雙曲線的簡單幾何性質(2) 同步練習-高二上學期數學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

第=page1515頁，共=sectionpages1515頁3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(2)一、單選題1.已知斜率為1的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點，若，則直線l的方程為

(

)A. B. C. D.2.已知圓的一條切線與雙曲線沒有公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍是(

)A. B. C. D.3.設是雙曲線的兩個焦點，O為坐標原點，點P在C上且，則的面積為

A.3 B. C. D.54.已知，是雙曲線C：的兩個焦點，，離心率為，是雙曲線C上的一點，若，則的取值范圍是(

)A. B. C. D.5.若直線與雙曲線有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為(

)A. B. C. D.6.已知雙曲線方程為，過的直線L與雙曲線只有一個公共點，則L的條數共有(

)A.4條 B.3條 C.2條 D.1條7.已知雙曲線C：，若直線l：與雙曲線C交于不同的兩點M，N，且M，N都在以為圓心的圓上，則m的取值范圍是(

)A. B.

C. D.二、多選題8.已知雙曲線C：的左，右焦點分別為，，過作垂直于漸近線的直線l交兩漸近線于A，B兩點，若，則雙曲線C的離心率可能為(

)A. B. C. D.9.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，左、右頂點分別為A、B，O為坐標原點．點P為雙曲線上任意一點異于實軸端點，過點作的平分線的垂線，垂足為Q，連接則下列結論正確的有.(

)A. B.

C. D.三、填空題10.若直線與雙曲線交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓上，則m的值為__________.11.直線與雙曲線相交于不同的兩點若點分別在雙曲線的左、右兩支上，則實數k的取值范圍為__________；若以線段AB為直徑的圓經過坐標原點，則實數k的值為__________.12.已知雙曲線C：的右焦點為F，過F的直線l與C交于A、B兩點，若，則滿足條件的l的條數為__________.13.已知雙曲線的離心率為2，，分別是雙曲線的左、右焦點，點，，點P為線段MN上的動點，當取得最小值和最大值時，的面積分別為，，則__________.四、解答題14.設A，B分別為雙曲線的左，右頂點，雙曲線的實軸長為，焦點到漸近線的距離為求雙曲線的方程；已知直線與雙曲線的右支交于M、N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使，求t的值及點D的坐標.15.如圖，平面上，P、Q兩地間距離為4，O為PO中點，M處為一基站，設其發(fā)射的電波為直線，測量得，且O、M間距離為，現一機器人N正在運行，它在運行過程中始終保持到P地的距離比到Q地的距離大、O、M、N及電波直線均共面，請建立適當的平面直角坐標系.求出機器人N運行的軌跡方程；為了使機器人N免受M處發(fā)射的電波的影響即機器人接觸不到過點M的直線，求出電波所在直線斜率k的取值范圍.16.已知雙曲線E：的兩條漸近線方程為，且點為E上一點．求E的標準方程；設M為E在第一象限的任一點，過M的直線與E恰有一個公共點，且分別與E的兩條漸近線交于點A，B，設O為坐標原點，證明：面積為定值．17.已知雙曲線的離心率為2，過點且斜率為1的直線l交雙曲線C于A，B兩點.且求雙曲線C的標準方程.設Q為雙曲線C右支上的一個動點，F為雙曲線C的右焦點，在x軸的負半軸上是否存在定點使得？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

答案和解析1.【答案】B

解：設直線l的方程為，，

由得，

則，，

又因為，且A、B是直線l與雙曲線右支的交點，

所以，且，

即，且，

解得，且，

所以，

所以直線l的方程為

故選

2.【答案】B

解：由題意，圓心到直線的距離，，

圓的一條切線與雙曲線沒有公共點，

與其中一條漸近線斜率比較即可，

，，

雙曲線C的離心率的取值范圍是

故答案選：

3.【答案】D

解：由已知得

設，

由，得，

所以，

代入，解得

所以，

故選

4.【答案】A

解：由題意，，，，

雙曲線方程為

，

，

，

，

，

故選：

5.【答案】B

解：雙曲線的漸近線方程為，

由雙曲線與直線有交點，

則有，

即有，

則雙曲線的離心率的取值范圍為

故選：

6.【答案】B

解：由題意可得：雙曲線的漸近線方程為：，

點是雙曲線的右頂點，故直線與雙曲線只有一個公共點；

過點平行于漸近線時，直線L與雙曲線只有一個公共點，有2條，

所以，過的直線L與雙曲線只有一個公共點，這樣的直線共有3條.

故選

7.【答案】A

解：設，，

由，

則①，

且，，

設MN的中點為，則，，

，N在以A為圓心的圓上，，

為MN的中點，

，

，②，

由①②得或，

故選8.【答案】BC

解：由題意得直線l垂直于漸近線，則，

由雙曲線性質得，，

由，得或

當時，如圖：

在中，，

由雙曲線漸近線性質得，，

因此有

，化簡得，

故離心率；

當時，如圖：

在中，，在中，，

因為，利用二倍角公式，得，

化簡得，故離心率

綜上所述，離心率e的值為或

故選

9.【答案】ABD

解：如圖所示：

A選項，延長交于點C，

因為PQ為的平分線，，

故Q為的中點，，

又因為，即O為的中點，

故OQ為的中位線，

所以，，

又因為P、、C共線，

故，故A正確；

B選項，由定義可知，

因為，而，

故，而，

故，故B正確；

C選項，若，

則，

則，題中無說明，故不成立，故C錯誤；

D選項，因為，，

當軸時，，故D正確.

故選：

10.【答案】

解：設A，B兩點的坐標分別為，，線段AB的中點為

由得，

則，

，

點在圓上，

，

故答案為

11.【答案】解：由直線與雙曲線，得，因為A，

B在雙曲線的左右兩支上，所以，解得假設存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過坐標原點，設，，則，即，，即，，整理得，符合條件，

故答案為；

12.【答案】3

解：，，，則，若A、B都在右支上，當AB垂直于x軸時，將代入得，則，滿足，若A、B分別在兩支上，，兩頂點的距離為，滿足的直線有2條，且關于x軸對稱，綜上滿足條件的l的條數為故答案為：13.【答案】4

解：離心率為，即，，

，，可得MN的方程為，

設，，，

可得，

由表示原點O與P的距離的平方，

顯然OP垂直于MN時，最小，

由OP：，即，聯立直線，

可得，即，

當P與N重合時，可得最大，

可得，

即有

故答案為：

14.【答案】解：雙曲線的漸近方程為，焦點為，

焦點到漸近線的距離為，

又，

，

雙曲線的方程為

設點，

由得：

，

，

，，

有，

又點在雙曲線上，

，

解得，點D在雙曲線的右支上，

，

，此時點

15.【答案】解：如圖所示，以點O為坐標原點，以PQ所在的直線為x軸建立直角坐標系，

則，設點，則，所以動點N是以點為焦點的雙曲線的右支，由題得，所以，所以動點N的軌跡方程為由題得點M的坐標為，設直線的方程為，即：，聯立直線和，

消去y得當時，若，此時直線就是雙曲線的漸近線，符合題意；

當，此時直線與雙曲線右支一定有交點，不符合題意；當時，由得，所以，所以綜合得所以電波所在直線斜率k的取值范圍

16.【答案】解：當時，E的標準方程為，代入，解得

故E的標準方程為

直線斜率顯然存在，設直線方程為，與聯立得：

由題意，且，化簡得：

設，

將與聯立，解得；與聯立，解得

由，，故面積為定值

17.【答案】解：設雙曲線C的焦距為2c，由