光電信息物理基礎(chǔ)2016年春-3.6電磁場(chǎng)矢勢(shì)與標(biāo)勢(shì)

1電磁波是由運(yùn)動(dòng)電荷輻射出來(lái)的。例如：無(wú)線電波是由發(fā)射天線上的高頻交變電流輻射出來(lái)的。本章研究高頻交變電流輻射電磁波的規(guī)律。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，天線上的電流和它激發(fā)的電磁場(chǎng)是相互作用的。天線電流激發(fā)電磁場(chǎng)，而電磁場(chǎng)又反過(guò)來(lái)作用到天線電流上，影響著天線電流的分布。所以輻射問(wèn)題本質(zhì)上也是一個(gè)邊值問(wèn)題。天線電流和空間電磁場(chǎng)是相互作用的兩方面，需要應(yīng)用天線表面上的邊界條件，同時(shí)確定空間中的電磁波的形式和天線上的電流分布。3.6電磁波的輻射這種問(wèn)題的求解一般比較復(fù)雜。我們僅局限于討論給定天線上電流分布,計(jì)算輻射電磁波。2對(duì)于恒定場(chǎng)：當(dāng)電場(chǎng)和磁場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)都不是保守場(chǎng)。從概念上，描述電磁場(chǎng)的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)與以前講過(guò)的矢勢(shì)、標(biāo)勢(shì)是不同的概念；從物理意義上，描述電磁場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)也失去了“電勢(shì)能”的含義，因而在高頻電路中“電壓”這一概念也失去意義?！祀姶艌?chǎng)的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)3考慮真空中的電磁場(chǎng)，麥克斯韋方程組為其中一、用勢(shì)描述電磁場(chǎng)4因?yàn)?，所以，可以引入矢?shì)A，使A的物理意義：在任意時(shí)刻，A沿任一閉合回路的線積分等于該時(shí)刻通過(guò)回路內(nèi)的磁通量。1.電磁場(chǎng)的矢勢(shì)：從矢勢(shì)A的引入可以看出，電磁場(chǎng)的矢勢(shì)與靜磁場(chǎng)的矢勢(shì)唯一的區(qū)別就在于，電磁場(chǎng)的矢勢(shì)是隨時(shí)間變化的。(1)52.電磁場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)：由于，所以，不可能用一個(gè)單獨(dú)的標(biāo)勢(shì)來(lái)描述E。雖然，但由可得：所以該式表示是無(wú)旋場(chǎng)，可以引入標(biāo)勢(shì)6定義，因此，一般情況下電場(chǎng)的表示式為：(2)實(shí)際上，在變化情況下電場(chǎng)與磁場(chǎng)發(fā)生直接聯(lián)系，則電場(chǎng)的表示式必然包含矢勢(shì)A在內(nèi)。(1)、(2)兩式把電磁場(chǎng)用矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)表示出來(lái)。但應(yīng)注意：(1)變化的電磁場(chǎng)，E不再是保守力場(chǎng)，不存在勢(shì)能的概念，標(biāo)勢(shì)失去作為電場(chǎng)中的勢(shì)能的意義。7(2)變化的電磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)和電場(chǎng)是相互作用著的整體，必須把矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)作為一個(gè)整體來(lái)描述電磁場(chǎng)。因此我們說(shuō)，描述電磁場(chǎng)的勢(shì)有4個(gè)分量。思考：當(dāng)A與時(shí)間無(wú)關(guān)，即?A/?t=0時(shí)，電磁場(chǎng)的特點(diǎn)？當(dāng)A與時(shí)間無(wú)關(guān)，即?A/?t=0時(shí)，這時(shí)就直接歸結(jié)為電勢(shì)。8二、

規(guī)范變換和規(guī)范不變性用矢勢(shì)A和標(biāo)勢(shì)描述電磁場(chǎng)不是唯一的，即給定的E和B并不對(duì)應(yīng)于唯一的A和。1.規(guī)范變換：設(shè)矢勢(shì)A和標(biāo)勢(shì)是描述電磁場(chǎng)的一組勢(shì)，為任意時(shí)空函數(shù)，做變換9有即(A’,’)和(A,)描述同一電磁場(chǎng)，同時(shí)也說(shuō)明描述電磁場(chǎng)的(A,)不唯一。勢(shì)的變換：稱為規(guī)范變換，每一組勢(shì)稱為一種規(guī)范。各種規(guī)范描述同一電磁場(chǎng)E和B，因此如果用勢(shì)來(lái)描述電磁場(chǎng)，客觀規(guī)律跟勢(shì)的特殊規(guī)范選擇無(wú)關(guān)。102.規(guī)范不變性：當(dāng)勢(shì)作規(guī)范變換時(shí)，所有物理量和物理規(guī)律都保持不變，這就是規(guī)范不變性。在經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中，勢(shì)A和的引入是作為描述電磁場(chǎng)的一種方法，規(guī)范不變性是對(duì)這種描述方法所加的要求。在近代物理中，規(guī)范變換是由量子力學(xué)的基本原理引入的，規(guī)范不變性是一條重要的物理原理。11

3.兩種重要規(guī)范：從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，之所以存在規(guī)范變換自由度，是由于在勢(shì)的定義式中，只給出了A的旋度，而沒(méi)有給出A的散度。所以，欲得到具體的勢(shì)，必須給定A的散度，即規(guī)范條件。電磁場(chǎng)E和B本身對(duì)A的散度沒(méi)有任何限制。因此，作為確定勢(shì)的輔助條件，我們可以取?A為任意的值。每一種選擇對(duì)應(yīng)一種規(guī)范。從計(jì)算方便考慮，在不同問(wèn)題中可以采用不同的輔助條件。應(yīng)用最廣泛的是以下兩種規(guī)范條件。12(1)庫(kù)侖規(guī)范規(guī)范條件為在庫(kù)侖規(guī)范下，A是無(wú)散場(chǎng)，由A描述的B也是無(wú)散場(chǎng)。而一般情況下，E既是有散場(chǎng)，也是有旋場(chǎng)。在庫(kù)侖規(guī)范下，無(wú)旋場(chǎng)（縱場(chǎng)）無(wú)散場(chǎng)（橫場(chǎng)）13

在庫(kù)侖規(guī)范下，電磁場(chǎng)的縱場(chǎng)部分完全由描述，橫場(chǎng)部分完全由A描述。結(jié)論：在庫(kù)侖規(guī)范下，所滿足的方程與靜電場(chǎng)方程形式相同。14這種規(guī)范在基本理論在解決實(shí)際輻射問(wèn)題中是特別方便的。(2)洛倫茲規(guī)范規(guī)范條件為在處理波動(dòng)問(wèn)題時(shí)，勢(shì)的基本方程化為特別簡(jiǎn)單的對(duì)稱形式。15三、達(dá)朗貝爾(d’Alembert)方程1.A和所滿足的微分方程這就是矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)所滿足的微分方程組。16若采用庫(kù)侖規(guī)范這種規(guī)范的特點(diǎn)是標(biāo)勢(shì)所滿足的方程與靜電場(chǎng)形式相同，其解是庫(kù)侖勢(shì)。解出后代入第一式可解出A，因而可以確定輻射電磁場(chǎng)。17當(dāng)采用洛倫茲規(guī)范時(shí)，所對(duì)應(yīng)的勢(shì)的方程稱為達(dá)朗貝爾方程。2.達(dá)朗貝爾(d’Alembert)方程這說(shuō)明，在洛倫茲規(guī)范下，J是A的源，是的源，A和均為有源情況下的波動(dòng)。18離開電荷電流分布區(qū)域以后，矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)都以波動(dòng)形式在空間中傳播，由它們導(dǎo)出的電磁場(chǎng)E和B也以波動(dòng)形式在空間中傳播。注意：兩種規(guī)范，方程不同，所得的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)當(dāng)然不同，但由它們所求得的E和B是完全相同的，即E和B的波動(dòng)性質(zhì)是和規(guī)范無(wú)關(guān)的。19例：討論單色平面電磁波的勢(shì)。單色平面電磁波是在沒(méi)有電荷、電流分布的自由空間中傳播其平面波解為：的，因而勢(shì)的方程（達(dá)朗貝爾方程）變?yōu)辇R次方程：電磁波的可能解。但這只是方程的通解，對(duì)A和加上洛倫茲條件才得到實(shí)際20由Lorentz規(guī)范條件得由此可見(jiàn)，只要給定了A，就可以確定單色平面電磁波。此處n為傳播方向單位矢量。21①對(duì)平面電磁波(ρ=0,J=0)，由A可以完全確定，原因是ρ=0電磁場(chǎng)沒(méi)有縱場(chǎng)分量。結(jié)論：②電磁場(chǎng)不僅可以由A完全確定，而且只依賴于A的橫向分量。影響B(tài)和E。原因：對(duì)A加上任意縱向分量都不所以，對(duì)于平面電磁波的情形，即使加上洛倫茲條件，A和仍不是唯一的，能夠唯一確定的只是其橫向分量。同理22③如果令縱向分量為零，則此時(shí)，*因?yàn)樗跃褪菨M足庫(kù)侖規(guī)范的解。采用庫(kù)侖規(guī)范條件，勢(shì)方程在自由空間中變?yōu)?3當(dāng)全空間沒(méi)有電荷分布時(shí)，庫(kù)侖場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)，則只剩下其解的形式為，即保證了A只有橫向分量。從而得到：由庫(kù)侖規(guī)范條件得到方程24庫(kù)侖規(guī)范的優(yōu)點(diǎn)是：它的標(biāo)勢(shì)求出，它的矢勢(shì)洛侖茲規(guī)范的優(yōu)點(diǎn)是：它的標(biāo)勢(shì)勢(shì)方程具有對(duì)稱性。它的矢勢(shì)盡管如此，它在相對(duì)論中顯示出協(xié)變性。因此，大多采用洛侖茲規(guī)范。通過(guò)例子可看到：描述庫(kù)侖作用，可直接由電荷分布只有橫向分量，恰好足夠描述輻射電磁波的兩種獨(dú)立偏振。和矢勢(shì)構(gòu)成的的縱向部分和標(biāo)勢(shì)的選擇還可以有任意性，即存在多余的自由度。25本節(jié)主要是求解達(dá)朗貝爾（d’Alembert

）方程，并闡明其解的物理意義。261、達(dá)朗貝爾方程的解

不管是矢勢(shì)還是標(biāo)勢(shì)，在Lorentz規(guī)范條件下都滿足同樣的達(dá)朗貝爾方程。而達(dá)朗貝爾方程式是線性的，它反映了電磁場(chǎng)的疊加性，故交變電磁場(chǎng)中的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)均滿足疊加原理。因此，對(duì)于場(chǎng)源分布在有限體積內(nèi)的勢(shì)，可先求出場(chǎng)源中某一體積元所激發(fā)的勢(shì)，然后對(duì)場(chǎng)源區(qū)域積分，即得出總的勢(shì)。又因矢勢(shì)的方程與標(biāo)勢(shì)的方程在形式上相同，故只需求出的方程的解即可。27根據(jù)標(biāo)勢(shì)所滿足的方程：設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)處有一假想變化電荷Q(t)，其電荷體密度為，此時(shí)電荷輻射的勢(shì)的達(dá)朗貝爾方程為除在原點(diǎn)以外的空間，因而得到28因?yàn)辄c(diǎn)電荷的場(chǎng)分布是球?qū)ΨQ的，若以r表示源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離，則不依賴于角變量，只依賴于r和t.也就是說(shuō)，與和φ無(wú)關(guān)，僅是r

和t

的函數(shù)，即而且除原點(diǎn)外，滿足波動(dòng)方程上式的解是球面波，考慮到r

增大時(shí)勢(shì)減弱，29所以作如下代換將此代入上式即這個(gè)方程式是一維空間的齊次波動(dòng)方程，其通解為30式中的f

和g是兩個(gè)任意函數(shù)，故有此解的第一項(xiàng)表示由場(chǎng)源向外輻射的球面波，第二項(xiàng)則表示向場(chǎng)源會(huì)聚的球面波。式中f

和g

是的任意函數(shù)。其具體形式由場(chǎng)源條件而定。當(dāng)我們研究輻射時(shí)，電磁場(chǎng)是由原點(diǎn)處的電荷發(fā)出的，它必然是向外發(fā)射的波。因此在輻射問(wèn)題中應(yīng)取g=0，而函數(shù)f

的形式應(yīng)由原點(diǎn)處的電荷變化形式?jīng)Q定。31為此，考察上述解過(guò)渡到恒定場(chǎng)的情況，即取g=0，c→∞，則將該式與恒定場(chǎng)中Q所激發(fā)的電勢(shì)比較，則得32因此在交變電磁場(chǎng)中應(yīng)有相似的解，即故交變場(chǎng)源所激發(fā)的勢(shì)為如果點(diǎn)電荷不在原點(diǎn)處，而是在點(diǎn)上，令r為點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離，有33如果場(chǎng)源電荷分布在有限體積V內(nèi)，對(duì)于一般變化電荷分布，它所激發(fā)的標(biāo)勢(shì)為：因矢勢(shì)的微分方程與標(biāo)勢(shì)的微分方程相似，故其解也相似，所以一般變化電流分布34所激發(fā)的矢勢(shì)為：2、推遲勢(shì)（RetardedPotential)

達(dá)朗貝爾方程的解為：35它給出了分布在有限體積內(nèi)的變化電荷與變化電流在空間任意點(diǎn)所激發(fā)的標(biāo)勢(shì)的矢勢(shì)。必須強(qiáng)調(diào)指出,該式中的表示場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)，表示源點(diǎn)坐標(biāo)。和分別表示t

時(shí)刻在點(diǎn)處的標(biāo)勢(shì)和矢勢(shì)的值，和分別表示時(shí)刻在處的的值。36值得注意的是：電荷密度和電流密度中的時(shí)刻是而不是t

。這說(shuō)明：

時(shí)刻在處電荷或電流產(chǎn)生的場(chǎng)并不能在同一時(shí)刻

就到達(dá)點(diǎn)，而是要一個(gè)傳輸時(shí)間△t

，而且，由于t>，故t

時(shí)刻的勢(shì)和是晚于場(chǎng)源輻射的時(shí)刻，因此將此時(shí)的和稱為推遲勢(shì)。

37綜上所述，推遲勢(shì)的重要性在于說(shuō)明了電磁作用是以有限速度向外傳播的，它不是瞬時(shí)超距作用。換句話說(shuō)：電荷、電流輻射電磁波，而電磁波以速度脫離電荷、電流向外傳播。這就是推遲勢(shì)所描寫的物理過(guò)程。383、推遲勢(shì)滿足Lorentz條件

利用電荷守恒定律，我們可以驗(yàn)證推遲勢(shì)滿足Lorentz規(guī)范條件。已知電磁場(chǎng)的勢(shì)為式中39則有其中則40而

41所以這里對(duì)r

的函數(shù)而言，有。42又因?yàn)?3即于是044另外：45由此得到：要使上式保持成立（恒等），只有即得和的解滿足Lorentz條件。46§5.3電偶極輻射ElectricDipoleRadiation47電磁波是以交變運(yùn)動(dòng)的電荷系統(tǒng)輻射出來(lái)的，在宏觀情形電磁波由載有交變電流的天線輻射出來(lái)；在微觀情形，變速運(yùn)動(dòng)的帶電粒子導(dǎo)致電磁波的輻射。本節(jié)研究宏觀電荷系統(tǒng)在其線度遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)情形下的輻射問(wèn)題。481、計(jì)算輻射場(chǎng)的一般公式

當(dāng)電流分布給定時(shí)，計(jì)算輻射場(chǎng)的基礎(chǔ)是的推遲勢(shì)：若電流是一定頻率ω的交變電流，有49因此式中為波數(shù)50如果令式中因子eikr是推遲作用因子，它表示電磁波傳到場(chǎng)點(diǎn)時(shí)有相位滯后kr。根據(jù)Lorentz條件，可求出標(biāo)勢(shì)：由此可見(jiàn)，由矢勢(shì)的公式完全確定了電磁場(chǎng)。51另外，根據(jù)電荷守恒定律且有，只要給定電流，則電荷分布ρ也自然確定了。從而標(biāo)勢(shì)也就隨之而確定了，因而在這種情況下，有52在電荷分布區(qū)域外面，，所以故得2、矢勢(shì)的展開式

對(duì)于矢勢(shì)53注意到其中三個(gè)線度問(wèn)題：

第一，電荷分布區(qū)域的線度l

，它決定積分區(qū)域內(nèi)的大??；

第二，波長(zhǎng)的線度；

第三，電荷到場(chǎng)點(diǎn)的距離r。而本節(jié)研究分布于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)的電流所產(chǎn)生的輻射。所謂小區(qū)域是指：對(duì)于r和λ的關(guān)系，可分為三種情況：

a)

近區(qū)（似穩(wěn)區(qū)）54且有kr<<1，推遲因子eikr~1，因而場(chǎng)保持穩(wěn)恒場(chǎng)的主要特點(diǎn)，即電場(chǎng)具有靜電場(chǎng)的縱向形式，磁場(chǎng)也和穩(wěn)恒場(chǎng)相似。

b)

感應(yīng)區(qū)（過(guò)渡區(qū)），r~λ，但滿足r>>l。這個(gè)區(qū)域是一個(gè)過(guò)渡區(qū)域。它介于似穩(wěn)區(qū)和輻射區(qū)的過(guò)渡區(qū)域中。

c)

遠(yuǎn)區(qū)（輻射區(qū)）r>>λ，而且也保證r>>l。

在此區(qū)域中場(chǎng)強(qiáng)和均可略去的高次項(xiàng)，該區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)主要是橫向電磁場(chǎng)。現(xiàn)在主要討論電流分布于小區(qū)域而激發(fā)的遠(yuǎn)55區(qū)場(chǎng)。oxyzPl56選坐標(biāo)原點(diǎn)在電流分布區(qū)域內(nèi)，則與l

同數(shù)量級(jí)，。由圖可知：由二項(xiàng)式展開得到（略去等高次項(xiàng)）：57由此得到根據(jù)小區(qū)域的意義，則因此，在計(jì)算輻射場(chǎng)時(shí)只須保留的最低次項(xiàng)。而58所以分母中可以去掉項(xiàng)。但分子不能去掉項(xiàng)，這是因?yàn)檫@項(xiàng)貢獻(xiàn)一個(gè)相因子：所以涉及的是小參數(shù)，相位差一般是不能忽略的，因此要保留，這樣得到：59把相因子對(duì)展開，得從而得到矢勢(shì)的展開式為：展開式的各項(xiàng)對(duì)應(yīng)于各級(jí)電磁多極輻射。3、偶極輻射

研究展開式的第一項(xiàng)：60由于由于積分區(qū)域包含了全部電荷、電流存在的空間，61因而在包圍該區(qū)域的邊界面上不可能有電流出去，即S

面，從而有故得現(xiàn)在討論計(jì)算輻射場(chǎng)的技巧問(wèn)題：在計(jì)算輻射場(chǎng)時(shí)，需要對(duì)作用算符62由于討論遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)時(shí)，只保留的最低次項(xiàng)，因而算符不需作用到分母上，而僅需作用到相因子上即可達(dá)到要求，作用結(jié)果相當(dāng)于代換：由此得到，輻射場(chǎng)為63

64如果取球坐標(biāo)，原點(diǎn)在電荷電流分布區(qū)域內(nèi)，并以方向?yàn)闃O軸，則由上式得到：沿緯線上振蕩，沿經(jīng)線上振蕩。65z66故得到：該式表明：磁力線是圍繞極軸的園周，總是橫向的；電力線是經(jīng)面上的閉合曲線，由于在空間中，線必須閉合。因此不可能完全橫67向，只有當(dāng)略去的高次項(xiàng)后，才能近似地為橫向。由此得到一個(gè)結(jié)論：電偶極輻射是空間中的橫磁波（TMW）。4、輻射性能的幾個(gè)重要參數(shù)

衡量一個(gè)帶電系統(tǒng)輻射性能的幾個(gè)重要參數(shù)，是它的輻射功率和輻射角分布，這些問(wèn)題都可以通過(guò)能流密度求得答案。

a)輻射場(chǎng)的能流密度在波動(dòng)區(qū)域中，電磁場(chǎng)能流密度的平均值為68

b)輻射場(chǎng)的角分布所謂輻射場(chǎng)的角分布，就是討論輻射的方向性，在平均能流密度中，因子表示電偶極69輻射的角分布。輻射角分布(Angulardistributionofradiation)定義為：在方向單位立體角內(nèi)平均輻射能流，即當(dāng)R一定時(shí)，顯然70由此可見(jiàn)z71這就是我們?cè)谌粘Ｉ钪?，?jīng)常通過(guò)撥動(dòng)收音機(jī)或電視機(jī)天線的方位為獲得最佳音響和清晰圖象的緣故。

c)輻射功率單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)半徑為R的球面向外輻射的平均能量，稱為輻射功率（Radiationpower）。把對(duì)球面積分即得總輻射功率，即72

73如果偶極子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，角頻率為ω，且有則從而得到74故若保持電偶極矩的振幅不變，則輻射功率正比于頻率ω的四次方，即頻率變化時(shí)，輻射功率迅速變化。5、綜合敘述幾個(gè)問(wèn)題

a)電磁波的產(chǎn)生因?yàn)檩椛涔β逝c球面半徑無(wú)關(guān)，輻射場(chǎng)是脫離電荷、電流而獨(dú)立存在的電磁場(chǎng)，這種場(chǎng)總是

75以球面波形式沿矢徑方向向外傳播，且傳播的速度為