《金新學(xué)案》高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 12.2總體分布的估計、總體期望值和方差的估 文 大綱人教

第2課時總體分布的估計、總體期望值和方差的估計1．總體分布的估計(1)總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布．(2)頻率分布直方圖：①頻數(shù)和頻率：頻數(shù)是指在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的

；頻率是指每小組的

與

的比值．②當(dāng)總體中的個體取不同數(shù)值數(shù)量很少時，其頻率分布表由所取的樣本不同數(shù)值及相應(yīng)的頻率表示．③當(dāng)總體中的個體取不同數(shù)值較多時，用頻率分布

來表示相應(yīng)樣本的頻率分布．④頻率分布直方圖中各小長方形的面積

相應(yīng)各組的頻率，它以圖形面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組的頻率的大?。畟€數(shù)頻數(shù)樣本容量直方圖等于2．總體期望值和方差的估計(1)總體期望值的估計對于一個總體的期望值μ，可用樣本期望值(平均數(shù))1．一個容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.375，則該組樣本的頻數(shù)為(

)A．4

B．8C．12D．16解析：

∵頻率＝∴頻數(shù)＝頻率×容量＝0.375×32＝12.答案：C2．甲、乙兩位同學(xué)參加了由學(xué)校舉辦的籃球比賽，它們都參加了全部的7場比賽，平均得分均為16分，標(biāo)準(zhǔn)差分別為5.09和3.72，則甲、乙兩同學(xué)在這次籃球比賽活動中，發(fā)揮得更穩(wěn)定的是(

)A．甲B．乙C．甲、乙相同D．不能確定解析：平均數(shù)相同，看誰的標(biāo)準(zhǔn)差小，標(biāo)準(zhǔn)差小的就穩(wěn)定．答案：

B3．已知一個樣本中的數(shù)據(jù)為1,2,3,4,5，則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為(

)答案：

B4．一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組別與頻數(shù)如下：則樣本在(20,50]上的頻率為________．答案：

0.65．(2009·湖北卷)樣本容量為200的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計，樣本數(shù)據(jù)落在[6,10)內(nèi)的頻數(shù)為________，數(shù)據(jù)落在[2,10)內(nèi)的概率約為________．解析：由于組距為4，因此在[6,10)之間的頻率為0.08×4＝0.32.其頻數(shù)為0.32×200＝64.落在[2,10)之間的概率為(0.02＋0.08)×4＝0.4.答案：

64

0.4頻率分布直方圖是從各個小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度，來表示數(shù)據(jù)的分布的規(guī)律．圖中各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，它直觀反映了數(shù)據(jù)落在各個小組的頻率的大?。?2010·湖北卷)為了了解一個小水庫中養(yǎng)殖的魚的有關(guān)情況，從這個水庫中多個不同位置捕撈出100條魚，稱得每條魚的質(zhì)量(單位：kg)，并將所得數(shù)據(jù)分組，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)．(1)下面的表格中填寫相應(yīng)的頻率：分組頻率[1.00,1.05)[1.05,1.10)[1.10,1.15)[1.15,1.20)[1.20,1.25)[1.25,1.30)(2)估計數(shù)據(jù)落在[1.15,1.30)中的概率為多少；(3)將上面捕撈的100條魚分別作一記號后再放回水庫，幾天后再從水庫的多處不同位置捕撈出120條魚，其中帶有記號的魚有6條．請根據(jù)這一情況來估計該水庫中魚的總條數(shù)．解析：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，頻率＝組距×(頻率/組距)，故可得下表：分組頻率[1.00,1.05)0.05[1.05,1.10)0.20[1.10,1.15)0.28[1.15,1.20)0.30[1.20,1.25)0.15[1.25,1.30)0.02(2)0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以數(shù)據(jù)落在[1.15,1.30)中的概率約為0.47.(3)＝2000，所以水庫中魚的總條數(shù)約為2000.[變式訓(xùn)練]

1.為了了解某校初中畢業(yè)男生的體能狀況，從該校初中畢業(yè)班學(xué)生中抽取若干名男生進行鉛球測試，把所得數(shù)據(jù)(精確到0.1米)進行整理后，分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分(如下圖)，已知從左到右前5個小組的頻率分別為0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第6小組的頻數(shù)是7.(1)請將頻率分布直方圖補充完整；(2)該校參加這次鉛球測試的男生有多少人？(3)若成績在8.0米以上(含8.0米)的為合格，試求這次鉛球測試的成績的合格率．解析：

(1)由頻率分布直方圖的意義知，各小組頻率之和為1，故第6小組的頻率為1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14.易知第6小組與第3小組的頻率相等，故兩個小長方形等高，圖略．(2)由(1)知，第6小組的頻率是0.14，又因為第6小組的頻數(shù)是7，現(xiàn)設(shè)參加這次測試的男生有x人，根據(jù)頻率定義，得＝0.14，即x＝50(人)．(3)由圖可知，第4、5、6小組成績在8.0米以上，其頻率之和為0.28＋0.30＋0.14＝0.72.故合格率為72%.平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，當(dāng)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同或相近時，用方差或標(biāo)準(zhǔn)差比較它們的波動大小．樣本方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，樣本數(shù)據(jù)的波動越大，穩(wěn)定性越差；反之，樣本數(shù)據(jù)波動越小，穩(wěn)定性越好．

甲乙兩人參加某體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖．(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；(2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價．解析：

(1)由圖可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分．[變式訓(xùn)練]

2.從甲、乙兩種玉米苗中各抽10株，分別測得它們的株高如下：(單位：cm)甲：25

41

40

37

22

14

19

39

21

42乙：27

16

44

27

44

16

40

40

16

40問：(1)哪種玉米的苗長得高？(2)哪種玉米的苗長得齊？1．總體分布反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率，利用樣本的頻率分布可以近似估計總體的分布，利用樣本在某一范圍內(nèi)的頻率可近似地估計總體在這一范圍內(nèi)的概率(一般樣本容量越大，這一估計就越精確)．2．頻率分布表在數(shù)量上表示比較確切，但不夠直觀、形象、分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢不太方便．而頻率分布直方圖能很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式．對近三年高考試題的統(tǒng)計分析，有以下的命題規(guī)律：1．考查熱點：利用樣本分布估計總體分布．2．考查形式：選擇題或填空題為主．3．考查角度：一是對總體分布的估計的考查，主要掌握頻率分布直方圖的應(yīng)用．二是對總體期望與方差的估計的考查．4．命題趨勢：求樣本數(shù)據(jù)落在某區(qū)間的頻率或由頻率計算樣本個體的個數(shù)以及期望值和方差的計算．(12分)(2010·安徽卷)某市2010年4月1日～4月30日對空氣污染指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如下(主要污染物為可吸入顆粒物)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91，77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.(1)完成頻率分布表；(2)作出頻率分布直方圖；(3)根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)，污染指數(shù)在0～50之間時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；在51～100之間時，為良；在101～150之間時，為輕微污染；在151～200之間時，為輕度污染．請你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標(biāo)準(zhǔn)，對該市的空氣質(zhì)量給出一個簡短評價．規(guī)范解答：

(1)頻率分布表：4分(2)頻率分布直方圖如圖所示：8分[閱后報告]本題考生易出現(xiàn)的問題是作圖不規(guī)范．1．(2010·山東卷)在某項體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分?jǐn)?shù)如下：

90

89

90

95

93

94

93去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為(

)A．92,2

B．92,2.8C．93,2D．93,2.8答案：

B2．(2010·北京卷)從某小學(xué)隨機抽取100名同學(xué)，將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)．由圖中數(shù)據(jù)可知a＝______.若要從身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為____________________________________________________________．