P(1,1,1)處該方向導數值與該點的梯度值作以比較，得出相應結論。[解](1)由梯度定定義,可解出待待求P點的梯度度為(2)

顯然，梯度描述了P點處標量點函數的最大變化率，即系最大方向導數，故，恒成立。0.3矢量場的的通量與與散度通量(Flux)矢量E沿有向曲曲面S的面積分分若S

為閉合曲面根據通量的大小判斷閉合面中源的性質：FluxandDivergenceofVector>0

(有正源)<0

(有負源)=0(無源)圖0.3.2矢量場通量的性質

下頁上頁返回圖0.3.1矢量場的通量

散度(Divergence)如果包圍圍點P的閉合面面S所圍區(qū)域域V以任意方方式縮小小到點P時：———散度(divergence)下頁上頁返回散度的意意義在矢量場場中，若若?A=0，稱之為為有源場場，稱為為(通量量)源密密度度；；若若矢矢量量場場中中處處處處?A=0，稱稱之之為為無無源源場場。。矢量的散度是一個標量，是空間坐標點的函數；散度代表矢量場的通量源的分布特性。(無源）

(正源)

(負源)圖0.3.3通量的物理意義

下頁上頁返回散度度定定理理(DivergenceTheorem)圖0.3.4散度定理

通量密度——高斯公式矢量函數的面積分與體積分的相互轉換。下頁上頁返回0.4矢量量場場的的環(huán)環(huán)量量與與旋旋度度環(huán)量量(Circulation)矢量量A沿空空間間有有向向閉閉合合曲曲線線L的線線積積分分———環(huán)量量環(huán)量量的的大大小小與與閉閉合合路路徑徑有有關關，，它它表表示示繞繞環(huán)環(huán)線線旋旋轉轉趨趨勢勢的的大大小小。。CirculationandRotationofVectorField下頁上頁返回圖0.4.1環(huán)量的計算水流沿平行于水管軸線方向流動，=0，無渦旋運動。例：流流速速場場圖0.4.2

流速場流體做渦旋運動，0，有產生渦旋的源。下頁上頁返回旋度度(Rotation)1.環(huán)量量密密度度過點點P作一一微微小小曲曲面面S，它它的的邊邊界界曲曲線線記記為為L，面面的的法法線線方方向向與與曲曲線線繞繞向向符符合合右右手手定定則則。。當當S點P時，，存存在在極極限限———環(huán)量量密密度度環(huán)量密度是單位面積上的環(huán)量。下頁上頁返回2.旋度度旋度度是是一一個個矢矢量量，，其其大大小小等等于于環(huán)環(huán)量量密密度度的的最最大大值值；；其其方方向向為為最最大大環(huán)環(huán)量量密密度度的的方方向向———旋度度(curl)－S

的法線方向它與與環(huán)環(huán)量量密密度度的的關關系系為為在直角坐標下:下頁上頁返回3.旋度度的的物物理理意意義義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標點的函數。某點旋度的大小是該點環(huán)量密度的最大值，其方向是最大環(huán)量密度的方向。在矢量場中，若A=J0

稱之為旋度場（或渦旋場），J

稱為旋度源（或渦旋源）。若矢量場處處A=0，稱之為無旋場。下頁上頁返回4、斯斯托托克克斯斯定定理理(Stockes’’Theorem)矢量函數的線積分與面積分的相互轉化。圖0.4.3斯托克斯定理———斯托托克克斯斯定理理下頁上頁

在電磁場理論中，高斯定理和斯托克斯定理是兩個非常重要的公式。返回0.5亥姆姆霍霍茲茲定定理理亥姆姆霍霍茲茲定定理理：：在有有限限區(qū)區(qū)域域V內，，矢矢量量場場由由它它的的散度度、、旋旋度度及邊界界條條件件唯一一地地確確定定。。已知知：：矢量A的通量源密度矢量A的旋渦源密度場域邊界條件（矢量A惟一地確定）電荷密度電流密度J場域邊界條件在電磁場中HymherzeTheorem下頁上頁返回例試判判斷斷下下列列各各圖圖中中矢矢量量場場的的性性質質。。000000下頁上頁返回(1)無旋旋場場(irrotationalfield)例如如靜靜電電場場從而由矢量恒等式

可定義（

—電位函數）

無旋旋場場中中，，矢矢量量沿沿場場域域中中任任意意閉閉合合路路徑徑的的環(huán)環(huán)量量等等于于零零無旋旋場場可可以以表表示示為為某某一一標標量量函函數數梯梯度度場場(2)無散場(無源場、管量場solenoidalfield)例如如恒恒定定電電流流的的磁磁場場無源源場場中中穿穿過過場場域域中中任任一一個個矢矢量量管管的的所所有有截截面面的的通通量量都都相相等等無源源場場存存在在著著矢矢勢勢（（磁磁矢矢位位））(4)一般的場

例如如時時變變電電磁磁場場（3）調調和和場場：：散散度度和和旋旋度度都都等等于于零零的的矢矢量量場場調和和場場位位函函數數滿滿足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程0.6特殊殊形形式式的的電電磁磁場場如果果在在經經過過某某一一軸軸線線(設為為z軸））的一一族族平平行行平平面面上上，，場場F的分分布布都都相相同同，，即即F=f（x，y），，則稱稱這這個個場場為為平平行行平平面面場場。。1.平行平平面場場SpecialFormsofElectromagneticField如無限限長直直導線線產生生的電電場。下頁上頁返回0如果在在經過過某一一軸線線(設為z軸)的一族族子午午面上上，場場F的分布布都相相同，，即F=f（r,），則則稱這這個場場為軸軸對稱稱場。。2.軸對稱稱場如螺線線管線線圈產產生的的磁場場；有有限長長直帶帶電導導線產產生的的電場場。下頁上頁返