不等式知識點歸納

學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料第三章不等式3.1、不等關(guān)系與不等式1、不等式的基本性質(zhì)①（對稱性）a>bob>a②（傳遞性）a>b,b>cna>c（可加性）a>boa+c>b+c（同向可加性）a>b,c>da+c>b+d（異向可減性）a>b,c<dna—c>b—d（可積性）a>b,c>0nac>bea>b,c<0nac<bc（同向正數(shù)可乘性）a>b>0,c>d>0nac>bd（異向正數(shù)可除性）a>b>0,0<c<dn~>~cd⑥（平方法則）a>b>0nan>bn（ngN,且n>1）（開方法則）a>b>0n需>nb（ngN,且n>1）1111（倒數(shù)法則）a>b>0n<~；a<b<0n>—abab2、幾個重要不等式①a2+b2>2ab（a,bgR）,（當且僅當a=b時取"="號）.變形公式：ab<蘭筍2②（基本不等式）匕孑②（基本不等式）匕孑>\;abC,bgR+）,（當且僅當a=b時取到等號）.變形公式：a+b變形公式：a+b>2\abab<""+八1（也可用柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）>（ac+bd）2）用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大）,要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”?③（三個正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式）>3③（三個正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式）>3abc（a、b、cgR+）（當且僅當a=b=c時取到等號）.④a2④a2+b2+c2>ab+bc+ca（a，bgR）（當且僅當a=b=c時取到等號）.a3+b3+c3>3abc（a>0,b>0,c>0）（當且僅當a=b=c時取到等號）.ba若ab>0,則一+「>2（當僅當a=b時取等號）ab

ba若ab<0,則一+〒<—2(當僅當a=b時取等號)abbb+ma+na⑦一<<1<<—aa+mb+nb其中(a>b>0,m>0,n>0)規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.>aox2>a2ox<—a或x>a;x<aox2<a2o—a<x<a.⑨絕對值三角不等式|a|—|b|＜|a土bU3、幾個著名不等式2f—ra+ba2+b2①平均不等式：＜^Jab＜＜、：-a-1+b-12\2C,bGR+）,（當且僅當a=b時取"="號）.a2+b2即調(diào)和平均＜幾何平均＜a2+b2ab<(a+b)2a2+b2>.2冪平均不等式：1a2+a2+...+a2>—(a+a+...+a)2.12nn12n二維形式的三角不等式：x2+y2+x2+y2>￡(x—x)2+(y—y)2'1122'1212(x,y,x,yGR).1122二維形式的柯西不等式：(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2(a,b,c,dgR).當且僅當ad=bc時，等號成立.三維形式的柯西不等式：(a2+a2+a2)(b2+b2+b2)>(ab+ab+ab)2.123123112233一般形式的柯西不等式：(a2+a2+...+a2)(b2+b2+...+b2)>(ab+ab+...+ab)2.12n12n1122nn

向量形式的柯西不等式：設(shè)瓦B是兩個向量，則同同，當且僅當孑是零向量，或存在實數(shù)k，使a=kP時，等號成立.⑧排序不等式(排序原理)：設(shè)a<a<...<a,b<b<...<b為兩組實數(shù).c,c，…,c是12n12n12nb,b,...,b的任一排列，則12nab+ab+...+ab<ac+ac+...+ac<ab+ab+...+ab.（反序和<亂序和<1n2n-1n11122nn1122nn順序和）當且僅當a=a=...=a或b=b=...=b時，反序和等于順序和.12n12n⑨琴生不等式:特例:凸函數(shù)、凹函數(shù)）若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f（x）,對于定義域中任意兩點x,x（x豐x）,有1212fI）<f（x1）+f（x2）或fI）>f（x1）+f（x2）.2222則稱f（x）為凸（或凹）函數(shù).4、不等式證明的幾種常用方法常用方法有：比較法作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等.常見不等式的放縮方法：131舍去或加上一些項，如（a+-）2+4>（a+-）2；將分子或分母放大縮?。?111<,>,k2k（k一1）k2k（k+1）（==）<,2^k\k+、Qkkk+<k一112v'kk12v'kk+-Jk+1(kgN*,k>1)等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）（a豐0,A=b2-4ac>0）解集的步驟:一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù).二判：判斷對應(yīng)方程的根.三求：求對應(yīng)方程的根.四畫：畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象.

五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.規(guī)律：當二次項系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根標在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切）,結(jié)合原式不等號的方向,寫出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移項通分標準化，則“<或<”時同理）f(x)>0of(x)-“<或<”時同理）f(x)n0oIf(x)-g(x)n0g(x)~[g(x)豐0規(guī)律：把分式不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.8、無理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解>a(a>0)f(%)n0If(x)>a2<a(a>0)f(%)n0If(x)<a2⑶f(x)>⑶f(x)>g(x)o<g(x)n0f(x)>[g(x)]2If(x)n0⑷Jf(x)<g(x)o<g(x)>0f(x)<[g(x)]2If(x)n0⑸Jf(x)>Jg(x)o<g(x)n0f(x)>g(x)規(guī)律：把無理不等式等價轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.9、指數(shù)不等式的解法：⑴當a>1時，af(x)>ag(x)of(x)>g(x)⑵當0<a<1時，af(x)>ag(x)of(x)<g(x)規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.10、對數(shù)不等式的解法If(x)>0⑴當a>1時，logf(x)>logg(x)o[g(x)>0aaIf(x)>g(x)

(2)當0<a<1時,logf(x)>logg(x)o](2)當0<a<1時,aaf(x)<g(x)規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.⑴定義法：aa(a>⑴定義法：aa(a>0)-a(a<0)⑵平方法：If(x)|<|g(x)|Of2(x)<g2(x).⑶同解變形法，其同解定理有：①|(zhì)x<ao-a<x<a(a>0);②|x>aox>a或x<-a(a>0);③|f(x)|<g(x)o—g(x)<f(x)<g(x)(g(x)>0)④If(x)\>g(x)of(x)>g(x)或f(x)<—g(x)(g(x)>0)規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號.12、含有兩個(或兩個以上)絕對值的不等式的解法：規(guī)律：找零點、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含參數(shù)的不等式的解法解形如ax2+bx+c>0且含參數(shù)的不等式時，要對參數(shù)進行分類討論，分類討論的標準有：⑴討論a與0的大?。虎朴懻揂與0的大?。虎怯懻搩筛拇笮?14、恒成立問題⑴不等式ax2+bx+c>0的解集是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a=0時nb=0,c>0;fa>0當a主0時n仁IA<0.⑵不等式ax2+bx+c<0的解集是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是:①當a=0時nb=0,c<0;②當a豐0時na<②當a豐0時nA<0.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"⑶f(x)<a恒成立of(x)<a;max\o"CurrentDocument"f(x)<a恒成立of(x)<a;max⑷f(x)>a恒成立of(x)>a;minf(x)>a恒成立of(x)i>a.min15、線性規(guī)劃問題⑴二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：法一：取點定域法：由于直線Ax+By+C二0的同一側(cè)的所有點的坐標代入Ax+By+C后所得的實數(shù)的符號相同?所以，在實際判斷時，往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點(x,y)(如原點)，00由Ax+By+C的正負即可判斷出Ax+By+C>0(或<0)表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)00域.即：直線定邊界，分清虛實；選點定區(qū)域，常選原點.法二：根據(jù)Ax+By+C>0(或<0)，觀察B的符號與不等式開口的符號，若同號,Ax+By+C>0(或<0)表示直線上方的區(qū)域；若異號，則表示直線上方的區(qū)域即』號上方，異號下方⑵二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.⑶利用線性規(guī)劃求目標函數(shù)z二Ax+By(A,B為常數(shù))的最值：法一：角點法：如果目標函數(shù)z二Ax+By(x、y即為公共區(qū)域中點的橫坐標和縱坐標)的最值存在,則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點處取得，將這些角點的坐標代入目標函數(shù)，得到一組對應(yīng)z值，最大的那個數(shù)為目標函數(shù)z的最大值，最小的那個數(shù)為目標函數(shù)z的最小值法二：畫——移——定——求：第一步，在平面直角坐標系中畫出可行域；第二步，作直線l:Ax+By二0，平移直0線l(據(jù)可行域，將直線l平行移動)確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解(x,y)；第四步，00將最優(yōu)解(x,y)代入目標函數(shù)z二Ax+By即可求出最大值或最小值.第二步中最優(yōu)解的確定方法：Azz利用z的幾何意乂：y—_x+,為直線的縱截距.BBB若B>0,則使目標函數(shù)z—Ax+By所表示直線的縱截距最大的角點處，z取得最大值，使直線的縱截距最小的角點處，z取得最小值；若B<0,則使目標函數(shù)z—Ax+By所表示直線的縱截距最大的角點處，z取得最小值，使直線的縱截距最小的角點處，z取得最大值.⑷常見的目標函數(shù)的類型：“截距”型：z—Ax+By；“斜率”型：z—-或z—乂藝；xx一a“距離”型：z—x2+y2或z—x2+y2；z—(x-a)2+(y一b)2或z—寸(x-a)2+(y-b)2.在求該“三型”的目標函數(shù)的最值時，可結(jié)合線性規(guī)劃與代數(shù)式的幾何意乂求解，從而使問題簡單化.基礎(chǔ)練習(xí)一選擇題設(shè)M=X2,N=-x-1,則M與N的大小關(guān)系是()A.M>NB.M=NC.M<ND.與x有關(guān)［答案］A13［解析］M—N=X2+x+1=(x+2)2+4>0，:.M>N.(2013?遼寧鞍山市第一中學(xué)高二期中測試)若avbvO,則下列不等式不能成立的是()A.^>7B.2a>2babC.Ial>lblD.(如站)"［答案］B［解析］'：a<b,y=2x單調(diào)遞增，.：2av2b,故選B．已知a<0,-1<b<0,則下列各式正確的是()A.a>ab>ab2B.ab>a>ab2C.ab2>ab>aD.ab>ab2>a［答案］D［解析］：—1<b<01>b2>o>b>—1,即b<b2<1，兩邊同乘以a得，/.ab>ab2>a.故選D.如果a、b、c滿足c<b<a，且ac<0,那么下列選項中不一定成立的是()A.ab>acB.bc>acC.cb2<ab2D.ac(a-c)<0［答案］C［解析］:c<b<a,且ac<0,.：a>0,c<0..?.ab—ac=a(b—c)>0,bc—ac=(b—a)c>0,ac(a—c)<0,.：A、B、D均正確.：b可能等于0,也可能不等于0.cb2<ab2不一定成立.設(shè)a=lge,b=(lge)2,c=lgi：7，則()

A．a(chǎn)>b>cB．a(chǎn)>c>bC．c>a>bD．c>b>a［答案］A．a(chǎn)>b>cB．a(chǎn)>c>bC．c>a>bD．c>b>a［答案］［解析］*/0<lge<1，?:b=(lge)2=a2<a,c=lg\；e=21ge=2ava.又Tb=(lge)2vlgJ10?lge=Rge=c,bvcva.6?下列各式中，對任何實數(shù)x都成立的一個式子是（）A.Ig(x2+1)三lg2xB．x2＋1>2xCX2+1W1D.x+i^2［答案］C［解析］A中x>0；B中x=1時，x2+1=2x；C中任意x,X2+1*故占W1；D中當x<0時，x+丄WO.x7.若x>1>y，下列不等式不成立的是（）A.x－1>1－yB.x－1>y－1C.x－y>1－y［答案］AD.1－x>y－x［解析］特殊值法.令x=2,y=—1,則x—1=2—1v1—(—1)=1—y,故A不正確.8.設(shè)a=1Oo.1,b=O.11o,c=lgO.1,則a,b,c的大小關(guān)系是（）A.a<b<cB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b［答案］B［解析］V10o.1>10o,^10o.1>1.又TO.11ovO.1o,.：OvO.11ov1.?.?lgO.1vlg1,.?.lgO.1vO..?.a>1,0vbv1,cvO,.：a>b>c,選B.9.設(shè)a+bvO,且a>0,貝9(A.a2<－A.a2<－ab<b2B.b2<－ab<a2C.a2<b2<－abD.ab<b2<a2［答案］A［解析［解析］Ta+bvO,且a>0,0<a<—b,a2V——abvb2.10.已知10.已知a2+a<0,那么a,a2,－a,－a2的大小關(guān)系是（）A.A.a2>a>—a2>—aB.—a>a2>—a2>aC.－a>a2>a>－a2D.a2>－a>a>－a2［答案］B［解析］?a2+av0,.°.0va2V—a,.°.0>—a2>a,/.a<—a2<a2<—a，故選B.［點評］可取特值檢驗’Ta2+av0,即a(a+l)vO，令a=—f,則a2=4,—a2=—4,2,即一a>a2>—a2>a，排除A、C、D,選B2,11.設(shè)a,b^R，則(a—b)?a2<0是a<b的()A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件［答案］A［解析］由(a—b)?a2<0得aMO且a<b；反之，由a<b,不能推出(a_b)a2<0.即(a—b)?a2<0是a<b的充分非必要條件.12.如果a>0,且aMl,M=loga(a3+1),N=loga(a2+1)，那么()A.M>NB.M<ND.M、N的大小無法確定D.M、N的大小無法確定［答案］A［解析］M_N=loga［解析］M_N=loga(a3+1)—loga(a2+1)=loga3+1

aa2＋1若a>1,則a3>a2,a3+102+1>1,.：aa3+1logaa2+1a3+1a3+1>0,/.M>N,若0<a<1,則0<a3<a2,/.0<a3+1<a2+1,0<a2+］<1,?-logaa2+1>0,:.M>N，故選A.(2014江西文，2)設(shè)全集為R,集合A={xlx2—9<0},B={xl—1<xW5}，則An(綂RB)=()A.(—3,0)B.(—3，—1)C.(—3，—1］D.(—3,3)［答案］C［解析］本題主要考查集合的運算，TA={xlx2—9<0}={xl—3<x<3},而綂RB={xlx<—1或x>5},.?.An綂RB={xl—3<x<—1}，選C.不等式9x2+6x+1W0的解集是()A.{xlxM—3}B.{xl—|<x<|}C.0D.{—*［答案］D［解析］變形為(3x+1)2W0....x=—15.不等式3x2—x+2<0的解集為（)A.0B.Rc.{xl—3<x<2}D.{x^Rlx工*}［答案］A［解析］—23V0,開口向上，.?.3x2—x+2V0的解集為0.16.函數(shù)y=\'x2+x—12的定義域是（)A.{xlx<—4,或x>3}B.{xl—4<x<3}C.{xlxW—4,或x23}D.{xl—4WxW3}［答案］C［解析］使y=Jx2+x—12有意義，則X2+x—1220.(x+4)(x—3)三0,.：xW—4,或x23.(2012?陜西文，1)集合M={xllgx>0},N={xlx2W4}，則MHN=()A．(1,2)B．［1,2)C.(1,2］D.［1,2］［答案］C［解析］本題考查對數(shù)不等式、一元二次不等式的解法及集合的交集運算.M={xlx>1},N={xl—2WxW2}，所以MnN={xl1<xW2}=(1,2］.(2013?廣東東莞市第五高級中學(xué)高二期中測試)不等式x2+2x-320的解集為()A.{xlxW—1或x23}B.{xl—1WxW3}C.{xlxW—3或x21}D.{xl—3WxW1}［答案］C［解析］由x2+2x—320,得(x+3)(x—1)20,.?.xW—3或x21,故選C.(北京學(xué)業(yè)水平測試)不等式(x—1)(2x—1)<0的解集是()A.{xl1<x<2}B.{xlx<1或x>2}C.{xlx<2或x>1}D.{xl*<x<1}［答案］D

［解析］方程(x—l)(2x—1)=0的兩根為X］=1,，2=2,所以(x—l)(2x—1)<0的解集為｛xg<x<1}，選D.20.設(shè)集合M={xl0WxW2},N={xlx2-2x-3<0}，則MAN等于()A.{xl0Wx<1}B.{xl0WxW2}C.{xl0WxW1}D.{xl0WxW2}［答案］D［解析］?:N={xlx2—2x—3<0}={xl—1<x<3},M={xl0WxW2},.?.MnN={xl0WxW2}，故選D.21.若{xl2<x<3}為x2+ax+b<0的解集，則bx2+ax+1>0的解集為()A.{xlx<2或x>3}B.{xl2<x<3}D.{xlx<3或D.{xlx<3或x>2}［答案］D［解析］由x2+ax+b<0的解集為｛xl2<x<3｝,知方程x2+ax+b=0的根分別為x1=2,x2=3.由韋達定理，得%］+%2=一a,x^x?=b,即a=—5，b=6.所以不等式bx2+ax+1>0,即6x2—5x+1>0,解集為｛xlxv*，或x>￡｝,故選D.22.不等式(22.不等式(x—2)2(x—3)

x+1<0的解集為（A.{xl—1<x<2或2<x<3}B.{xl1<x<3}C.{xl2<x<3}D.{xl—1<x<3}［答案］A(x—3)(x+1)<0,［解析］原不等式等價于<x+1工0,、(x—2)2M0,解得一1<x<3,且xM2,故選A.

23.若0VtV1,則不等式x2—（t+*）x+1V0的解集是（）［解析］化為(x—t)(x—1)vo,?.?OVtVl,.：1>1>t,At<x<7.A.A.{xl1VxVt}C.{xlx<_1或x>t}［答案］DB.{xlx>；或x<t}D.{xlt<x<+}tt已知不等式x2+ax+4V0的解集為空集，則a的取值范圍是()A.—4WaW4B.-4<a<4C.aW—4或a三4D.a<—4或a>4［答案］A［解析］欲使不等式x2+ax+4<0的解集為空集，則△=a2—16W0,.：—4WaW4.不在3x+2y<6表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是()A.(0,0)B.(1,1)C.(0,2)D.(2,0)［答案］D［解析］將點的坐標代入不等式中檢驗可知，只有(2,0)點不滿足3x+2y<6.y<x26.不等式組4x+yW1，表示的區(qū)域為D,點P1(0,—2)，點P2(0,0),貝％)、y±3A.P^D,P2年DB.P^D,P2GDC.P1GD,P2年DD.P1GD,P2WD［答案］A［解析］p1點不滿足y三3.P2點不滿足y<x.和y三3.?.選A.27.已知點P(x0,y0)和點A(1,2)在直線l：3x+2y—8=0的異側(cè)，貝肚)A.3xQ+2y0>0B.3xQ+2y0<0C.3x0+2y0<8D.3x0+2y0>8［答案］D［解析］V3X1+2X1—8=—3<0,P與A在直線l異側(cè),^3x0+2y0—8>0.28.圖中陰影部分表示的區(qū)域?qū)?yīng)的二元一次不等式組為28.圖中陰影部分表示的區(qū)域?qū)?yīng)的二元一次不等式組為(xx+y—1W0x—2y+2W0x+y—1三0x—2y+220x+yx+y—1W0x—2y+220故異側(cè)點應(yīng)為x+y—1三0,排除B、Dx+y—1三0C.{D.x—2y+2W0［答案］A［解析］取原點0(0,0)檢驗滿足x+y—1W0,O點滿足x—2y+220,排除C..；選A.29.不等式x2—y2±0表示的平面區(qū)域是(［答案］B［解析］將(±1,0)代入均滿足知選B.(x—y+5)(x+y)三030.不等式組「一二表示的平面區(qū)域是一個()［0WxW3三角形B.直角梯形C.梯形D.矩形［答案］C［解析］畫出直線x—y+5=0及x+y=0,取點(0,1)代入(x—y+5)(x+y)=4>0,知點(0,1)在不等式(x—y+5)(x+y)三0表示的對頂角形區(qū)域內(nèi)，再畫出直線x=0和x=3,則原不等式組表示的平面區(qū)域為圖中陰影部分，它是一個梯形.

目標函數(shù)z=2x—y，將其看成直線方程時，z的意義是（）該直線的截距該直線的縱截距該直線的縱截距的相反數(shù)該直線的橫截距［答案］C［解析］z=2x—y可變化形為y=2x—z,所以z的意義是該直線在y軸上截距的相反數(shù),故選C.TOC\o"1-5"\h\z若x±0,y±0，且x+yW1,則z=x—y的最大值為（）A.—1B.1C.2D.—2［答案］B［解析］可行域為圖中△AOB,當直線y=x—z經(jīng)過點B時，一Z最小從而z最大...zmax=1.4T+-1-14T+-1-1x—y+52033.已知x、y滿足約束條件＜x+y±0，則z=2x+4y的最小值為（）、xW3A.5B.—6C.10D.—10［答案］B［解析］可行域為圖中△ABC及其內(nèi)部的平面區(qū)域，當直線y=—2+4經(jīng)過點B（3,—3）時，z最小,3）時，z最小,Zmin=丫=3x2134.若x、yWR，且丫=3x2134.若x、yWR，且＜x—2y+320、y三xA.2C.5［答案］B則z=x+2y的最小值等于()B.3D.9［解析］不等式組表示的可行域如圖所示:畫出直線l0：x+2y=0,平行移動10到l的位置，當l通過點M時，z取到最小值.此時M(1,1),即卩zmin=3.2x+y三435.設(shè)x、y滿足約束條件＜x—y±1，則目標函數(shù)z=x+y()、x—2yW2A?有最小值2,無最大值C?有最小值2,最大值3［答案］AB?有最大值3,無最小值既無最小值，也無最大值2x+y三4表示的平面區(qū)域，如下圖，由z=x+y,得y=—x表示的平面區(qū)域，如下圖，由z=x+y,得y=—x、x_2yW2+z,令z=0,畫出y=—x的圖象.當它的平行線經(jīng)過點A(2,0)時，z取得最小值，最小值為2；無最大值?故選A.36.(2013?四川文，8)若變量x、y滿足約束條件廠x+yW8<2y—x4、，且z=5y—x的最大值為a,最小值為b則a—b的值是()x三0y±oA.48B.30C.24D.16［答案］C［解析］本題考查了線性規(guī)劃中最優(yōu)解問題?作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖..T+.l作直線l0：y=|x，平移直線l0.當10過點A(4,4)時可得z=16,Aa=16.0max當l0過點B(8,0)時可得zmin=-8,Ab=-8./.a—b=16—(—8)=24.yW137.若變量x、y滿足約束條件<x+y±0，則z=x—2y的最大值為()、x—y—2W0A.4B.3C.2D.1［答案］B［解析］先作出可行域如圖.工4丁=0作直線x—2y=0在可行域內(nèi)平移，當x—2y—z=0在y軸上的截距最小時z值最大.當移至A(l,—1)時，zmax=1—2X(—1)=3,故選B.2x+yW438.設(shè)變量x、、滿足約束條件＜4x—y±—1，則目標函數(shù)z=3x—y的取值范圍是()、x+2y三233A.［―2，6］B.［―2，—1］3C.［—1,6］D.［—6，二］［答案］A［解析］本題考查了線性規(guī)劃的基礎(chǔ)知識及數(shù)形結(jié)合的思想?根據(jù)約束條件，畫出可行域如圖，作直線L0：3x—y=0,將直線平移至經(jīng)過點A(2,0)處z有最大值，經(jīng)過點B(2,3)3處z有最小值，即一2WzW6.Cx+y一3三039.設(shè)z=x—y，式中變量x和y滿足條件｛小，則z的最小值為()x—2y三0A.1B.—1C.3D.—3［答案］A［解析］作出可行域如圖中陰影部分.直線z=x—y即y=x—z.經(jīng)過點A(2,1)時，縱截距最大,/?z最小.min最大,/?z最小.min2x+y三12<2x+9y三3640.變量x、y滿足下列條件2x+3y=24，則使z=3x+2y最小的(x,丁)是()x±0y±0A.(4,5)B.(3,6)C.(9,2)D.(6,4)［答案］B［解析］檢驗法：將A、B、C、D四選項中x、y代入z=3x+2y按從小到大依次為A、B、D、C.然后按A-B-D-C次序代入約束條件中，A不滿足2x+3y=24,B全部滿足,故選B.2x+yW441.已知x、y滿足約束條件<x+2yW4，則z=x+y的最大值是()、x±0,y三0TOC\o"1-5"\h\z48a.3B3C.2D.4［答案］B［解析］畫出可行域為如圖陰影部分.[x+2y=4由＜2x+y=48當直線z=x+y經(jīng)過可行域內(nèi)點A時，z最大，且zma=3>

42.(2014?廣東理，3)若變量x,y滿足約束條件yWx<x+yW1，且z=2x+y的最大值和最小值分別為m和n,則m~n=()、y2—1A.A.5C.7［答案］B［解析］作出可行域如圖,My—1’/My—1’/?A(—1,—1);x+y=x+y=1,—1.x=2./.B(2,—1)；91-291-2=

X1-rcy=x.x+y=l.作直線l：y=-2x，平移l可知，當直線y=-2x+z,經(jīng)過點A時，z取最小值，當ymin=—3；當經(jīng)過點B時，z取最大值，z=3,max/.m=3，n=—3,.：m—n=6.

TOC\o"1-5"\h\z43．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是（）,1「1A.x+‘B.x2—1+72xx2－1C.C.2x＋2－xD.x(1－x)答案：C44.已知a、bWR,且abMO,則在①呼2三ab；②與詹2；③abW件弓2；④件弓a2＋b22W產(chǎn)這四個不等式中，恒成立的個數(shù)有（）A.1個B.2個C.3個D.4個答案：C45.某工廠第一年產(chǎn)量為A,第二年的增長率為a,第三年的增長率為b,這兩年的平均增長率為x,貝肚）a+b一a+bA.x=~2-B.xW2C.aC.a+bx＞〒D.解析：依題意有A(1+x)2=A(1+a)(1+b),1+x=：J(1+a)(1+b)W*[(1+a)+(1+b)]=1+a+b~T~=1+a+b~T~.*.xWa+b2.故選B.答案：B46.若x>0,則函數(shù)y=—x—X（）A?有最大值一2B?有最小值一2C?有最大值2D?有最小值2解析：..?％>0,.°.%+丄三2..°.—x—丄W—2.當且僅當x=1時，等號成立，故函數(shù)y=—xxx—丄有最大值一2.x答案：An47.數(shù)列｛an｝的通項公式an=n2+90，則數(shù)列｛a”｝中的最大項是（）A.第9項B.第8項和第9項C.第10項D.第9項和第10項解析："”=”2+5=七0n+—”,/n+90^^;'90,且n￡N*,n

??.當n=9或10時，n+—最小，°“取最大值.故選D.nn答案：D48.lg9lg11與1的大小關(guān)系是()A.lg9?lg11>1B.lg9?lg11=1C.lg9?lg11V1D.不能確定(lg9+lg11]2[lg99]2(lglOO]2(21〔"2Jv12丿2解析：lg9Xlg11W1,故選C.答案：C49.已知a,bWR+,且a+b=1,則ab+計的最小值為()A.2b|c#D.不存在解析:?:a,bWR七a+b=1,.°.寸ObW"丁方=g?OVabW*.令t=ab，則代尸汁1在(0,4上單調(diào)遞減，?f(t)的最小值為』4)=4十4="4，故選c.答案：C50.某金店用一桿不準確的天平(兩邊臂不等長)稱黃金，某顧客要購買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客，然后又將5g的砝碼放入右盤,將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客,則顧客實際所得黃金()A.大于10gB.小于10gC.大于等于10gD.小于等于10g解析：設(shè)兩臂長分別為a，b，兩次放入的黃金數(shù)是x，y，依題意有ax=5b，by=5a，?xy=25.*.*~2三冷xy，.°.x+y三10，又a壬b，?x壬y.?x+y>10.即兩次所得黃金數(shù)大于10克，故選A.答案：A51?函數(shù)fx)=￡的最大值為(1B?21B?2C豆C.2D.1解析：當x解析：當x=0時，f(0)=0;當x>0時，x+122\C>0,???fx)W?\''x1

2五2，當且僅當xx1=1時等號成立.故函數(shù)fx）=x+1的最大值為2?答案：B填空題1.若a>b,則03與b3的大小關(guān)系是.［合案］a3>b32.若x=(a+3)(a—5),y=(a+2)(a—4)，則x與y的大小關(guān)系是.［答案］xVy［解析］x—y—(a+3)(a—5)—(a+2)(a—4)—(a2—2a—15)—(a2—2a—8)=—7V0,/.x<y.3.已知a>3.已知a>b>0,且c>d>0,則需與叮c的大小關(guān)系是［答案］d>［解析］?.1>〃>0,.?丄>1>0,dc7a>b>0,Ad>C>0,ac4.若a、b、c、d均為實數(shù)，使不等式b>d>°和ad<bc都成立的一組值（a,b,c,d）是（只要舉出適合條件的一組值即可）．［答案］（2,1,－1,－2）［解析］由a>d>0知，a、b同號,c、d同號，且a—=+?由ad<bc，得ad_bc<0，所以bd<0.所以在?。╝,b,c,d）時只需滿足以下條件即可：a、b同號，c、d同號，b、d異號；ad<bc.令a>0，b>0，c<0，d<0，不妨取a=2，b=1，c=—1，則d<字=—2取d=—2，則（2,1，—1，—2）滿足要求．5.（2013?廣東理，9）不等式x2+x—2<0的解集為.［答案］{x|－2<x<1}［解析］由戀+工一2<0,得(x+2)(x—l)vO,—2<x<1,故原不等式的解集為{xl—2<xv1}.不等式0Wx2—2x—3V5的解集為.［答案］{xl—2VxW—1或3WxV5}［解析］由x2—2x—3三0得：xW—1或x±3；由x2—2x—3V5得一2VxV4,/.—2VxW—1或3WxV4.原不等式的解集為{xl—2<xW—1或3Wx<4}.關(guān)于x的不等式：x2—(2m+1)x+m2+m<0的解集是.［答案］{xlm<x<m＋1}［解析］解法一：?方程x2—(2m+1)x+m2+m=0的解為x1=m,x2=m+1,且知mVm＋1..?.二次函數(shù)y=x2—(2m+1)x+m2+m的圖象開口向上，且與x軸有兩個交點.???不等式的解集為{xlmVxVm+1}.解法二：注意到m2+m=m(m+1)，及m+(m+1)=2m+1,可先因式分解，化為(x—m)(x—m—1)V0,*/m<m+1,Am<x<m+1.???不等式的解集為{xlm<x<m+1}.若集合A={xlax2—ax+1<0}=，則實數(shù)a的取值范圍是.［答案］0<aW4［解析］①若a=0,則1<0不成立，此時解集為空.fA=a2—4aW0,②若aMO,則{?0<aW4.a>0,已知x,y為非負整數(shù)，則滿足x+yW2的點(x,y)共有個.［答案］6［解析］符合條件的點有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)共6個.用三條直線x+2y=2,2x+y=2,x—y=3圍成一個三角形，則三角形內(nèi)部區(qū)域(不包括邊界)可用不等式表示為x+2y<2［答案］<2x+y>2、x—y<3x—y三一1若非負變量x、y滿足約束條件，則x+y的最大值為.、x＋2yW4

［答案］4［解析］本題考查線性規(guī)化的最優(yōu)解問題.廠x±0<y三0由題意知x、y滿足的約束條件、‘.x—y三一1x+2yW4畫出可行域如圖所示.設(shè)x+y=ty=—x+t,t表示直線在y軸截距，截距越大，t越大.作直線l0：x+y=0,平移直線l0，當10經(jīng)過點A(4,0)時，t取最大值4.2x+3y—6W0在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組Jx+y—2三0所表示的區(qū)域上一動點,、y±0則IOMI的最小值是.［答案］遲［解析］本題考查不等式組表示平面區(qū)域及點到直線距離問題.不等式組所表示平面區(qū)域如圖，由圖可知IOMI的最小值即O到直線x+y—2=0的距離.故IOMI故IOMI的最小值為I—2I=\>'2.1x^013.，則z=3x+2y的最大值為13.，則z=3x+2y的最大值為〔2x—yW1［答案］5［解析］作出可行域如圖，當直線z=3x+2y平移到經(jīng)過點(1,1)時，z最大「.z=5.maxy—2W014.已知x、y滿足＜x+320，則x2+y2的最大值為、x—y—1WO［答案］25［解析］畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中的陰影部分所示.由圖知，A(—3,—4),B(—3,2),C(3,2),則OAI=\「'9+16=5，IOBI=；，9+4=j，13，IOCI=P?+^=伍.設(shè)P(x，y)是不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)任意一點，則X2+y2=Cjx2+y2)2=IOPl2,由圖知，IOPI的最大值是IOAI=5，則x2+y2最大值為IOA|2=25.卜三015.已知x、y滿足約束條件*±y，則z=3x+2y的最大值為.、2x-yW1［答案］5［解析］作出可行域如圖，當直線z=3x+2y平移到經(jīng)過點(1,1)時，z最大.「z=5.max

y—2W016.已知x、y滿足＜x+320，則x2+y2的最大值為、x—y—1W0［答案］25［解析］畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中的陰影部分所示.由圖知，A(—3,—4),B(—3,2),C(3,2),則OAI=y'9+16=5,lOBI^,.'9+4^；'13,lOCW^+^二莎.設(shè)P(x,y)是不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)任意一點，則X2+y2=(\；X2+y2)2=lOPl2,由圖知，lOPl的最大值是lOAl=5，則x2+y2最大值為IOA|2=25.三解答題1.有糧食和石油兩種物質(zhì)，可用輪船與飛機兩種方式運輸，每天每艘輪船和每架飛機的運輸效果如下表：'種類方式效果輪船運輸量(t)飛機運輸量(t)糧食300150石油250100現(xiàn)在要在一天內(nèi)運輸2000t糧食和1500t石油.寫出安排輪船艘數(shù)和飛機架數(shù)所滿足的所有不等關(guān)系的不等式.［解析］設(shè)需安排x艘輪船和y架飛機，則

6x+3y240<6x+3y240<5x+2y230x±0y±0<250x+100y±1500x±0y±010.設(shè)a>0,b>0且aMb,試比較aabb與abba的大小.［解析］根據(jù)同底數(shù)冪的運算法則．a(chǎn)abbaabbaaa—b?bb—a=(^)a—b,a當a>b>0時，b>1，a_b>0.a則(b)a-b>1,于是aabb>abba.當b>a>0時，0<b<1，a_b<0,a則(了)?！?>1,于是aabb>abba.綜上所述，對于不相等的正數(shù)a、b,都有aabb>abba.已知a>0,b>0,aMb,n^N且n三2,比較a?+bn與a?-1b+abnt的大小.［解析］(an+bn)—(an—1b+abn_1)=an_1(a—b)+bn—1(b—a)=(a—b)(an—1—bn—1),當a>b>0時，an—1>bnT,.：(a—b)(an—1—bn-1)>0,當OVaVb時，anTVbn—1,.：(a—b)(an—1—bn—1)>0,對任意a>0,b>0,aMb,總有(a—b)(anT—bn—1)>0..?.an+bn>an—1b+abnT.x如果30<x<42,16<y<24.分別求x+y、x—2y及y的取值范圍.［解析］46<x+y<66；-48<-2y<-32,二一18<x—2y<10；**30<x<42,5x21即4<y<?4.解不等式：1<x2—3x+1<9—x.［解析］由x2—3x+1>1得，x2—3x>0,/.x<0或x>3；由x2—3x+1<9—x得，x2—2x—8<0,.°.—2<x<4.借助數(shù)軸可得：{xlx<0或x>3}H{xl—2<x<4}={xl—2<x<0或3<x<4}.5.已知關(guān)于x的不等式ax2+2x+c>0的解集為（一3*），求一cx2+2x—a>0的解集.［解析］由ax2+2x+c>0的解集為(一32)，知a<0,且一3和1是ax2+2x+c=0的兩個根．<由韋達定理，得根．<由韋達定理，得2一Q￡,a一--1-21-2X+1-31一3\\a=—12,解得｛所以一cx2+2x—a>0,c=2.即2x2—2x—12<0.解得一2<x<3.所以一cx2+2x—a>0的解集為｛xl—2<x<3｝.6．解下列不等式：2x—1⑴3x+1>°；(喘<0.(喘<0.［解析］(1)原不等式等價于(2x—1)(3x+1)>0,.?.x<-1或x>2.故原不等式的解集為{xix<—3或x〉^}?ax(2)兀+］<Oeax(x+1)<0.當a>0時，ax(x+1)<0Ox(x+1)<0O—1<x<0,解集為｛xl—1<x<0｝；當a=0時，原不等式的解集為0;當a<0時，ax(x+1)<0Ox(x+1)>0Ox>0或x<—1,.：解集為｛xlx>0,或x<—1｝.7．解關(guān)于x的不等式x2—(a＋a2)x＋a3>0.［解析］原不等式可化為(x—a)(x—a2)>0.則方程x2—(a+a2)x+a3=0的兩根為x1=a,x2=a2,由a2—a=a(a—1)可知，當a<0或a>1時,a2>a.原不等式的解集為x>a2或x<a.當0<a<1時,a2<a,原不等的解為x>a或x<a2.當a=0時，原不等式為x2>0,：.xH0.當a=1時，原不等式為(x—1)2>0,：.xZ1.

綜上可知:當a<0或a>l時，原不等式的解集為｛xlxva或x>a2｝；當0<a<l時，原不等式的解集為｛xlx<a2或x>a｝；當a=0時，原不等式的解集為｛xlxM0｝；當a=1時，原不等式的解集為｛xlxHl｝.x+y—6^0<8.畫出不等式組表示的平面區(qū)域.x—y三0y<8.畫出不等式組表示的平面區(qū)域.x<5［解析］不等式x+y—6三0表示在直線x+y—6=0上及右上方的點的集合，x—y三0表示在直線x-y=0上及右下方的點的集合,,W3表示在直線y=3上及其下方的點的集合,圖陰影部分.x<5圖陰影部分.x<5表示直線x表示的平面區(qū)域為如9.經(jīng)過點P(0,—1)作直線l,若直線l與連結(jié)A(l,—2)、B(2,l)的線段總有公共點,求直線l的斜率k的取值范圍.［解析］由題意知直線l斜率存在,由題意知直線l斜率存在,則可設(shè)直線l的方程為kx—y—1=0，由題知：A、B兩點在直線l上或在直線l的兩側(cè)，所以有:(k+l)(2k—2)W0/.—1WkWl.‘5x+3yW1510.求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件<yWx+1、x—5yW3［解析］作出可行域為如圖所示的陰影部分.：?目標函數(shù)為z=3x+5y,作直線l0：3x+5y=0.當直線l0向右上平移時，z隨之增大，在可行域內(nèi)以經(jīng)過點A（2,2）的直線11所對應(yīng)的z最大.類似地，在可行域內(nèi)，以經(jīng)過點B（-2,-1）的直線12所對應(yīng)的z最小，.?.z=17,zi=-11，Az的最大值為17,最小值為一11.maxmin某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別為45個與55個，所用原料為A、B兩種規(guī)格金屬板，每張面積分別為2m2與3m2.用A種規(guī)格金屬板可造甲種產(chǎn)品3個，乙種產(chǎn)品5個；用B種規(guī)格金屬板可造甲、乙兩種產(chǎn)品各6個.問A、B兩種規(guī)格金屬板各取多少張,才能完成計劃，并使總的用料面積最省？［解析］設(shè)A、B兩種金屬板分別取x張、y張，用料面積為z，則約束條件為3x+6y三45<5x+6y三55x±0y±0目標函數(shù)z=2x+3y.作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域（即可行域），如圖所示.z=2x+3y變?yōu)閥=-|x+j，得斜率為一扌，在y軸上截距為|■且隨z變化的一族平行直線.「5x+6y=55當直線z=2x+3y過可行域上點M時，截距最小，z最小.解方程組｛,,［3x+6y=45得M點的坐標為(5,5).此時zmin=2X5+3X5=25(m2).答：當兩種金屬板各取5張時，用料面積最省.制造甲、乙兩種煙花，甲種煙花每枚含A藥品3g、B藥品4g、C藥品4g，乙種煙花每枚含A藥品2g、B藥品11g、C藥品6g.已知每天原料的使用限額為A藥品120g、B藥品400g、C藥品240g.甲種煙花每枚可獲利2兀，乙種煙花每枚可獲利1兀，問每天應(yīng)生產(chǎn)甲、乙兩種煙花各多少枚才能獲利最大.3x+2yW120J4x+11yW400［解析］設(shè)每天生產(chǎn)甲種煙花x枚，乙種煙花y枚，獲利為z元，則4x+6yW240x±0Jy±0作出可行域如圖所示.目標函數(shù)為：z=2x+y.作直線l：2x+y=0,將直線l向右上方平移至11的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點A(40,0)且與原點的距離最大.此時z=2x+y取最大值.故每天應(yīng)只生產(chǎn)甲種煙花40枚可獲最大利潤.某運輸公司接受了向抗洪搶險地區(qū)每天至少運送180t支援物資的任務(wù)，該公司有8輛載重為6t的A型卡車和4輛載重為10t的B型卡車，有10名駕駛員，每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車4次，B型卡車3次，每輛卡車每天往返的成本費A型車為320元，B型車為504元，請你給該公司調(diào)配車輛，使公司所花的成本費最低.［解析］設(shè)每天調(diào)出A型車x輛，B型車y輛，公司所花的成本為z元，則由題意知

xW8,yW4,目標函數(shù)為z=320x+504y目標函數(shù)為z=320x+504y(其中x,y^N).作出可行域如圖4xX6+3yX10三180,x±0,y±0，所示.X-ty=iO、y\^=8\\\\j=4艙伽+504尸0“\\■\04745由圖易知，當直線z=320x+504y在可行域內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點中，點(8,0)使z=320x+504y取得最小值，zmin=320X8+504X0=2560,A每天調(diào)出A型車8輛，B型車0輛，公司所花成本費最低.14.(1)求函數(shù)y=x——^+x(x>3)的最小值;解析：°.°x>3,X_j+x=x_3+(x_3)+3>5,當且僅當x_3=x_3，即x=4時取等號.Aymin=5-⑵求函數(shù)y=x(a—2x)(x>0,a為大于2x的常數(shù))的最大值;解析：Tx>0,a>2x,??y=x(a_2x)=2*2x?(a_2x)三12°2_a2=1，2x+(a-2x)12°2_a2=1，2當且僅當x=a時，取等號,(3)已知x>0,y>0,2x+5y=20，求尸lgx+lgy的最大值.解析：T解析：Tx〉。，y>0,2x+5y=20,.*.xy<10,.??“=lgx+lgy=lg(xy)<lg10=1,當且僅當2x=5y=10,即x=5,y=2時上式取等號，當x=5,y=2時，〃=lgx+lgy取最大值，最大值為1.15.圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用的舊墻需維修），其他三面圍墻要新建，在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如右上圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m,新墻的造價為180元/m.設(shè)利用的舊墻長度為x（單位:m）,修建此矩形場地圍墻的總費用為y（單位：元）.（1）將y表示為x的函數(shù)；解析：如圖所示，設(shè)矩形的另一邊長為am,h*廠j*]■I■]?]■I*I■T^~TlX滬a則y=45x+180(x-2)+180x2a=225x+360a—360.360由已知xa=360，得a=.所以y=所以y=225x+3602—x360(x>0).（2）試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用.解析：Tx〉。，..225x+3602>A1'225x3602=10800.x?.y=225x+3602—360>10440.丿x—當且僅當225x=3602時，等號成立.x即當x=24m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10440強化練習(xí)一選擇題1.（2010?2011?內(nèi)蒙古赤峰市田家炳中學(xué)高二期中）已知a<0，—1vbv0,則下列各式正確的是（）A.a>ab>ab2B.ab>a>ab2C.ab2>ab>aD.ab>ab2>a[答案]D

［解析］lvb<0l>b2>0>b>—1,即b<b2<1，兩邊同乘以a<0，:,ab>ab2>a.故選D.2.如果a、b、c滿足cvbva，且ac<0,那么下列選項中不一定成立的是（）A．a(chǎn)b>acB．bc>acC.cb2<ab2D.ac(a－c)<0［答案］C［解析］?:c<b<a，且acv0,.：a>0,c<0..?.ab—ac=a(b—c)>0,bc—ac=(b—a)c>0,ac(a—c)v0,.：A、B、D均正確.Vb可能等于0,也可能不等于0.cb2<ab2不一定成立.已知a+b>0,b<0,那么a,b,~a,~b的大小關(guān)系為()A.a>b>——b>——aB.a>——b>——a>bC.a>－b>b>－aD.a>b>－a>－b［答案］Ca+b>03a>—b］［解析］>3a>—b>03—aVbV0.選C.bV03—b>0.［點評］可取特值檢驗.*.*a+b>0,b<0,.°.可取a=2,b=——1,.°.——a=——2,——b=1,.°.——a<b<——b<a，排除A、B、D,??.選C.設(shè)x<a<0,則下列各不等式一定成立的是()A.x2<ax<a2B.x2>ax>a2D.x2>a2>axCD.x2>a2>ax［答案］Bx<a<0x<a<0［解析］x<0a<0［x2>ax］>^^x2>ax>a2..［ax>a2選B.5.下列結(jié)論中正確的是5.下列結(jié)論中正確的是()aba>b>0,d>c>0n；>d，a>b,c>dda——c>b——d,2>“~a>b,c2c2a>bdan>bn(nWN,n>1).A.①②③B.①③C.②③④D.①③④［答案］［解析］d>c>0J>d>。'cda>b>0一=a>d：?①對a>C.②③④D.①③④［答案］［解析］d>c>0J>d>。'cda>b>0一=a>d：?①對a>b，—c<_d不同向不可加，.?.②錯.仁，?:c2>°??:a>b.③對;只有a>b>0時，對任意正整數(shù)n>1才有an>bn，:?④錯.故選B.6.設(shè)a=\/2,b=p7—-j3,c=、/6—p2，貝9()A.cVbVaB.aVcVbC.cVaVbD.bVcVa［答案］D［解析］假設(shè)a>b即V2><7—73,:.\/2+翻><7，平方得百>1成立，：.a>b排除B、C.又假設(shè)b>c,即朗—込〉、招—迂:.浙+邊>晶+晶，平方得習(xí)'T4>pT8顯然不成立bVc排除A.7.已知：0<a<b<1,x=ab，y=logbQ,z=log；b，則(A.z<xVyB.z<y<xC.y<z<x［答案］AD.x<z<y［解析］y=logba>logbb=1,OVx=abVao=1,z=logab<0,.°.z<xVy.8.若a,b是任意實數(shù)，且a>b,貝9()A.a2>b2Bb<1aC.lg(a－b)>0［答案］D［解析］舉反例，A中2>—5但22V(—5)2；B中一2>—5但—^>1；C中a=5,b=4時，lg(a—b)=0,故選D.9.如圖，在一個面積為200m2的矩形地基上建造一個倉庫，四周是綠地，倉庫的長a大于寬b的4倍，則表示上面敘述的關(guān)系正確的是()

A.a>4baA.a>4ba>4bc.{［(a+4)(b+4)=200［答案］C10.(a+4)(b+4)=200a>4bD.<4ab=200已知一lvavO,A=l+a2,B=1—a2,C=11+a'比較A、B、C的大小結(jié)果為（B.BvAvCAB.BvAvCC.AvCvBDC.AvCvB［答案］B153［解析］不妨設(shè)a=—2，則A=~4,B=4,C=2,由此得BvAvC,排除A、C、D,選B.［點評］具體比較過程如下：由一lvavO得1+a>0,A—B=(1+a2)—(1—a2)=2a2>0得A>B,1,a(a2+a+1)—4=吊一(1+a2)=—1+a34_1+34_1+aa+2)2+4>0,得C>A,:.BvAvC.設(shè)a+bvO,且a>0,貝％)A.a2v——abvb2B.b2v——abva2C.a2vb2v——abD.abvb2va2［答案］A［解析］Ta+bvO,且a>0,.°.Ovav—b,a2v——abvb2.已知a2+a<0,那么a,a2,——a,——a2的大小關(guān)系是()A.a2>a>——a2>——aB.——a>a2>——a2>aC.——a>a2>a>——a2D.a2>——a>a>——a2［答案］B［解析］*/a2+av0,A0va2v—a,A0>—a2>a,學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)和參考學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)和參考,如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除+2+2學(xué)習(xí)資料/.a<—a2<a2<—a，故選B.［點評］可取特值檢驗，°.°a2+a<0,即a(a+l)vO，令a=—2，則。2=才，—a2=—才‘－a1.111－a1.1112，??2>4>_4>_2,即一a>a2>—a2>a，排除A、C、D,選B.13.如果a>0,且aM1,M=loga(a3+1),N=loga(a2+1)，那么()A.M>NB.M<NC.M=ND.M、N的大小無法確定［答案］A［解析］a>1時a3+1>a2+1,logax單調(diào)遞增，?.loga(a3+1)>loga(a2+1)；0<a<1時，a3+1<a2+1,logax單調(diào)遞減，Ioga(a3+1)>loga(a2+1)，故選A.［點評］可對a取值檢驗.bb+1a>a+114?若bb+1a>a+12a+ba.a＋2b>2a+ba.a＋2b>bC.a+b>b+a［答案］C［解析］解法1：由a>b>OnO<a<bna+b>b+a，故選C.解法2：(特值法)令a=2,b=1,排除A、D,再令a=2，b=3，排除B.15.若十<1<0，給出下列不等式：①a+b<ab:②al>lbl；③a<b；④^+》>2.其中正確的有()A.1個B.2個C.3個D.4個［答案］B［解析］?.?a<b<0,.?.a<0,b<0,a>b,故③錯;/.ab>0,Aa+b<0<ab，故①成立；又0>a>b,.?.lal<lbl..?.②錯；??b+a=b2+a2=(a—b)2+2ab=(a—b)2ababababba且a—b<0,ab>0,.：a+b>2,「.④成立.學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)和參考學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)和參考,如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料.?.①④正確.選B.（2010?2011.醴陵二中、四中聯(lián)考）下列結(jié)論中正確的是（）若a>b,c>d，貝9a^c>b^d若a>b,c>d，貝9ac>bd若a>b,c>d，貝9a_c>b_d若a>b,c>d,則C>d［答案］A［解析］由不等式的性質(zhì)知A正確.［點評］要注意不等式性質(zhì)中條件的把握.已知Ialv1,則士與1—a的大小關(guān)系為（）A.<1—aa＋1B?>1—aa＋1C.三1—aa＋1［答案］C［解析］?.?Ialv1,.?.1+a>0D.W1—aa＋11a2?皿-（1-a尸吊上0/.~TT上1—a.a＋1［點評］如果aGR,士與1—a的大小關(guān)系如何，請嘗試探究，體會分類討論思想.18.若0<a<b<1，下列不等式中正確的是（）A.aa<abB.ba<bbC.aa<ba［答案］CD.bb<ab［解析］由y=ax,y=bx與y=xb,y=xa的單調(diào)性可得.或取a=4，b=*檢驗知選C.cd19.已知三個不等式：ab>0,bc—ad>0,方一b>°（其中a，b,c,d均為實數(shù)）.用其中兩個不等式作為條件，余下的一個不等式作為結(jié)論組成一個命題，可組成的正確命題的個數(shù)是（）A.0B.1C.2［答案］DD.3

［解析］設(shè)ab>0為①，bc—ad>0為②，cd?a—b>°為③，若①②成立，則Ob（bc—ad）>0,即a—d>0，即③成立；若①③成立，則ab（^—b）>0，即bc_ad>0,即②成立；若②③成立，則由③得如—〈0，由②bc—ad>0得ab>0，即①成立．故正確命題個數(shù)為3個，選D.［點評］運用不等式性質(zhì)時，一定要注意不等式成立的條件，若弱化了條件或強化了條件都可能得出錯誤的結(jié)論．nn20.若一于a邙<2，則a—B的取值范圍是（）A.(—n,n)B.(0,n)C.(—n,0)D.{0}［答案］C［解析］v—n<B<2，A—n<—B<nnn.又—2<a<2，?：—n<a—B<n又a<B，.：a—B<0,.°.—n<a—B<0.21.不等式9x2+6x+1W0的解集是()A.{xlxM—3}B.{xA.{xlxM—3}D.1-3C.D.1-3［答案］D［解析］變形為（3x+l）2W0..?.x=22.不等式3x2—x+2<0的解集為（)A.0B.Rc.{xi—3<x<2}D.{xWR“6}［答案］A

［解析］—23VO,開口向上,/.3x2—x+2V0的解集為0.23.函數(shù)y=\：x2+x—12的定義域是()A.{xlxV—4,或x>3}B.{xl—4<x<3}C.C.{xlxW—4,或x±3}D.{xl—4WxW3}［答案］C［解析］使y=\；x2+x—12有意義，則x2+x—1220.(x+4)(x—3)三0,.：xW—4,或x23.24.函數(shù)y=log|(x2—1)的定義域是()A.［—；'2,—1)U(1,'2］B.［—'2,—1)U(1,'2)C.［—2,—1)U(1,2］D.(—2,—1)U(1,2)［答案］A［解析］Vlog|(x2—1)20,A0<x2—1<1,1Vx2W2,1<xW)：2或一p2Wx<—1.(2011?廣東文，5)不等式2x2—x—1>0的解集是()(-2，1)(1,+^)(一8,1)U(2,+b)(—^,—|)U(1,+^)［答案］D［解析］2x2—x—1=(2x+1)(x—1)>0,所以不等式的解集為(一8,—2)U(1,+e).對于任意實數(shù)x,不等式(a—2)x2—2(a—2)x—4<0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍()A.(—I2)B.(—I2］(—2,2)D.(—2,2］［答案］Dfa一2<0［解析］當a=2時，—4<0恒成立；當占2時，.(a—2)2+16(a—2)<0<2,綜上得一2<aW2.

27.已知集合A={xl3x—2—x2<0},B={xlx—aVO}且BA,則a的取值范圍是()A.aWlB.l<aW2C.a>2D.aW2［答案］A［解析］A={xlxV1或x>2},B={xlxVa},VBA,.：aW1.3x—1)B.{xIx)B.{xIxW4或x>2}D.{xlx<2}A.{XI4WXW2}C.{x|4<x<2}［答案］C［解析］［解析］3x—1、不等式口上1'4x—3、化為：石二-三0,x；WxV2.29.若a<0；WxV2.29.若a<0,則關(guān)于x的不等式x2—4ax—5a2>0的解是()A.x>5a或x<—aB.x>—a或x<5aC.5a<x<—aD.—a<x<5a［答案］B［解析］化為：(x+a)(x—5a)>0,相應(yīng)方程的兩根x1=—a,x2=5a*/a<0,Ax1>x2.A不等式解為x<5a或x>—a.30.如果方程x2+(m—1)x+m2—2=0的兩個實根一個小于一1,另一個大于1,那么實數(shù)m的取值范圍是()A.(—辺，邁)B.(—2,0)C.(—2,1)D.(0,1)［答案］D［解析］f(1)<0令f(x)=x2+(m—1)x+m2—2,貝止1)0「m2+m—2<0,.：0<m<1m2—m<031.若0<t<1,則不等式x2—(t+*x+1<0的解集是()A.{A.{xl1<x<t}tC.{xlx<￡或x>t}t［答案］DB.{xlx>-或x<t}t{xlt<x<~}t［解析］化為(x—t)(x—1)V0?.?OVtVl,.：1>1>t,At<x<7,tt已知不等式x2+ax+4V0的解集為空集，則a的取值范圍是()A.—4WaW4B.-4<a<4C.aW—4或a三4D.a<—4或a>4［答案］A［解析］欲使不等式x2+ax+4<0的解集為空集，則△=a2—16W0,.：—4WaW4.若f(x)=—x2+mx—1的函數(shù)值有正值，則m的取值范圍是()A.m<—2或m>2B.—2<m<2C.mM±2D.1<m<3［答案］A［解析］Vf(x)=—x2+mx—1有正值，/.△=m2—4>0,.：m>2或m<—2.若方程7x2—(k+13)x+k2—k—2=0有兩個不等實根x1，x2，且0<x1<1<x2<2,則實數(shù)k的取值范圍是()—2<k<—13<k<4—2<k<4—2<k<—1或3<k<4［答案］D△>0［解析］結(jié)合△>0［解析］結(jié)合f(x)=7x2—(k+13)x+k2—k—2的圖象知:<幾0)>0幾1)<0f(2)>0加)>0O1f(1)<00夬2)>0k2—kk2—k—2>0<k2—2k—8<0、k2—3k>0C.1a>4D.a>0或a<—12k<—1或k>20\—2<k<40—2<k<—1或3<k<4.、k<2或k>3［點評］注意結(jié)合數(shù)軸找不等式解集的交集.35.（2011?河南湯陰縣一中高二期中）設(shè)對任意實數(shù)x^［—1,1］，不等式x2+ax—3a<0總成立.則實數(shù)a的取值范圍是（）A.a>0B.a>2［答案］B［解析］設(shè)fx)=x2+ax—3a，則由條件知TOC\o"1-5"\h\z炎1)<0.卩一4av0.1<,??*,??a>c?f—1)vO〔1—2av0236.已知集合A={xlx2—2x—3>0},B={xlx2—5ax+4a2W0},AQB={xl3<xW4}，貝Va的值為()A.1B.4C.1或4D.3［答案］A［解析］A={xlx<—1或x>3},TAQB={xl3<xW4},.：x=4是方程x2—5ax+4a2=0的根，.：a2—5a+4=0,.?.a=1或4,當a=1時，B={xlx2—5x+4W0}={xl1WxW4},.：AQB={xl3<xW4}成立；當a=4時，B={xlx2—20x+64W0}={xl4WxW16},.：AQB={xl4WxW16}與條件矛盾，.：a=1.fx+2,xWO,(2008?天津)已知函數(shù)f(x)=\,則不等式fx)±x2的解集為()、一x+2,x>0,A.［－1,1］B.［－2,2］C.［一2,1］D.［一1,2］［答案］A［解析］不等式fx)±X2化為xWOfx>0⑴L+22X2或⑵I-x+22x2?解不等式組(1)得一1WxWO；解不等式組(2)得0<xW1.因此原不等式的解集是［—1,1］,選A.已知不等式①x2—4x+3V0；②x2—6x+8V0；③2x2—9x+mV0,若同時滿足①②的x也滿足③，則有()A.m>9B.m=9C.mW9D.0<m<9［答案］C［解析］①的解集是｛xl1Vx<3｝；②的解集是｛xl2Vx<4｝,???同時滿足①②的x取值集合是｛xl2Vx<3｝,即當2<x<3時，2x2—9x+m<0.令fx)=2x2—9x+m

.風2応0，.一..mW9.f(3)W0.39.二次方程x2+(a2+l)x+a—2=0,有一個根比1大，另一個根比一1小，則a的取值范圍是()A．—3<a<1B．—2<a<0C．—1<a<0D．0<a<2［答案］Cf(—1)<0［解析］f(X)=X2+(a2+彷+a-2開口向上，由題設(shè)條件f(i)<o—a2+a—2<0，.:—1vav0.a2+a<040.（2009?40.（2009?江西）函數(shù)y=x的定義域為(A.［—4,1］B.［—4,0)C.(0,1］D.［—4,0)U(0,1］［答案］D—x2—3x~|~40［解析］要使函數(shù)有意義，則需(亠“，解得一4WxW1且xM0,故定義域xM0為［―4,0)U(0,1］.不在3x+2yV6表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是()A.(0,0)B.(1,1)C.(0,2)D.(2,0)［答案］D［解析］將點的坐標代入不等式中檢驗可知，只有(2,0)點不滿足3x+2yV6.y<x,不等式組］x+yW1，表示的區(qū)域為D,點P1(0,—2)，點P2(0,0),貝％)、y±3.A.A.P^D,P2年DC.P1GD,P2年D［答案］AB.P^D,P2WDD.P1^D,P2gd［解析］P1點不滿足y±3.P2點不滿足yVx..°.選A.43.圖中陰影部分表示的區(qū)域?qū)?yīng)的二元一次不等式組為()x+y—1三0,x+y—1W0x—2y+2x+y—1W0x—2y+2W0C.x+y—1三0,C.x+y—1三0,x—2y+2W0x+y—1W0,x—2y+220D.［解析］取原點0(0,0)檢驗滿足x+y—1W0,故異側(cè)點應(yīng)為x+y—1三0,排除B、D.O點滿足x—2y+220,排除C..?.選A.44.不等式組，x44.不等式組，‘c表示的平面區(qū)域是(x—y十3V02I［答案］D2I［解析］???原點0(0,0)的坐標代入兩個不等式都不成立,故平面區(qū)域應(yīng)在直線x=2的右側(cè)和直線x—y+3=0的上方，故選D.45.不等式x2—y2±0表示的平面區(qū)域是(［答案］B［解析］將(±1,0)代入均滿足知選B.

46?不等式組廣T；)(x+y+15表示的平面區(qū)域是()—lWxW4B?—個三角形B?—個三角形D.等腰梯形C.梯形［答案］B［解析］如圖.（.（+5*1-4）1?（O圖佗）r=4*/(x—y+1)(x+y+1)三0表示如圖(1)所示的角形區(qū)域.且兩直線交于點A(—1,0).故添加條件一1WxW4后表示的區(qū)域如圖(2).［點評］一般地Qx+bj+cXazx+bzy+c&Oa，b.不同時為0,i=1,2)表示一對頂區(qū)域.請再練習(xí)下題：，(x—y+5)(x+y)三0不等式組仁孑二。表示的平面區(qū)域是一個()0WxW3A.三角形B.直角梯形C.梯形D.矩形［答案］C［解析］Vx=0與x=3是兩條平行直線，而x—y+5=0與x+y=0是不平行的兩直線,畫圖可見此區(qū)域是一個梯形.jr=3

jr=3x—4y+3W047.不等式組』3x+5y—25W0所表示的平面區(qū)域圖形是（）、x21四邊形第二象限內(nèi)的三角形第一象限內(nèi)的三角形不確定［答案］C［解析］不等式x—4y+3W0表示的區(qū)域是直線x—4y+3=0及其左上方，不等式3x+5y—25WO表示的區(qū)域是直線3x+5y—25=0及其左下方；不等式x±1表示的區(qū)域是直線x=1=1及其右側(cè).所以選C.x—y+620,48.不等式組<x+y±O,、xW3.A.18C.72［答案］B［解析］作出平面區(qū)域如圖.表示的平面區(qū)域的面積是（）B.36D.144■j■j交點A(—3,3)、B(3、9)、C(3,—3),-S^abc=2[9—(―3)]X[3—(―3)]=36.49.已知直線l：ax+by+c=O（a,b不同時為零，c<0），點P（x0，y0）和坐標原點位于直線l同側(cè)，則點P到直線l的距離等于（）A.ax0+by0+caA.ax0+by0+ca2+b2B.ax0+by0+ca2+b2C.±ax0+by0+a2+b2D.以上都不對［答案］B［解析］?原點0（0,0）滿足ax+by+cV0.又P與O在直線l同側(cè)，.?.ax0+by0+c<0由laxn+byn+claxn+byn+c、丄點到直線的距離公式d=汁儀=—?.選B.a2+b2a2+b24x+3yV1250.不等式組Sx—yW—1表示的平面區(qū)域內(nèi)整點個數(shù)是（）ly±oB.6AB.6C.7DC.7［答案］［解析］可行域如圖,［解析］可行域如圖,可行域內(nèi)的整點有:（0,1）、（1,1）、（2,1）、（1,2）,故選D.51.設(shè)x2+y2W1表示的平面區(qū)域?qū)?yīng)點集為M.lxl+lylW1表示的平面區(qū)域?qū)?yīng)點集為N則M與N的關(guān)系是（）A.MNB.MNC.M=ND.M與N無包含關(guān)系［答案］B［解析］如圖.x2+y2W1表示00內(nèi)部及邊界的平面區(qū)域M,lxl+lylW1表示正方形ABCD內(nèi)部及邊界的平面邊域N.顯然MN.故選B.

［點評］兩個平面區(qū)域M、N的關(guān)系，只要畫出圖形找出平面區(qū)域M、N,則由圖可直觀看出.請再練習(xí)下題：52已知集合A={(x,y)llxl+lylWl},B={(x,y)l(y—x)(y+x)WO},M=AHB，則M的面積為()A.4B.1C.V2D.2［答案］B［解析］集合A表示的平面區(qū)域是一正方形，B={(x,y)l(y—x)(y+x)WO}={(x,y)llylWlxl}2如圖M=AHB為圖中陰影部分是兩個邊長為亍的小正方形區(qū)域.53.點(1,2)和點(一1,3)在直線2x+ay—1=0的同一側(cè)，則實數(shù)a的取值范圍是()B.B.a>1A.a<—2C.a<—2或a>1D.—2<a<1［答案］C［解析］由題意知，（2a+1）（3a—3）>0,.：aV—2或a>1.54.若x±0,y±0,且x+yW1,則z=x—y的最大值為（）A.—1B.1D.—2D.—2［答案］B

［解析］可行域為圖中△AOB,當直線y=x—z經(jīng)過點B時，一z最小從而z最大/.zmax=1.x—y+520,55.已知x,y滿足約束條件＜x+y±O,則z=2x+4y的最小值為（）、xW3,A.5'B.—6C.10D.—10［答案］B［解析］可行域為圖中△ABC及其內(nèi)部的平面區(qū)域，當直線y=—2+4經(jīng)過點B（3,—3）時，z最小,Z3）時，z最小,Zmin=T=1x±1,TOC\o"1-5"\h\z56.（2010.福建文，5）若x,yWR,且＜x—2y+320,則z=x+2y