山東省濟南市第十一中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山東省濟南市第十一中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)在區(qū)間（1，2）內(nèi)是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C2.右圖給出的是計算的值的一個程序框圖，

其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是(

)A．i＞10

B．i<10

C．i＞20

D．i＞20參考答案：A3.已知集合，，則A∩B=（

）A．{3} B．{1,2}

C．{2,3} D．{1,2,3}參考答案：D由題意，集合，，所以，故選D.4.已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2+sinx，且f（0）=﹣1，數(shù)列{an}是以為公差的等差數(shù)列，若f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，則=（）A．2016 B．2015 C．2014 D．2013參考答案：B【考點】等差數(shù)列的通項公式；導(dǎo)數(shù)的運算．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2+sinx，可設(shè)f（x）=2x﹣cosx+c，利用f（0）=﹣1，可得：f（x）=2x﹣cosx．由數(shù)列{an}是以為公差的等差數(shù)列，可得an=a2+（n﹣2）×．由f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，化簡可得6a2﹣=．利用單調(diào)性可得a2，即可得出．【解答】解：∵函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2+sinx，可設(shè)f（x）=2x﹣cosx+c，∵f（0）=﹣1，∴﹣1+c=﹣1，可得c=0．∴f（x）=2x﹣cosx．∵數(shù)列{an}是以為公差的等差數(shù)列，∴an=a1+（n﹣1）×，∵f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，∴2（a2+a3+a4）﹣（cosa2+cosa3+cosa4）=3π，∴6a2+﹣cosa2﹣﹣=3π，∴6a2﹣=．令g（x）=6x﹣cos﹣，則g′（x）=6+sin在R上單調(diào)遞增，又=0．∴a2=．則==2015．故選：B．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5.已知，是兩條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，下列命題正確的是A.若，，，，則

B.若，，，則C.若，，，則

D.若，，，則

參考答案：B6.函數(shù)的部分圖象大致是

（

）參考答案：C略7.設(shè)復(fù)數(shù)滿足是虛數(shù)單位），則（

）A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：B8.定義在R上的函數(shù)，在上是增函數(shù)，且函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)，且時，有（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，從而關(guān)于對稱。

又在上是增函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，

因為，所以，故選擇A。9.在集合中任取一個偶數(shù)a和一個奇數(shù)b構(gòu)成以原點為起點的向量，從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形，記所有作成的平行四邊形的個數(shù)為n，其中面積等于2的平行四邊形的個數(shù)為m，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B∵以原點為起點的向量有、、、、、共6個，可作平行四邊形的個數(shù)個，結(jié)合圖形進行計算，其中由、、確定的平行四邊形面積為2，共有3個，則，選B．10.若復(fù)數(shù)滿足,則的值等于(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C

解析：，二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.集合A={1，3，a2}，集合B={a+1，a+2}，若B∪A=A，則實數(shù)a=

．參考答案：2【考點】18：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【分析】根據(jù)并集的意義，由A∪B=A得到集合B中的元素都屬于集合A，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值．【解答】解：由A∪B=A，得到B?A，∵A={1，3，a2}，集合B={a+1，a+2}，∴a+1=1，a+2=a2，或a+1=a2，a+2=1，或a+1=3，a+2=a2，或a+1=a2，a+2=3，解得：a=2．故答案為2．【點評】此題考查了并集的意義，以及集合中元素的特點．集合中元素有三個特點，即確定性，互異性，無序性．學(xué)生做題時注意利用元素的特點判斷得到滿足題意的a的值．12.已知、滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為7,則的最小值為

。參考答案：7知識點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；簡單線性規(guī)劃．解析：解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，

得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）

設(shè)，將直線：進行平移，并觀察直線在x軸上的截距變化，可得當(dāng)經(jīng)過點B時，目標(biāo)函數(shù)z達到最大值,即．

因此，，

∵，可得，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值為7．故答案為：7思路點撥：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，利用直線平移法求出當(dāng)x=3且y=4時，取得最大值為7，即．再利用整體代換法，根據(jù)基本不等式加以計算，可得當(dāng)時的最小值為7．13.已知函數(shù)，若?x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2），則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，2）∪（3，5）【考點】函數(shù)恒成立問題．【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合?x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2），即可求得實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由題意，或∴a＜2或3＜a＜5故答案為：（﹣∞，2）∪（3，5）．【點評】本題考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線y=2a與函數(shù)y=|x﹣a|﹣1的圖象只有一個交點，則a的值為

．參考答案：【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由已知直線y=2a與函數(shù)y=|x﹣a|﹣1的圖象特點分析一個交點時，兩個圖象的位置，確定a．【解答】解：由已知直線y=2a是平行于x軸的直線，函數(shù)y=|x﹣a|﹣1的圖象是折線，所以直線y=2a過折線頂點時滿足題意，所以2a=﹣1，解得a=﹣；故答案為：．【點評】本題考查了函數(shù)的圖象；考查利用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)．15.函數(shù)y=loga（x+3）﹣1（a≠1，a＞0）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，則+的最小值為

．參考答案：8【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)先求出A的坐標(biāo)，代入直線方程可得m、n的關(guān)系，再利用1的代換結(jié)合均值不等式求解即可．【解答】解：∵x=﹣2時，y=loga1﹣1=﹣1，∴函數(shù)y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵點A在直線mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵m＞0，n＞0，∴+=（+）（2m+n）=2+++2≥4+2?=8，當(dāng)且僅當(dāng)m=，n=時取等號．故答案為：816.已知變量x，y滿足條件，若z=y﹣x的最小值為﹣3，則z=y﹣x的最大值為

．參考答案：考點：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，先求出m的值，然后通過平移即可求z的最大值．解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．由z=y﹣x得y=x+z，平移直線y=x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=x+z經(jīng)過點C時，直線y=x+z的截距最小，此時z最小，為﹣3，即z=y﹣x=﹣3，由，解得，即C（2，﹣1），C也在直線x+y=m上，∴m=2﹣1=1，即直線方程為x+y=1，當(dāng)直線y=x+z經(jīng)過點B時，直線y=x+z的截距最大，此時z最大，由，解得，即B（，），此時z=y﹣x=﹣=，故答案為：．點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖象平行求得目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．17.已知點A，B為圓C：x2+y2=4上的任意兩點，且|AB|＞2，若線段AB中點組成的區(qū)域為M，在圓C內(nèi)任取一點，則該點落在區(qū)域M內(nèi)的概率為．參考答案：【考點】CF：幾何概型．【分析】由題意，求出線段AB中點組成的區(qū)域為M為半徑為的同心圓，利用幾何概型的公式得到所求．【解答】解：由題意，線段AB中點組成的區(qū)域M為以原點為圓心，為半徑的圓，由幾何概型的公式得到；故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓過點兩點．（1）求橢圓的方程及離心率；（2）設(shè)為第三象限內(nèi)一點且在橢圓上，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：四邊形的面積為定值．參考答案：（1）由題意得，，所以橢圓的方程為，又,所以離心率．．．．．．．．．．．5分（2）設(shè)，則，又，所以直線的方程為，令，得，從而，直線的方程為．令，得，從而，所以四邊形的面積：

從而四邊形的面積為定值．．．．．．．．．．．．12分19.（本小題滿分12分）已知橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，其離心率，點P為橢圓上的一個動點，△PF1F2面積的最大值為．（I）求橢圓的方程；（II）若A、B、C、D是橢圓上不重合的四個點，AC與BD相交于點F1，，求的取值范圍．參考答案：（I）由題意得，當(dāng)點P是橢圓的上、下頂點時，的面積取最大值……1分此時……2分……3分所以橢圓方程為……4分（II）由（I）得，則的坐標(biāo)為……5分因為,所以①當(dāng)直線AC與BD中有一條直線斜率不存在時，易得

……6分②當(dāng)直線AC斜率時，其方程為，設(shè)則點A、C的坐標(biāo)是方程組的解，…………7分

……8分此時直線BD的方程為…………………9分同理由可得……10分令，則…………11分，

綜上，的取值范圍是…………12分20.如圖所示，該幾何體是由一個直角三棱柱和一個正四棱錐組合而成，，.(1)證明：平面平面；(2)求正四棱錐的高，使得該四棱錐的體積是三棱錐體積的4倍.參考答案：.(1)證明：直三棱柱中，平面，所以：，又，所以：平面，平面，所以：平面平面.(2)到平面的距離.所以：，而：，所以.21.設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)f（x）的極值；（Ⅱ）若不等式f（x）＜0在區(qū)間（0，e2]內(nèi)有解，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（Ⅱ）問題可化為函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e2]的最小值小于0，通過討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）由題意得：f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=，（x＞0），a＞0時，由f′（x）＞0，解得：x＞，由f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故函數(shù)f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增，故函數(shù)f（x）只有極小值，f（x）極小值=f（）=aln+a，無極大值；（Ⅱ）不等式f（x）＜0在區(qū)間（0，e2]內(nèi)有解，問題可化為函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e2]的最小值小于0，（i）a≤0時，f′（x）＜0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e2]內(nèi)為減函數(shù)，故f（x）的最小值是f（e2）=2a+＜0，即a＜﹣；（ii）a＞0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，①若e2≤，即0＜a≤，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e2]內(nèi)為減函數(shù)，由（i）知，f（x）的最小值f（e2）＜0時，a＜﹣與0＜a≤矛盾；②若e2＞，即a＞，則函數(shù)f（x）的最小值是f（）=aln+a，令f（）=aln+a＜0，得a＞e2，綜上，實數(shù)a的范圍是（﹣∞，﹣）∪（e2，+∞）．【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．22.己知.函數(shù)的反函數(shù)是.設(shè)數(shù)列的前n項和為，對任意的正整數(shù)都有成立，且?(I)求數(shù)列的通項公式；

,(II)記，設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：對任意正整數(shù)n都有；(III)設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知正實數(shù)滿足：對任意正整數(shù)n，恒成立,求的最小值參考答案：

（Ⅰ）根據(jù)題意得，，于是由an=得an=5Sn+1，…………1分，當(dāng)時，.又an+1=5sn+1+1數(shù)列成等比數(shù)列，其首項，公比是………2分，

………..3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知

=.............