2022年山東省青島市中考數(shù)學(xué)試卷

第20頁(yè)（共20頁(yè)）2022年山東省青島市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．（3分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之推算出π的近似值為，它與π的誤差小于0.0000003．將0.0000003用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（A）A．3×10﹣7 B．0.3×10﹣6 C．3×10﹣6 D．3×1072．（3分）北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)組委會(huì)收到來(lái)自全球的會(huì)徽設(shè)計(jì)方案共4506件，其中很多設(shè)計(jì)方案體現(xiàn)了對(duì)稱之美．以下4幅設(shè)計(jì)方案中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（C）A． B． C． D．3．（3分）計(jì)算（﹣）×的結(jié)果是（B）A． B．1 C． D．34．（3分）如圖①，用一個(gè)平面截長(zhǎng)方體，得到如圖②的幾何體，它在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中被稱為“塹堵”．圖②“塹堵”的俯視圖是（C）A． B． C． D．5．（3分）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M在上，則∠CME的度數(shù)為（D）A．30° B．36° C．45° D．60°6．（3分）如圖，將△ABC先向右平移3個(gè)單位，再繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到△A'B'C'，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（C）A．（2，0） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣3，﹣1）7．（3分）如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，△ACE為等邊三角形．若AB＝2，則OE的長(zhǎng)度為（B）A． B． C． D．8．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣3，0），則下列結(jié)論正確的是（D）A．b＞0 B．c＜0 C．a(chǎn)+b+c＞0 D．3a+c＝0【解答】解：選項(xiàng)A：∵拋物線開口向下，∴a＜0．∵對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∴﹣＝﹣1．∴b＝2a．∴b＜0．故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（x1，0），則拋物線的對(duì)稱軸可表示為x＝（x1﹣3），∴﹣1＝（x1﹣3），解得x1＝1，∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（1，0）和（﹣3，0）．又∵拋物線開口向下，∴拋物線與y軸交于正半軸．∴c＞0．故選項(xiàng)B錯(cuò)誤．選項(xiàng)C：∵拋物線過(guò)點(diǎn)（1，0）．∴a+b+c＝0．故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：∵b＝2a，且a+b+c＝0，∴3a+c＝0．故選項(xiàng)D正確．故選：D．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）9．（3分）﹣的絕對(duì)值是．10．（3分）小明參加“建團(tuán)百年，我為團(tuán)旗添光彩”主題演講比賽，其演講形象、內(nèi)容、效果三項(xiàng)分別是9分、8分、8分．若將三項(xiàng)得分依次按3：4：3的比例確定最終成績(jī)，則小明的最終比賽成績(jī)?yōu)?.3分．11．（3分）為落實(shí)青島市中小學(xué)生“十個(gè)一”行動(dòng)計(jì)劃，學(xué)校舉辦以“強(qiáng)體質(zhì)，煉意志”為主題的體育節(jié)，小亮報(bào)名參加3000米比賽項(xiàng)目，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間訓(xùn)練后，比賽時(shí)小亮的平均速度比訓(xùn)練前提高了25%，少用3分鐘跑完全程，設(shè)小亮訓(xùn)練前的平均速度為x米/分，那么x滿足的分式方程為﹣＝3．12．（3分）圖①是藝術(shù)家埃舍爾的作品，他將數(shù)學(xué)與繪畫完美結(jié)合，在平面上創(chuàng)造出立體效果．圖②是一個(gè)菱形，將圖②截去一個(gè)邊長(zhǎng)為原來(lái)一半的菱形得到圖③，用圖③鑲嵌得到圖④，將圖④著色后，再次鑲嵌便得到圖①，則圖④中∠ABC的度數(shù)是60°．【解答】解：如圖，∵∠BAD＝∠BAE＝∠DAE，∠BAD+∠BAE+∠DAE＝360°，∴∠BAD＝∠BAE＝∠DAE＝120°，∵BC∥AD，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，故答案為：60．13．（3分）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，OA與⊙O交于點(diǎn)C，以點(diǎn)A為圓心、以O(shè)C的長(zhǎng)為半徑作，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若OC＝2，AB＝4，則圖中陰影部分的面積為4﹣π．【解答】解：連接OB，∵AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，∴∠OBA＝90°，∴∠BOA+∠A＝90°，由題意得：OB＝OC＝AE＝AF＝2，∴陰影部分的面積＝△AOB的面積﹣（扇形BOC的面積+扇形EAF的面積）＝AB?OB﹣＝×4×2﹣π＝4﹣π，故答案為：4﹣π．14．（3分）如圖，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，且DE＝4．將∠C沿GM折疊使點(diǎn)C與點(diǎn)E恰好重合．下列結(jié)論正確的有：①④．（填寫序號(hào)）①BD＝8②點(diǎn)E到AC的距離為3③EM＝④EM∥AC【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝8，故①正確；如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，EH⊥AC于點(diǎn)H，∵AD⊥BC，AB＝AC，∴AE平分∠BAC，∴EH＝EF，∵BE是∠ABD的角平分線，∵ED⊥BC，EF⊥AB，∴EF＝ED，∴EH＝ED＝4，故②錯(cuò)誤；由折疊性質(zhì)可得：EM＝MC，DM+MC＝DM+EM＝CD＝8，設(shè)DM＝x，則EM＝8﹣x，Rt△EDM中，EM2＝DM2+DE2，∴（8﹣x）2＝42+x2，解得：x＝3，∴EM＝MC＝5，故③錯(cuò)誤；設(shè)AE＝a，則AD＝AE+ED＝4+a，BD＝8，∴AB2＝（4+a）2+82，∵＝，∴，∴，∴AB＝2a，∴（4+a）2+82＝（2a）2，解得：a＝或a＝﹣4（舍去），∴tanC＝＝，又∵tan∠EMD＝，∴∠C＝∠EMD，∴EM∥AC，故④正確，故答案為：①④．三、作圖題（本大題滿分4分）用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．15．（4分）已知：Rt△ABC，∠B＝90°．求作：點(diǎn)P，使點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部．且PB＝PC，∠PBC＝45°．【解答】解：①先作出線段BC的垂直平分線EF；②再作出∠ABC的角平分線BM，EF與BM的交點(diǎn)為P；則P即為所求作的點(diǎn)．四、解答題（本大題共10小題，共74分）16．（8分）（1）計(jì)算：÷（1+）；（2）解不等式組：【解答】解：（1）原式＝÷＝?＝；（2），解不等式①得：x≤3，解不等式②得：x＞2，∴不等式組的解集為：2＜x≤3．17．（6分）2022年3月23日下午，“天宮課堂”第二課開講，航天員翟志剛、王亞平、葉光富相互配合進(jìn)行授課，激發(fā)了同學(xué)們學(xué)習(xí)航天知識(shí)的熱情．小冰和小雪參加航天知識(shí)競(jìng)賽時(shí)，均獲得了一等獎(jiǎng)，學(xué)校想請(qǐng)一位同學(xué)作為代表分享獲獎(jiǎng)心得．小冰和小雪都想分享，于是兩人決定一起做游戲，誰(shuí)獲勝誰(shuí)分享．游戲規(guī)則如下：甲口袋裝有編號(hào)為1，2的兩個(gè)球，乙口袋裝有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球，兩口袋中的球除編號(hào)外都相同．小冰先從甲口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，小雪再?gòu)囊铱诖须S機(jī)摸出一個(gè)球，若兩球編號(hào)之和為奇數(shù)，則小冰獲勝；若兩球編號(hào)之和為偶數(shù)，則小雪獲勝．請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，說(shuō)明這個(gè)游戲?qū)﹄p方是否公平．【解答】解：所有可能的結(jié)果如下：∴共有10種等可能的結(jié)果，其中兩球編號(hào)之和為奇數(shù)的有5種結(jié)果，兩球編號(hào)之和為偶數(shù)的有5種結(jié)果，∴P（小冰獲勝）＝＝，P（小雪獲勝）＝＝，∵P（小冰獲勝）＝P（小雪獲勝），∴游戲?qū)﹄p方都公平．18．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣3（m為常數(shù)，m＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，4）．（1）求m的值；（2）判斷二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣3的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）將（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，解得m1＝1，m2＝﹣3，又∵m＞0，∴m＝1．（2）∵m＝1，∴y＝x2+x﹣2，∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，∴二次函數(shù)圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)．19．（6分）如圖，AB為東西走向的濱海大道，小宇沿濱海大道參加“低碳生活?綠色出行”健步走公益活動(dòng)，小宇在點(diǎn)A處時(shí)，某艘海上觀光船位于小宇北偏東68°的點(diǎn)C處，觀光船到濱海大道的距離CB為200米．當(dāng)小宇沿濱海大道向東步行200米到達(dá)點(diǎn)E時(shí)，觀光船沿北偏西40°的方向航行至點(diǎn)D處，此時(shí)，觀光船恰好在小宇的正北方向，求觀光船從C處航行到D處的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE于F，由題意得，∠D＝40°，∠ACB＝68°，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∵tan∠ACB＝，∴AB＝CB×tan68°≈200×2.48＝496（m），∴BE＝AB﹣AE＝496﹣200＝296（m），∵∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°，∴四邊形FEBC為矩形，∴CF＝BE＝296m，在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∵sin∠D＝，∴CD≈＝462.5（m），答：觀光船從C處航行到D處的距離約為462.5m．20．（6分）孔子曾說(shuō)：“知之者不如好之者，好之者不如樂(lè)之者”興趣是最好的老師．閱讀、書法、繪畫、手工、烹飪、運(yùn)動(dòng)、音樂(lè)…各種興趣愛好是打開創(chuàng)新之門的金鑰匙．某校為了解學(xué)生興趣愛好情況，組織了問(wèn)卷調(diào)查活動(dòng)，從全校2200名學(xué)生中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，其中一項(xiàng)調(diào)查內(nèi)容是學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛好的時(shí)長(zhǎng)，對(duì)這項(xiàng)調(diào)查結(jié)果使用畫“正”字的方法進(jìn)行初步統(tǒng)計(jì)，得到下表：學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛好時(shí)長(zhǎng)分布統(tǒng)計(jì)表組別時(shí)長(zhǎng)t（單位：h）人數(shù)累計(jì)人數(shù)第一組1≤t＜2正正正正正正30第二組2≤t＜3正正正正正正正正正正正正60第三組3≤t＜4正正正正正正正正正正正正正正70第四組4≤t＜5正正正正正正正正40根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（2）這200名學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛好時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)落在第三組；（3）若將上述調(diào)查結(jié)果繪制成扇形統(tǒng)計(jì)圖，則第二組的學(xué)生人數(shù)占調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比為30%，對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為108°；（4）學(xué)校倡議學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛好時(shí)長(zhǎng)應(yīng)不少于2h，請(qǐng)你估計(jì)，該校學(xué)生中有多少人需要增加自主發(fā)展興趣愛好時(shí)間？【解答】解：（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：（2）這200名學(xué)生每周自主發(fā)展興趣愛好時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)落在第三組，故答案為：三；（3）若將上述調(diào)查結(jié)果繪制成扇形統(tǒng)計(jì)圖，則第二組的學(xué)生人數(shù)占調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比為：；對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為：360°×30%＝108°，故答案為：30%；108；（4）2200×＝330（人），答：估計(jì)該校學(xué)生中有330人需要增加自主發(fā)展興趣愛好時(shí)間．21．（6分）【圖形定義】有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱為等高三角形、例如：如圖①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分別是BC和B'C'邊上的高線，且AD＝A'D'、則△ABC和△A'B'C'是等高三角形．【性質(zhì)探究】如圖①，用S△ABC，S△A'B'C′分別表示△ABC和△A′B′C′的面積，則S△ABC＝BC?AD，S△A'B'C′＝B′C′?A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性質(zhì)應(yīng)用】（1）如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn)．若BD＝3，DC＝4，則S△ABD：S△ADC＝3：4；（2）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，則S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，則S△CDE＝．【解答】解：（1）∵BD＝3，DC＝4，∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，故答案為：3：4；（2）∵BE：AB＝1：2，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，∵S△ABC＝1，∴S△BEC＝；∵CD：BC＝1：3，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；故答案為：，；（3）∵BE：AB＝1：m，∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，∵S△ABC＝a，∴S△BEC＝S△ABC＝；∵CD：BC＝1：n，∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，∴S△CDE＝S△BEC＝?＝，故答案為：．22．（8分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸正半軸相交于點(diǎn)C，與反比例函數(shù)y＝﹣的圖象在第二象限相交于點(diǎn)A（﹣1，m），過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，AD＝CD．（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）已知點(diǎn)E（a，0）滿足CE＝CA，求a的值．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，m）在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，∴﹣m＝﹣2，解得：m＝2，∴A（﹣1，2），∵AD⊥x軸，∴AD＝2，OD＝1，∴CD＝AD＝2，∴OC＝CD﹣OD＝1，∴C（1，0），把點(diǎn)A（﹣1，2），C（1，0）代入y＝kx+b中，，解得，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x+1；（2）在Rt△ADC中，AC＝＝2，∴AC＝CE＝2，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，a＝1﹣2，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，a＝1+2，∴a的值為1±2．23．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．（1）求證：△ABF≌△CDE；（2）連接AE，CF，已知①（從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，填寫序號(hào)），請(qǐng)判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的結(jié)論．條件①：∠ABD＝30°；條件②：AB＝BC．（注：如果選擇條件①條件②分別進(jìn)行解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【解答】（1）證明：∵BE＝FD，∴BE+EF＝FD+EF，∴BF＝DE，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE，在△ABF和△CDE中，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）解：若選擇條件①：四邊形AECF是菱形，理由如下：由（1）得，△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，∴AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵∠BAF＝90°，BE＝EF，∴AE＝，∵∠BAF＝90°，∠ABD＝30°，∴AF＝，∴AE＝AF，∴?AECF是菱形；若選擇條件②：四邊形AECF是菱形，理由如下：連接AC交BD于點(diǎn)O，由①得：△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，∴AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，即EF⊥AC，∴?AECF是菱形．故答案為：①（答案不唯一）．24．（10分）李大爺每天到批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)某種水果進(jìn)行銷售，這種水果每箱10千克，批發(fā)商規(guī)定：整箱購(gòu)買，一箱起售，每人一天購(gòu)買不超過(guò)10箱；當(dāng)購(gòu)買1箱時(shí)，批發(fā)價(jià)為8.2元/千克，每多購(gòu)買1箱，批發(fā)價(jià)每千克降低0.2元．根據(jù)李大爺?shù)匿N售經(jīng)驗(yàn)，這種水果售價(jià)為12元/千克時(shí)，每天可銷售1箱；售價(jià)每千克降低0.5元，每天可多銷售1箱．（1）請(qǐng)求出這種水果批發(fā)價(jià)y（元/千克）與購(gòu)進(jìn)數(shù)量x（箱）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若每天購(gòu)進(jìn)的這種水果需當(dāng)天全部售完，請(qǐng)你計(jì)算，李大爺每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果多少箱，才能使每天所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【解答】解：（1）根據(jù)題意得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4，答：這種水果批發(fā)價(jià)y（元/千克）與購(gòu)進(jìn)數(shù)量x（箱）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣0.2x+8.4；（2）設(shè)李大爺每天所獲利潤(rùn)是w元，由題意得：w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣0.2x+8.4）]×10x＝﹣3x2+41x＝﹣3（x﹣）2+，∵﹣3＜0，x為正整數(shù)，且|6﹣|＞|7﹣|，∴x＝7時(shí)，w取最大值，最大值為﹣3×（7﹣）2+＝140（元），答：李大爺每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果7箱，才能使每天所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)140元．25．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△ADE，連接CD．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)、速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s．PQ交AC于點(diǎn)F，連接CP，EQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜5）．解答