專題06 圓錐曲線中的軌跡問題-2020高考數(shù)學(xué)尖子生輔導(dǎo)專題

專題六圓錐曲線中的軌跡問題軌跡是動點(diǎn)按照一定的規(guī)律即軌跡條件運(yùn)動而形成的，這個軌跡條件一旦用動點(diǎn)坐標(biāo)的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來，軌跡方程就產(chǎn)生了．根據(jù)動點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律求出動點(diǎn)的軌跡方程，這是高考的?？键c(diǎn)：一方面，求軌跡方程的實(shí)質(zhì)是將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，將“曲線”轉(zhuǎn)化為“方程”，通過對方程的研究來認(rèn)識曲線的性質(zhì)；另一方面，求軌跡方程培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程的思想以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想．模塊1整理方法提升能力曲線軌跡方程的探求有兩種題型，第一種題型是曲線類型已知，該題型常用的方法是找條件或用待定系數(shù)法，難度不大；第二種題型是曲線類型未知，該題型常用的方法有以下3種：1．定義法：如果所給的幾何條件能夠符合一些常見定義（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義），則可從定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，這種方法叫做定義法．2．直接法：如果動點(diǎn)運(yùn)動的條件有明顯的等量關(guān)系，或者是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，易于表達(dá)成含未知數(shù)x、y的等式，從而得到軌跡方程，這種方法叫做直接法．3．參數(shù)法：求解軌跡方程有時很難直接找到動點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參數(shù)），使x、y之間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做參數(shù)法.一般來說，引進(jìn)了N個未知數(shù)與參數(shù)，要得到未知數(shù)x與y之間的關(guān)系，需要找N-1個方程.常見的消參手法是：加、減、乘、除、平方、平方相加、平方相減以及整體消參等．相關(guān)點(diǎn)代入法、交軌法是參數(shù)法的一種特殊情況．已知點(diǎn)P（2,2），圓C:x2+y2-8y=0，過點(diǎn)P的動直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求M的軌跡方程；（2）當(dāng)\OP\=|OM|時，求l的方程及厶POM的面積.【解析】（1）法1（定義法）：圓心C（0,4），由垂徑定理可知CM丄PM，于是點(diǎn)M在以CP為直徑的圓上，所以M的軌跡方程為x（x-2）+（y-4）（y-2）=0，即uuuuruuuuruuuur法2(直接法)：設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),由CM丄PM可得CM-PM=0.CM=(x,yuuuuruuuuruuuur法2(直接法)：設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),由CM丄PM可得CM-PM=0.CM=(x,y-4),PM=(x-2,y-2)，于是x(x-2)+(y-4)(y-2)=0即(x-1)2+(y-3)2=2.法3(參數(shù)法)：當(dāng)l的斜率不存在時，其直線方程為x=2，于是y2-8y+4=0，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4)當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)直線方程為y-2=k(x-2)，M(x,y).聯(lián)立<y-2=k(x-2)消去x2+y2-8y=0y可得(k2+1)x2-4(k2+k)x+(4k2+8k-12)=0，于是x=，將k=-_-k2+1x-2代入，2消去參數(shù)k，可得x=-/、<x-2丿」，整理可得(x—1)2+(y—3)2=2(x豐2).+1綜上所述，M的軌跡方程為(x-1)2+(y-3)2=2.(2)法1：由OP=|OM|可知點(diǎn)M在以原點(diǎn)為圓心，|OP|為半徑的圓上.聯(lián)立(x-1)2+(y-3)2=2x2+y2=8解得14y=丁于是點(diǎn)M的坐標(biāo)為214、5'了丿于是直線l的方程為y-2=<2)2/14Y+2-15J5丿1_x216△POM的面積為法2：由OP=|OM|可知點(diǎn)O在PM的垂直平分線上，而PM的垂直平分線過圓心(1,3),所以直線l的斜率為-3，直線方程為y-2=-1(x-2)，即x+3y-8=0.因?yàn)閨0P|=2^2，點(diǎn)O到直線l的距離為d=出嚴(yán)，所以|PM|=2jOP|2-d2=半0，于是△POM的面積為TOC\o"1-5"\h\z4価4.1016—xx=—.555【點(diǎn)評】解析幾何中兩直線垂直的常見轉(zhuǎn)化有以下4種：點(diǎn)在圓上，向量數(shù)量積為0,斜率乘積為-1,勾股定理?用“點(diǎn)在圓上”的角度能從定義法出發(fā)直接得到軌跡方程；用“向量數(shù)量積為0”的角度能避開分類討論.求軌跡方程時，先考慮定義法，看是否滿足某種曲線的定義，再考慮直接法，看能否得到一個幾何條件，進(jìn)而將該幾何條件代數(shù)化再化簡，最后再考慮參數(shù)法，引進(jìn)參數(shù)解決問題.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C上的點(diǎn)均在圓C:(x-5)2+y2=9外，且對C上任意一121點(diǎn)M，M到直線x=-2的距離等于該點(diǎn)與圓C上點(diǎn)的距離的最小值.2求曲線C的方程；1設(shè)P(x,y)(y北±3)為圓C外一點(diǎn)，過P作圓C的兩條切線，分別與曲線C相000221交于點(diǎn)A、B和C、D.證明：當(dāng)P在直線x=—4上運(yùn)動時，四點(diǎn)A、B、C、D的縱坐標(biāo)之積為定值.【解析】(1)法1：由題設(shè)知，曲線C上任意一點(diǎn)M到圓C的圓心(5,0)的距離等于它12到直線x=-5的距離，因此，曲線C是以(5,0)為焦點(diǎn)，直線x=-5為準(zhǔn)線的拋物線，所以方1程為y2=20x.法2：設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y)，由已知得|x+2|=Q(x-5)2+y2-3，且點(diǎn)M位于直線x=-2的右側(cè)，于是x+2〉0，所以p(x-5)2+y2=x+5，化簡得曲線q的方程為y2=20x.【證明】(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線x=-4上運(yùn)動時，設(shè)P的坐標(biāo)為(-4,y)，又y北±3，則過P00且與圓C相切的直線的斜率k存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個交點(diǎn)，切線方程為2y—y=k(x+4)，即kx-y+y+4k=0.于是"=3，整理得00<k2+172k2+18yk+y2-9=0…①.設(shè)過P所作的兩條切線PA、PC的斜率分別為k、k，則k、00121k是方程①的兩個實(shí)根，所以k+k=-0=-厶…②.212724[kx一y+y+4k=0k由'=20x01可得茹y2-y+y°+4k1=0…③?設(shè)四點(diǎn)A、B、C、D的縱坐標(biāo)分別為y、y、y、y，則y、y是方程③的兩個實(shí)根，所以y-y=初"兒丿12341212k1口詢「知20(y+4k)〒曰400(y+4k)(y+4k)同理可得y-y=02?于是yyyy=0+02=34k1234kk212

400「y2+4(k+k)400「y2+4(k+k)y+16kkLn12012-kk12kk12o0J=6400.所以當(dāng)P在直線x=—4kk12動時，四點(diǎn)A、B、C、D的縱坐標(biāo)之積為定值6400.【點(diǎn)評】定義法和直接法非常相似，其出發(fā)點(diǎn)都是找?guī)缀螚l件，其區(qū)別在于對所找的幾何條件的理解.如果能發(fā)現(xiàn)所找的幾何條件是滿足某種曲線的定義的，則可以根據(jù)曲線的定義馬上得到所求的軌跡方程，這就是定義法?如果所找的幾何條件究竟?jié)M足哪種定義不太明顯，則可以利用直接法，把所找的幾何條件代數(shù)化，再把代數(shù)化后的式子化簡到最簡.第()問的定值證明需要引進(jìn)參數(shù)，而引進(jìn)多少個參數(shù)是因題而異的，一般是從點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方程這兩個角度引進(jìn)參數(shù)?本題總共引進(jìn)了六個參數(shù)：k、k、y、y、y、y,其準(zhǔn)則121234是所引進(jìn)的參數(shù)都能幫助解題，且最終都能將其消去，這是解析幾何中“設(shè)而不求”的重要思想方法已知拋物線C思想方法已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l、l分別交C于A、B兩12點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P、Q兩點(diǎn).若F在線段AB上,R是PQ的中點(diǎn)，證明：AR〃FQ；若厶PQF的面積是厶ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程.【證明】(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(丄,0].不妨設(shè)直線l:y=a，直線l11、11、11\則有A-,1，R—三,0，QL丿L2丿L2丿于是12丿12于是11)11)11a+b)P—,a，Q——,b，于是RI2丿I2丿I2'2丿字bb當(dāng)線段AB垂直于x軸時，不妨設(shè)a〉b，k=1，k=1，所以AR〃FQ.FQAR當(dāng)線段AB不垂直于x軸時，直線AB的斜率為k="—匕二丄，方程為a2b2a+ba2x2丿a2x2丿a-bFQ==-b,kARa21=-b，所以AR〃FQ.【解析】(2)4a-bFQ==-b,kARa21=-b，所以AR〃FQ.【解析】(2)4PQF的面積為\a-b|2I2丿的面積為丄x-+竺|a—b|.由_—=丄+竺|a—b|，可得|ab+1|=1，于是ab=0（舍去）222222或ab=-2…①.設(shè)AB中點(diǎn)為M(x，y)，則x=?！?，y=寧…③?③式平方，可得a2+b2+2aby2=—4—，將①②代入，可得y2=x一平方、平方相加、平方相減以及整體消參等手法進(jìn)行消參?這是參數(shù)法的關(guān)鍵所在.拋物線焦點(diǎn)弦有兩個常用結(jié)論：設(shè)AB平方、平方相加、平方相減以及整體消參等手法進(jìn)行消參?這是參數(shù)法的關(guān)鍵所在.拋物線焦點(diǎn)弦有兩個常用結(jié)論：設(shè)AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x,y)，B(x,y)，則有(1)xx=—，yy=—p2；(2)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相12212412切.【點(diǎn)評】本題采用了參數(shù)法求AB中點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)是引進(jìn)了2個未知數(shù)x、y與2個參數(shù)a、b，此時我們需要找3個方程：x="+b，y=a+b，ab=-2，通過這3個42模塊2練習(xí)鞏整合提升方程消去2個參數(shù)，從而得到x與y之間的關(guān)系?一般來說，引進(jìn)了N個未知數(shù)與參數(shù)，要得到未知數(shù)x與y之間的關(guān)系，一般需要找N-模塊2練習(xí)鞏整合提升練習(xí)1：已知圓M:(x+1)2+y2=1，圓N:(x—1)2+y2=9，動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程；l是與圓P、圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長時，求|ab|.【解析】(1)設(shè)動圓P的半徑為r，則|PM|=r+1,|PN|=3-r，兩式相加，可得|pm|+|pn|=4，所以圓心P是以M、N為焦點(diǎn)，2a=4的橢圓(左頂點(diǎn)除外).a=2，c=1,b=込，所以C的方程為+圧=1(x豐—).43專題六圓錐曲線中的軌跡問題專題六圓錐曲線中的軌跡問題0000000000(2)由(1)可知|PM|=r+1,|PN|=3-r，所以|PM|-|PN|=2r-2<|MN|，于是r<2，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為(2,0)時，等號成立，所以當(dāng)圓P的半徑最長時，圓P的方程為(x-2)2+y2=4.①當(dāng)l的斜率不存在的時候，此時顯然l就是y軸，|AB|=2翻.②當(dāng)1的斜率存在的時候，顯然1的斜率不為0，設(shè)1與x軸交于點(diǎn)Q，則有備=2'-1-x1即Q=■2-x2Q2，由此解得丁-4，且k=±詁^=±子，于是直線方程為y=±+4).y=±+4)，消去y，可得7x2+8x-8=0.由弦長公式，有x2y2—^―=1〔43VA=1I—41+嚴(yán)1lal\14丿\ab\=\1+k2-2v;82-4x7x(-8)18?''7=7練習(xí)2:已知橢圓C:寧+與=1，P(x0,y°)為橢圓C外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線PA、PB，其中A、B為切點(diǎn).(1)當(dāng)點(diǎn)P(x,y)為定點(diǎn)時，求直線AB的方程;00(2)若PA、PB相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.【解析】(1)設(shè)A(x,y)、B(x,y)，則切線PA方程為￥+単=1，點(diǎn)P在切線PA上,112242所以號+號=1…①?同理，切線PB方程為于+堺=1，點(diǎn)P在切線PB上，所以嚴(yán)+嶺=1…②?由①②可得直線AB的方程為子+計(jì)=1，即x0x+2y0y一4=/*)

"ZT(2)①若直線PA、PB的斜率都存在，不妨設(shè)其斜率分別為k、k，則kk=-1.設(shè)1212過點(diǎn)P(x,y)的直線方程為y-y=k(x-x).由<0000y-y=k(x-x)00x2y2消去y可得—^―=1〔42(2k2+1)x2-4k(kx-y)x+2(kx-y)2-2=0.因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以0000A=16k2(kx-y00)2-4(2k2+1)2(kx-y1一21=0，即(4-x2)k2+2xyk-(4-x2)專題六圓錐曲線中的軌跡問題專題六圓錐曲線中的軌跡問題PA、PB與橢圓相切可知q、k2是該方程的兩個實(shí)數(shù)根’所以kik2=4^X2=-錐曲線C內(nèi)的時候，其極線l錐曲線C內(nèi)的時候，其極線l是曲線C過點(diǎn)P的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.特別地：橢圓二+—=1(a〉b〉0),與點(diǎn)P(x,y)對應(yīng)的極線方程為=1.a2b200a2b2雙曲線蘭-蘭=1(a〉0,b〉0),與點(diǎn)P(x,y)對應(yīng)的極線方程為x0x-尋=1.a2b200a2b2拋物線y2=2px(p〉0),與點(diǎn)P(x,y)對應(yīng)的極線方程為yy=p(x+x).0000在橢圓+22=1(a〉b〉0)中，點(diǎn)P(c,0)對應(yīng)的極線方程為x=竺，這就是橢圓的a2b2c右準(zhǔn)線.本題采用整體法進(jìn)行消參方法，這是消參的一種方法.第(2)小問也可以引進(jìn)A(x,y)、1B(x,y)、P(x,y)，共2個未知數(shù)x、y和4個參數(shù)：x、y、x、y,利用以下5個方x2+y2=6?00②若直線PA、PB中有一條斜率不存在，則另一條斜率為0，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為，滿足x，滿足x2+y2=6?00綜上所述，點(diǎn)P的軌跡方程為X2001122程進(jìn)行消參：二+早0=1、厶42001122程進(jìn)行消參：二+早0=1、厶4+字=1、打+耳=1，汶+寫=1、二V=-1.24242424yy12練習(xí)3:如圖，拋物線C:x2=4y和C:x2=-2py(p〉0).12點(diǎn)M(x,y)在拋物線C上，過M作C的切線，切點(diǎn)分別為A、B0021(M為原點(diǎn)O時，A、B重合于O).當(dāng)x=1-*；2時，切線MA的0斜率為?2求p的值；當(dāng)M在C上運(yùn)動時，求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A、B重合于O時，中點(diǎn)為O).2【點(diǎn)評】給定圓錐曲線C和點(diǎn)P(x