專題19 平行四邊形、矩形、菱形-拔高題

專題19平行四邊形、矩形、菱形閱讀與思考平行四邊形、矩形、菱形的性質定理與判定定理是從對邊、對角、對角線三個方面探討的，矩形、菱形都是特殊的平行四邊形，矩形的特殊性由一個直角所體現(xiàn)，菱形的特殊性是由鄰邊相等來體現(xiàn)，因此它們除兼有平行四邊形的一般性質外，還有特有的性質；反過來，判定一個四邊形為矩形或菱形，也就需要更多的條件.連對角線后平行四邊形、矩形、菱形就與特殊三角形聯(lián)系在一起，所以討論平行四邊形、矩形、菱形相關問題時，常用到特殊三角形性質、全等三角形法；另一方面，又要善于在四邊形的背景下思考問題，運用平行四邊形、矩形、菱形的豐富性質為解題服務，常常是判定定理與性質定理的綜合運用.熟悉以下基本圖形：例題與求解【例1】如圖，矩形ABCD的對角線相交于O,AE平分ZBAD，交BC于E,/CAE=15。，那么ZBOE=.（“祖沖之杯”邀請賽試題）解題思路：從發(fā)現(xiàn)矩形內含的特殊三角形入手.【例2】下面有四個命題：一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊相等且一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形；一組對角相等且這一組對角的頂點所連結的對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形；一組對角相等且這一組對角的頂點所連結的對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形；其中，正確的命題的個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）解題思路：從四邊形邊、角、對角線三類元素任意選取兩類，任意組合就產生許多判定平行四邊形的命題，關鍵在于對假命題能突破正規(guī)的、標準位置的圖形構造反例否定.【例3】如圖，菱形ABCD的邊長為2,BD=2,E,F分別是邊AD,CD上的兩個動點且滿足AE+CF=2.判斷ABEF的形狀，并說明理由；設NBEF的面積為S,求S的取值范圍.D(煙臺中考試題)解題思路：對于(1)由數(shù)量關系發(fā)現(xiàn)圖形特征；對于(2),只需求出BE的取值范圍.【例4】如圖，設P為等腰直角三角形ACB斜邊AB上任意一點，PE丄AC于點E,PF丄BC于點F,PG丄EF于點G,延長GP并在春延長線上取一點D,使得PD=PC.求證：BC丄BD,BC=BD.B(B(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)解題思路：只需證明厶CPB^^DPB，關鍵是利用特殊三角形、特殊四邊形的性質.【例5】在口ABCD中,ZBAD的平分線交直線BC于點E,交直線DC的延長線于點F.

FDCFF（1）（2）（3）的度數(shù).在圖FDCFF（1）（2）（3）的度數(shù).（如圖2）,直接寫出ZBDG的度數(shù);若ZABC=90°（如圖2）,直接寫出ZBDG的度數(shù);若ZABC=120°,FG〃CE,FG=CE,分別連結DB,DG（如圖3）,求ZBDG（北京市中考試題）解題思路：對于（1），由角平分線加平行線的條件可推出圖中有3個等腰三角形；對于（2）,用測量的方法可得ZBDG=45°,進而想到等腰直角三角形，連CG,BD,只需證明厶BGC^ADGF，這對解決（3）,有不同的解題思路.對于（3）【例6】如圖，△ABC中，ZC=90。，點M在BC上，且BM=AC,點N在AC上，且AN=MC,AM與BN相交于點P.（浙江省競賽試題）求證：ZBPM=（浙江省競賽試題）解題思路：條件給出的是線段的等量關系，求證的卻是角度等式，由于條件中有直角和相等的線段，因此，可想到等腰直角三角形，解題的關鍵是平移AN或AC,即作ME丄AN,ME=AN,構造平行四邊形.能力訓練A級如圖，□ABCD中，BE丄CD,BF丄AD,垂足分別為E、F,若CE=2,DF=1,ZEBF=60°,則dABCD的面積為.

第1題如圖，□ABCD的對角線相交于點O,且AD^CD，過點O作OM丄AC,交AD于點TOC\o"1-5"\h\zM,若ACDM周長為a那么□ABCD的周長為.第2題（浙江省中考試題）3.如圖，在RtAABC中，ZB=90°,ZBAC=78。，過C作CF〃AB,連結AF與BC相交于G,若GF=2AC,則ZBAG的大小是.BA（“希望杯”競賽試題）如圖,在菱形ABCD中,ZB=ZEAF=60°,ZBAE=20°,則ZCEF的大小是.C第4題（“希望杯”邀請賽試題）四邊形的四條邊長分別是ab,c,d其中ac為對邊，且滿足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，則這個四邊形一定是（）A.兩組角分別相等的四邊形B.平行四邊形C.對角線互相垂直的四邊形D.對角線相等的四邊形

現(xiàn)有以下四個命題：①對角線相等的四邊形是矩形；②對角線互相垂直的四邊形是菱形；③有一個角為直角且對角線互相平分的四邊形為矩形；④菱形的對角線的平方和等于邊長的平方的4倍.其中，正確的命題有（）A.①②B.③④C.③D.①②③④7.如圖，在矩形ABCD中，AB=1,AD=,AF平分ZDAB，過點C作CE丄BD于E,延長AF,EC交于點H,下列結論中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED.正確的是（）A.②③B.③④C.①②④D.②③④（齊齊哈爾中考試題）8.如圖，矩形ABCD的長為a,寬為b如果S=S=丄㈡+S），則S=（）122344A.—A.—ab83B.—ab2C.ab3D.ab2（“縉云杯”競賽試題）9.已知四邊形ABCD,現(xiàn)有條件：?AB#DC；?AB=DC；@AD#BC；?AD=BC；@ZA=ZC；@ZB=ZD.從中取兩個條件加以組合，能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有哪幾種情形？請具體寫出這些組合.（江蘇省競賽試題）10.如圖，△ABC為等邊三角形，D、F分別是BC、AB上的點，且CD=BF,以AD為邊作等邊AADE.

（1）求證：△ACD^^CBF；（2）當D在線段BC上何處時，四邊形CDEF為平行四邊形，且ZDEF=30°,證明你的結論.（江蘇省南通市中考試題）11.如圖，在RtAABC中，AB=AC,ZA=90°,點D為BC上任一點，DF丄AC于F,DELAC于E，M為BC中點，試判斷AMEF是什么形狀的三角形，并證明你的結論.（河南省中考試題（河南省中考試題）12.如圖，△12.如圖，△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,△ABD，△ACE，△BCF都是等邊三角形，求四邊形AEFD的面積.（山東省競賽試題）B級1.如圖，已知ABCD是平行四邊形，E在AC上,AE=2EC,F在AB上,BF=2AF,如果ABEF的面積為2cm2，則口ABCD的面積是.第1第1題（“希望杯”競賽試題）2.如圖，已知P為矩形ABCD內一點，P4=3,PD=4,PC=5，則PB=C第C第2題（山東省競賽試題）TOC\o"1-5"\h\z如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將矩形折疊，使B點與D點重合,則折痕EF長為.C第C第3題（武漢市競賽試題）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4，將矩形沿AC折疊，使點D落在點D'處,CD'交AB于點F,則重疊部分OAFC的面積為.BB（山東省競賽試題）5.如圖，在矩形ABCD中，已知AD=12,AB=5,P是AD邊上任意一點，PE丄BD于E,PF丄AC于F,那么PE+PF的值為.第5題（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）6.如圖，菱形ABCD的邊長為4cm,且ZABC=60°,E是BC的中點，P點在BD上,則PE+PC的最小值為

（“希望杯”邀請賽試題）TOC\o"1-5"\h\z7.如圖，△ABC的周長為24,M是AB的中點，MC=MA=5,則AABC的面積是（）A.30B.24C.16D.12A（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）8.如圖，□ABCD中，ZABC=75°,AFLBC于F,AF交BD于E,若DE=2AB,貝VZAED的大小是（）A.60°B.65°C.70°D.75°第8題9.如圖，已知ZA=ZB,AA,PP,BB均垂直于AB,AA=17,PP=16,BB11111111=20,AB=12，則AP+PB的值為（）11A.15B.14C.13D.12

t?t?第9題(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)10.如圖1,△ABC是直角三角形，ZC=90。，現(xiàn)將△ABC補成矩形，使△ABC的兩個頂點為矩形一邊的兩個端點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，那么符合要求的矩形可畫出兩個：矩形ACBD和矩形AEFB(如圖2).圖1A圖3圖1A圖3解答問題：設圖2中矩形ACBD和矩形AEFB的面積分別為S,S，則SS(填“〉”、1212“=”或“V”).如圖3,△ABC是鈍角三角形，按短文中的要求把它補成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出個，利用圖3畫出來.如圖4，△ABC是銳角三角形且三邊滿足BC>AC>AB，按短文中的要求把它補成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出個，利用圖4畫出來.在(3)中所畫出的矩形中，哪一個的周長最小？為什么？圖4(陜西中考試題)11.四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，ZBAD=120°，M為BC上一點，N為CD上一點.求證：若AAMN有一個內角等于60°，則AAMN為等邊三角形.12.如圖，六邊形ABCDEF中，AB〃DE,BC//EF,CD〃AF,對邊之差BC~EF=ED—AB=AF—CD>0.求證：該六邊形的各角相等.（全俄數(shù)學奧林匹克試題）專題19平行四邊形、矩形、菱形例175°例2A只有命題③正確.例3(L)Z\BEF為正三角形捉示'由/VLBD和△BCD為止三角形?可證明△BDEi2Z\BCF,得:BE=BF,/DBE=ZCBF.???ZDBC-ZCBF+ZDBF=/DBE〒/DEE-60S即ZEBF=60°,故為等邊三角形.(2)設BE-BF:EF=z?則可得，S=亨分.當BE丄.AD時小有放小值為71??亠=作")—沁?當BE與AB垂合時*址大值為2.???S“=亨X203???孑廉陶！例4提示：PC-EF-PD?ZCPjB=45°+ZPFC=4M一ZEPG=/GPA=ZBPDt0J證明ACPB例5(1〉路(2〉45°(3>60°如圖，延長八B至H?使AH=AD?連DH?BOAAHD是等邊三角形.???AH—/WDF.ABHGF.乂乙BHD=ZGFD：：6(T?DH-DF,ZGDF.???ZBIX；=ZADC-ZADB一/GDF一Z八％、（/ADB十Z"DH）=120?-（50°=62例6如圖?過M作MEgAN.連NE,BE,則四邊形AMEN為平行四邊形，得NE-AM.ME丄BC???ME=CM,/EMB“Q4CA=90\BM-AC.???△BEMtAAMC■得”e=AM=N￡\Z1=Z2?Z3=Z4?VZHZ3=&0°????Z2+Z4=90°且BE-NE.???△BEN為等懐百角三角形?ZiiWE=4畀???AM〃NE,???/切心"、疋=4亍?A級12732.2a25e捉示「作FG邊上中線?連結EC則EFEC=AC.4-20"捉示：連結AC?則△AFCS4AEB,Z\AEF為等邊三角形.5.C6?B7.DA提示：E、F分別為Ali.BC中點.9?從6個條件中任取2個，只有15種組合?英中能乖岀四邊形力BCQ是平行四邊彭的冇以下9種惰形:①與③孑②與④I⑤與?①與②;③與④;①與⑤;①與⑥焜與⑤『③與⑥.10?撫示，<2）當D為BC中點時，満足題氐提示：連AM■證明△AMF仝△BME.可證△MEF為竽複宜角二角形?6由△ABO^ZxDBDZiABC幻△EfT毎川C=DF^AE.ABEFAD.故四邊形AEFD為平行四邊形?又ZBAC-90\則/LWE=36（T-90°—6『-60°-150=■則z9WFhZAEF=：Q?則F到AI）的比離為2?故S?a?7j=3X2—6.B級L9en?2.3屈捉示：可以證明P.々+PC-PB陽?3.羅cm10稷祐可先ii：AF=CR設AF=CF=a)WjBF8一工，.???工=3???S.=w=*AF?反：=尋><5><4=10?5?罟提示;過A作AG丄UDTG可證/E〒PF=AG?由AG-UD=A13-AD可毎:2^3m提示:九C關于BD對稱?連AE交BD于P.:.PE+PC=AE.又VAE丄BCRZB4E=30S???AE=2、$為最小.B8?B提示，取DE中點為G準結AG.則AG=DG=EG?C10?<1）=?圖略（2）1；圖略（3）3.圖略〈4）以AE為邊的坯瑕戲悅址小，啟囪稅誌訂明.1L訐明：連咼門如圖，則易hEAABC與&LDC都為尊邊三帝旌一“)右/jVWA'=60c.Sli]也沁K.'.-,4M=..A.VrAil\-陽"r?ZVLMW為等辿三角搭一(2>ZAMN=fiG\jdM作C4時