不完全信息靜態(tài)博弈

由于估價是相互獨立的，參與者i推斷vj服從［0，1］區(qū)間上的均勻分布，而不依賴于vi的值。最后，參與者i的收益函數(shù)為u(bu(b,b;v,v)=<i1212v-bii(v-b)/2ii0當b>bij當b=bij當b<bij為推導這一博弈的貝葉斯納什均衡，我們首先建立參與者的戰(zhàn)略空間。在靜態(tài)貝葉斯博弈中，一個戰(zhàn)略是由類型到行動的函數(shù)。參與者i的一個戰(zhàn)略為函數(shù)b(v)，據(jù)此可以決定i在每ii一種類型(即對商品的估價)下選擇的投標價格。在貝葉斯納什均衡下,參與者1的戰(zhàn)略bi(vi)與參與者2的戰(zhàn)略仆?；ハ嗍菍Ψ降淖顑?yōu)反應。若戰(zhàn)略組合叫叩，b2(V2)］是貝葉斯納什均衡，那么每個類型v￡［0，1］，b(v)滿足iii1max[(v一b)P{b>b}+(v一b)P{b=b}]

biiij2iiiji我們尋找該問題的一組線性均衡解，即假設b(v)和b(v)都是線性函數(shù)1122b(v)=a+cv及b(v)=a+cv，并據(jù)此對上式進彳丁簡化。但應注意我們不是限制1111122222了參與者的戰(zhàn)略空間，使之只包含了線性戰(zhàn)略；而是允許參與者任意地選擇戰(zhàn)略，而只看是否存在線性的均衡解。我們會發(fā)現(xiàn)由于參與者的估價是均勻分布的，這樣的線性均衡解不僅存在。而且是惟一的。其結(jié)果為b(v)=v/2，也就是說，每一參與者以其對商品估價的TOC\o"1-5"\h\ziii1/2作為投標價。這樣，一個投標價格反映出投標方在拍賣中遇到的最基本的得失權(quán)衡：投標價格越高，中標的可能性越大；投標價格越低，一旦中標所得的收益就越大。假設參與者j采取戰(zhàn)略b(v)=a+cv，對一個給定的v值，參與者i的最優(yōu)反應

jjjjji為下式的解1max［(v一b)P{b>a+cv}+(v一b)P{b=b}］

biiijjj2iiiji因為v服從均勻分布，所以b(v)=a+cv)服從均勻分布，P{b=b}=0。由于ijjjjjjij的投標價應高于參與者j最低的可能投標價格，否則沒有意義，同時應低于j最高的可能投標價格，我們有a§b§a+c，于是，上式變?yōu)閖ijjb一ab一abiiijcjbiimax[(v-b)P{b>a+cv}]=max[(v-b)P{v<biiijcjbiibc

ij一階條件為bi=(v+a)/2。在v<a時，b=(v+a)/2<一階條件為biijijiijj標的，至少b標的，至少b—a。綜上，參與者i的最優(yōu)反應為j(v+a)/2當v>a

b(v.)彳ij當ij11a當v<ajij如果0<a<1，則一定存在某些v的值，使v<a，這時b(v)就不可能是線性的了，jiijii而在開始時是一條直線，后半段開始向上傾斜，與假定的線性矛盾。而只討論a>1及ja<0的情況。但前一種情況是不可能在均衡中出現(xiàn)的，因為估價較高一方對投標價的最j優(yōu)選擇是不低于估價較低一方的投標價，我們有c>0，但這時a>1便意味著jjTOC\o"1-5"\h\zb(v)>v，而這對于參與人j肯定不是最優(yōu)的。因此，如果要求b(v)是線性的，則一定jjjii有a<0，這時b(v)=(v+a)/2=a+cv，于是可得a=a/2及c=1/2。jiiijiiiiji同樣對參與者j重復上