工程電磁場導(dǎo)論矢量

標(biāo)量場和矢量場標(biāo)量場的梯度矢量場的通量與散度矢量場的環(huán)量與旋度亥姆霍茲定理電磁場的特殊形式第0章矢量分析下頁返回VectorAnalysis正交坐標(biāo)系-直角坐標(biāo)系下頁上頁返回元面積元體積正交坐標(biāo)系-柱坐標(biāo)系下頁上頁返回元面積元體積正交坐標(biāo)系-球坐標(biāo)系下頁上頁返回元面積元體積坐標(biāo)系間間單位矢矢量的換換算投影原則則能理解書書中第322頁表附1-1所列公式式之間的的關(guān)系可參考書書籍：BHagSinghGuru,HuseyinR.Hiziroglu，周克定定等譯.，電磁場場與電磁磁波.北京：機(jī)機(jī)械工業(yè)業(yè)出版社社，2000第二章矢矢量分分析（Page10~47）場是一個(gè)個(gè)標(biāo)量或或一個(gè)矢矢量的位位置函數(shù)數(shù)，即場場中任一一個(gè)點(diǎn)都都有一個(gè)個(gè)確定的的標(biāo)量或或矢量。例如，在在直角坐坐標(biāo)下：：0.1標(biāo)量場和和矢量場場標(biāo)量場矢量場如溫度場、電位場、高度場等；如流速場、電場、渦流場等。ScalarFieldandVectorField下頁上頁返回其方程為:圖0.1.1等高線(1)標(biāo)量場--等值線(面)形象描繪場分布的工具——場線思考在某一高度上沿什么方向高度變化最快？下頁上頁返回三維場二維場圖0.1.2矢量線矢量場--矢量線線上每一一點(diǎn)處的的切線方方向都與與矢量場場在該點(diǎn)點(diǎn)的方向向相同其方程為：在直角坐標(biāo)系下：下頁上頁返回0.2標(biāo)量場的的梯度GradientofScalarField設(shè)一個(gè)標(biāo)標(biāo)量函數(shù)數(shù)(x，y，z)，若函數(shù)數(shù)在點(diǎn)P可微，則則在點(diǎn)P沿任意方方向的方向?qū)?dǎo)數(shù)為設(shè)

式中,,分別是任一方向與x,y,z軸的夾角下頁上頁返回則有：當(dāng)，最大——梯度(gradient)——哈密頓算算子式中圖0.1.3等溫線分布梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向。梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)的最大變化率（增加的方向），即最大方向?qū)?shù)。標(biāo)量場的梯度是一個(gè)矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。梯度的意意義下頁上頁返回，例

0.2.1試證明在點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的靜電場中，電位函數(shù)的負(fù)梯度等于電場強(qiáng)度。例電位場的的梯度圖0.2.2電位場的梯度電位場的梯度與過該點(diǎn)的等位線垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；指向電位增加的方向。下頁上頁返回例:設(shè)一標(biāo)量點(diǎn)函數(shù)

(1)該點(diǎn)函數(shù)

在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；描述了空間標(biāo)量場。試求：

(2)求該點(diǎn)函數(shù)沿單位矢量

方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處該方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。[解](1)由梯度定定義,可解出待待求P點(diǎn)的梯度度為(2)

顯然，梯度描述了P點(diǎn)處標(biāo)量點(diǎn)函數(shù)的最大變化率，即系最大方向?qū)?shù)，故，恒成立。0.3矢量場的的通量與與散度通量(Flux)矢量E沿有向曲曲面S的面積分分若S

為閉合曲面根據(jù)通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì)：FluxandDivergenceofVector>0

(有正源)<0

(有負(fù)源)=0(無源)圖0.3.2矢量場通量的性質(zhì)

下頁上頁返回圖0.3.1矢量場的通量

散度(Divergence)如果包圍圍點(diǎn)P的閉合面面S所圍區(qū)域域V以任意方方式縮小小到點(diǎn)P時(shí)：———散度(divergence)下頁上頁返回散度的意意義在矢量場場中，若若?A=0，稱之為為有源場場，稱為為(通量量)源密密度度；；若若矢矢量量場場中中處處處處?A=0，稱稱之之為為無無源源場場。。矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；散度代表矢量場的通量源的分布特性。(無源）

(正源)

(負(fù)源)圖0.3.3通量的物理意義

下頁上頁返回散度度定定理理(DivergenceTheorem)圖0.3.4散度定理

通量密度——高斯公式矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉(zhuǎn)換。下頁上頁返回0.4矢量量場場的的環(huán)環(huán)量量與與旋旋度度環(huán)量量(Circulation)矢量量A沿空空間間有有向向閉閉合合曲曲線線L的線線積積分分———環(huán)量量環(huán)量量的的大大小小與與閉閉合合路路徑徑有有關(guān)關(guān)，，它它表表示示繞繞環(huán)環(huán)線線旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)趨趨勢勢的的大大小小。。CirculationandRotationofVectorField下頁上頁返回圖0.4.1環(huán)量的計(jì)算水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)，=0，無渦旋運(yùn)動(dòng)。例：流流速速場場圖0.4.2

流速場流體做渦旋運(yùn)動(dòng)，0，有產(chǎn)生渦旋的源。下頁上頁返回旋度度(Rotation)1.環(huán)量量密密度度過點(diǎn)點(diǎn)P作一一微微小小曲曲面面S，它它的的邊邊界界曲曲線線記記為為L，面面的的法法線線方方向向與與曲曲線線繞繞向向符符合合右右手手定定則則。。當(dāng)當(dāng)S點(diǎn)P時(shí)，，存存在在極極限限———環(huán)量量密密度度環(huán)量密度是單位面積上的環(huán)量。下頁上頁返回2.旋度度旋度度是是一一個(gè)個(gè)矢矢量量，，其其大大小小等等于于環(huán)環(huán)量量密密度度的的最最大大值值；；其其方方向向?yàn)闉樽钭畲蟠蟓h(huán)環(huán)量量密密度度的的方方向向———旋度度(curl)－S

的法線方向它與與環(huán)環(huán)量量密密度度的的關(guān)關(guān)系系為為在直角坐標(biāo)下:下頁上頁返回3.旋度度的的物物理理意意義義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。某點(diǎn)旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值，其方向是最大環(huán)量密度的方向。在矢量場中，若A=J0

稱之為旋度場（或渦旋場），J

稱為旋度源（或渦旋源）。若矢量場處處A=0，稱之為無旋場。下頁上頁返回4、斯斯托托克克斯斯定定理理(Stockes’’Theorem)矢量函數(shù)的線積分與面積分的相互轉(zhuǎn)化。圖0.4.3斯托克斯定理———斯托托克克斯斯定理理下頁上頁

在電磁場理論中，高斯定理和斯托克斯定理是兩個(gè)非常重要的公式。返回0.5亥姆姆霍霍茲茲定定理理亥姆姆霍霍茲茲定定理理：：在有有限限區(qū)區(qū)域域V內(nèi)，，矢矢量量場場由由它它的的散度度、、旋旋度度及邊界界條條件件唯一一地地確確定定。。已知知：：矢量A的通量源密度矢量A的旋渦源密度場域邊界條件（矢量A惟一地確定）電荷密度電流密度J場域邊界條件在電磁場中HymherzeTheorem下頁上頁返回例試判判斷斷下下列列各各圖圖中中矢矢量量場場的的性性質(zhì)質(zhì)。。000000下頁上頁返回(1)無旋旋場場(irrotationalfield)例如如靜靜電電場場從而由矢量恒等式

可定義（

—電位函數(shù)）

無旋旋場場中中，，矢矢量量沿沿場場域域中中任任意意閉閉合合路路徑徑的的環(huán)環(huán)量量等等于于零零無旋旋場場可可以以表表示示為為某某一一標(biāo)標(biāo)量量函函數(shù)數(shù)梯梯度度場場(2)無散場(無源場、管量場solenoidalfield)例如如恒恒定定電電流流的的磁磁場場無源源場場中中穿穿過過場場域域中中任任一一個(gè)個(gè)矢矢量量管管的的所所有有截截面面的的通通量量都都相相等等無源源場場存存在在著著矢矢勢勢（（磁磁矢矢位位））(4)一般的場

例如如時(shí)時(shí)變變電電磁磁場場（3）調(diào)調(diào)和和場場：：散散度度和和旋旋度度都都等等于于零零的的矢矢量量場場調(diào)和和場場位位函函數(shù)數(shù)滿滿足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程0.6特殊殊形形式式的的電電磁磁場場如果果在在經(jīng)經(jīng)過過某某一一軸軸線線(設(shè)為為z軸））的一一族族平平行行平平面面上上，，場場F的分分布布都都相相同同，，即即F=f（x，y），，則稱稱這這個(gè)個(gè)場場為為平平行行平平面面場場。。1.平行平平面場場SpecialFormsofElectromagneticField如無限限長直直導(dǎo)線線產(chǎn)生生的電電場。下頁上頁返回0如果在在經(jīng)過過某一一軸線線(設(shè)為z軸)的一族族子午午面上上，場場F的分布布都相相同，，即F=f（r,），則則稱這這個(gè)場場為軸軸對稱稱場。。2.軸對稱稱場如螺線線管線線圈產(chǎn)產(chǎn)生的的磁場場；有有限長長直帶帶電導(dǎo)導(dǎo)線產(chǎn)產(chǎn)生的的電場場。下頁上頁返