專題09二次函數(shù)與矩形正方形存在型問題-突破中考數(shù)學(xué)壓軸之學(xué)霸秘笈大揭秘原卷版

突破中考教學(xué)］E軸之學(xué)瑜笈大揭秘專題09二次函般與空形正方形存在型同搜【典例分析】例T|如圖，拋物線頂點(diǎn)P(1,4),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),與x軸交于點(diǎn)A,B.(1)求拋物線的解析式.(2)Q是拋物線上除點(diǎn)P外一點(diǎn)，△BCQ與^BCP的面積相等，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).(3)若M,N為拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)M,N作直線BC的垂線段，垂足分別為D,E.是否存在點(diǎn)M,N使四邊形MNED為正方形？如果存在，求正方形MNED的邊長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.例2如圖，已知拋物線與?軸分別交于原點(diǎn)和點(diǎn)手」小，與對(duì)稱軸；交于點(diǎn)：；.矩形仁：）的邊仁在■軸正半軸上，且’「，，邊1；），：力與拋物線分別交于點(diǎn)儲(chǔ)，1當(dāng)矩形仁：）沿軸正方向平移，點(diǎn)M，位于對(duì)稱軸；的同側(cè)時(shí)，連接小,，此時(shí)，四邊形的面積記為?，點(diǎn)M，,?,位于對(duì)稱軸;的兩側(cè)時(shí)，連接，；一，此時(shí)五邊形I」一；的面積記為、.將點(diǎn)」與點(diǎn)：'?'重合的位置作為矩形舊；平移的起點(diǎn)，設(shè)矩形山：」平移的長(zhǎng)度為*：_\".（1）求出這條拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng).：時(shí)，求的值；（3）當(dāng)矩形?沿著?軸的正方向平移時(shí)，求。關(guān)于皿三二、的函數(shù)表達(dá)式，并求出，為何值時(shí)，A有最大值，最大值是多少？例3如圖，拋物線W:y=ox2+bx—7的頂點(diǎn)為(3,2).(1)求拋物線卬的函數(shù)表達(dá)式.(2)若拋物線形W'與W關(guān)于x軸對(duì)稱，求拋物線W'的函數(shù)表達(dá)式.N'分別關(guān)于x軸對(duì)稱，是否存在，使四邊形MMNN為正方形？(3)在(2)的基礎(chǔ)上，設(shè)卬上的點(diǎn)M、N始終與W'上的點(diǎn)M'、點(diǎn)M、N(M、N分別位于拋物線對(duì)稱軸兩側(cè)，且N'分別關(guān)于x軸對(duì)稱，是否存在，使四邊形MMNN為正方形？例4如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在y軸和x軸上，且A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,1）,正方形的邊長(zhǎng)為「.（1）直接寫出D、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、D、C三點(diǎn)的拋物線的關(guān)系式；（3）若正方形以每秒/個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速沿射線上三下滑，直至頂點(diǎn)二落在」軸上時(shí)停止.設(shè)正方形落在軸下方部分的面積為S,求S關(guān)于滑行時(shí)間「的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量二的取值范圍；（4）在（3）的條件下，拋物線與正方形一起平移，到頂點(diǎn)二落在軸上時(shí)，求拋物線上C,E兩點(diǎn)間的拋物線弧所掃過的面積.例5如圖，已知拋物線y=ax2+bx-3過點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),點(diǎn)M、N為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MD〃y軸，交直線BC于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E.過點(diǎn)N作NF±x軸，垂足為點(diǎn)F(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx-3的表達(dá)式；(2)若M點(diǎn)是拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，且四邊形MNFE為正方形，求該正方形的面積；⑶若M點(diǎn)是拋物線上對(duì)稱軸左側(cè)的點(diǎn)，且NDMN=90°,MD=MN,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo).【變式訓(xùn)練】.如圖，??為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊長(zhǎng)為的正方形上口二的頂點(diǎn)?」在?軸的正半軸上，將正方形OABC繞頂點(diǎn)■.順時(shí)針旋轉(zhuǎn).：，，使點(diǎn)，?落在某拋物線的圖象上，則該拋物線的解析式為（）A. =-B.」=-C. D..■二-：-iJ iJ.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD頂點(diǎn)A（0,1）,B（1,1）；一拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)M（-1,0）且頂點(diǎn)在正方形ABCD內(nèi)部（包括在正方形的邊上），則a的取值范圍是（ ）A.-2<a<-1 B.-2<a<-,C.-1<a<-D.-1<a<-I.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+c（a，0）的圖象過面積為1的正方形ABOC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C，則a的值為..如圖，正方形1：，「門的頂點(diǎn)」，：.?與正方形；一刀的頂點(diǎn)：；，門同在一段拋物線上，且拋物線的頂點(diǎn)同時(shí)落在：，和'，軸上，正方形邊「?'與''同時(shí)落在?軸上，若正方形的邊長(zhǎng)為；，則正方形：3”的邊長(zhǎng)為.如圖4,已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)經(jīng)過點(diǎn)A(2,0),B(6,0),交y軸于點(diǎn)C,且S^ABC=16.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；(3)若正方形DEFG內(nèi)接于拋物線和x軸(邊FG在x軸上，點(diǎn)D，E分別在拋物線上)，求S正方形FG.如圖1：矩形OABC的頂點(diǎn)A、B在拋物線：=.…-二上，OC在上'軸上，且Q二=3,。。=:.(1)求拋物線的解析式及拋物線的對(duì)稱軸.(2)如圖2,邊長(zhǎng)為二的正方形ABCD的邊CD在軸上，A、B兩點(diǎn)在拋物線上，請(qǐng)用含二的代數(shù)式表示點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求出正方形邊長(zhǎng)二的值.圖1 圖2.如圖，正方形OABC的邊長(zhǎng)為4,對(duì)角線相交于點(diǎn)P,頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，拋物線L經(jīng)過O、P、A三點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn).(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2)求拋物線L的解析式.(3)求4OAE與^OCE的面積之和的最大值..如圖1,在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0,2)、點(diǎn)B(-2,0),過點(diǎn)B和線段OA的中點(diǎn)C作直線BC,以線段BC為邊向上作正方形BCDE.(1)填空：點(diǎn)D的坐標(biāo)為( )，點(diǎn)E的坐標(biāo)為( ).(2)若拋物線y=ax2+bx+c(a中0)經(jīng)過A、D、E三點(diǎn)，求該拋物線的解析式.(3)若正方形和拋物線均以每秒《5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線BC同時(shí)向上平移，直至正方形的頂點(diǎn)E落在y軸上時(shí)，正方形和拋物線均停止運(yùn)動(dòng).①在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為s,求s關(guān)于平移時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍.②運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).1.如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,6),點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E,連接BD.(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NFBA=NBDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P是x軸上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，以PB為邊作正方形PBFG,隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨著改變，當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)..如圖，拋物線y=ax2+bx(a于0過點(diǎn)E(10,0),矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，點(diǎn)C,D在拋物線上.設(shè)A(t,0),當(dāng)t=2時(shí)，AD=4.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.(2)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng)，向右平移拋物線.當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G,H,且直線GH平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離..如圖，四邊形ABCO為矩形，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,1）,將此矩形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得矩形DEFO,拋物線y=-x2+bx+c過B、E兩點(diǎn).（1）求此拋物線的函數(shù)解析式.（2）將矩形DEFO向右平移，當(dāng)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E’在拋物線上時(shí)，求線段DF掃過的面積.（3）若將矩形ABCO向上平移d個(gè)單位長(zhǎng)度后，能使此拋物線的頂點(diǎn)在此矩形的邊上，求d的值..如圖1,平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)二，OC=8,若拋物線』=一平移后經(jīng)過C,D兩點(diǎn)，得到iJf圖1中的拋物線W.(1)求拋物線W的表達(dá)式及拋物線W與?軸另一個(gè)交點(diǎn)J的坐標(biāo)；(2)如圖2,以O(shè)A,OC為邊作矩形OABC,連結(jié)OB,若矩形OABC從O點(diǎn)出發(fā)沿射線OB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位得到矩形。皿牙「，求當(dāng)點(diǎn):'?'落在拋物線W上時(shí)矩形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；2(3)在(2)的條件下，如圖3,矩形從O點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)P從1出發(fā)沿矩形的邊上三-三匚以每秒’個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)：時(shí)，矩形和點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為:秒.①請(qǐng)用含;的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；②已知：點(diǎn)P在邊「「上運(yùn)動(dòng)時(shí)所經(jīng)過的路徑是一條線段，求點(diǎn)P在邊I，：上運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)D到CP的距離最大.圖1圖2圖1圖2圖?備用圖.如圖，將矩形OABC置于平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(2<3,0),C(0,2).(1)拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B、C,求該拋物線的解析式；(2)將矩形OABC繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a(0°<a<90°),在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)矩形的頂點(diǎn)落在(1)中的拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求此時(shí)這個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖(2),將矩形OABC繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度0(0°<0<180°),將得到矩形OA'B'C',設(shè)AC的中點(diǎn)為點(diǎn)E,連接CE,當(dāng)0=時(shí)，線段CE的長(zhǎng)度最大，最大值為..如圖，矩形的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(10,8),沿直線OD折疊矩形，使點(diǎn)A正好落在BC上的E處，E點(diǎn)坐標(biāo)為(6,8),拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、A、E三點(diǎn).(1)求此拋物線的解析式；(2)求AD的長(zhǎng)；(3)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)APAD的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).15.如圖，拋物線■?與?軸交于工?兩點(diǎn)（點(diǎn)」在■軸的正半軸上），與軸交于點(diǎn)"矩形:,U的一條邊切在線段上，頂點(diǎn)「■;分別在線段用，k.上.I求點(diǎn)I，"的坐標(biāo)；「若點(diǎn)■’?的坐標(biāo)為：一「矩形:?的面積為'，求、關(guān)于，”的函數(shù)表達(dá)式，并指出小的取值范圍；1當(dāng)矩形：.?的面積、取最大值時(shí)，①求直線切的解析式；②在射線切上取一點(diǎn)『使:3：，；『，若點(diǎn)儲(chǔ)恰好落在該拋物線上，則''.16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（0,-,：：）、（2,二二，0）,將矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到矩形OA,B'C',邊A'B'與y軸交于點(diǎn)D,經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A,、C.（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）寫出點(diǎn)B,的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P是邊OC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ±OC,,交拋物線位于y軸右側(cè)部分于點(diǎn)Q,連接OQ、DQ,設(shè)AODQ的面積為S,當(dāng)直線PQ將矩形OA'B'C'的面積分為1：3的兩部分時(shí)，求S的值；（4）保持矩形OA,B'C'不動(dòng)，將矩形OABC沿射線CO方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，設(shè)平移時(shí)間為t秒（t>0）.當(dāng)矩形OABC與矩形OA'B'C,重疊部分圖形為軸對(duì)稱多邊形時(shí)，直接寫出t的取值范圍..在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是拋物線y=x2在第二象限上的點(diǎn)，連接OA,過點(diǎn)O作OBLOA,交拋物線(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為時(shí)，矩形AOBC是正方形;1(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 時(shí),①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；②將拋物線y=X2作關(guān)于x軸的軸對(duì)稱變換得到拋物線y=一X2,試判斷拋物線y=-X2經(jīng)過平移交換后,能否經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)？如果可以，說出變換的過程；如果不可以，請(qǐng)說明理由.1 7.如圖，已知拋物線:二；「■?'-與直線.交于點(diǎn)?"，I--I求拋物線的解析式..:點(diǎn)，?是拋物線上■'?'、I之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn):?分別作?軸、痛由的平行線與直線■?二交于點(diǎn)?.、；，以：、四為邊構(gòu)造矩形，'：