期權(quán)定價公式及其應(yīng)用

1.

Black-Scholes公式經(jīng)典的Black-Scholes期權(quán)定價公式是對于歐式股票期權(quán)給出的。其公式為其中T是到期時間，S是當(dāng)前股價，是作為當(dāng)前股價和到期時間的函數(shù)的歐式買入期權(quán)的價格.第九章期權(quán)定價公式及其應(yīng)用一、引言第一節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式K是期權(quán)的執(zhí)行價格，r是無風(fēng)險證券的（瞬時）收益率，稱為股價的波動率{volatility,這是一個需要測算的參數(shù)}稱為累積正態(tài)分布函數(shù)，定義為圖1期權(quán)價格曲線隨到期時間T的變化

Black-Scholes公式的方便之處在于除股價的波動率外，其他參數(shù)都是直接在市場上可以找到的。例如,如果這里價格以元計(jì),時間以年計(jì),從而涉及的兩個比率都指的是年率。那么（以下的等號實(shí)際上都是近似等號）把這些值代入公式，得到:利用累積正態(tài)函數(shù)在點(diǎn)2.8017和2.7267處的近似值，買入期權(quán)的價格是3.3749，即更精確的計(jì)算可得:2.金融資產(chǎn)的定價問題

金融資產(chǎn)的定價問題(assetvaluation)是現(xiàn)代財(cái)務(wù)金融理論的一個基本問題。對于具有固定現(xiàn)金流的金融產(chǎn)品、如債券等金融工具，其價格都是通過凈現(xiàn)值方法來確定的。對于期權(quán)來講，其風(fēng)險究竟有多大?如何計(jì)算出相應(yīng)的風(fēng)險溢價以及未來的現(xiàn)金流?這都是較為難解決的問題。3.Black-Scholes公式發(fā)展過程(1)巴列切爾公式(Bachelier1900)n是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)

法國數(shù)學(xué)家Bachelier·Louis,在其博士論文《TheTheoryofSpeculation》中首次給出了歐式買權(quán)的定價公式但他在建立模型時有3個假設(shè)與現(xiàn)實(shí)不符。第一，假設(shè)標(biāo)的股票的價格服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。這使得股價出現(xiàn)負(fù)值的概率大于零，從而與現(xiàn)實(shí)明顯不符。第二，認(rèn)為在離到期日足夠遠(yuǎn)的時候,買權(quán)的價值可能大于標(biāo)的股票的價值，這顯然也是不可能的。第三，假設(shè)股票的期望報(bào)酬(即股價變化的平均值)為零，這也違背了股票市場的實(shí)際情況。

(2)斯普倫克萊(Sprenkle,1961)

在Bachelier的研究基礎(chǔ)上,人們對期權(quán)定價問題進(jìn)行了長期的研究。1961年Sprenkle提出了“股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布”的基本假設(shè)，并肯定了股價發(fā)生隨機(jī)漂移的可能性。是股票價格的平均增長率，A是對應(yīng)的風(fēng)險厭惡程度。其中(3)博博內(nèi)斯(Boness,1964)其中，1964年，，Boness將貨幣時時間價值的概概念引入到期期權(quán)定價過程，但但他沒有考慮慮期權(quán)和標(biāo)的的股票之間風(fēng)風(fēng)險水平的差異。(4)塞塞繆爾森(Samuelson,1965)其中是期權(quán)權(quán)價格格的平平均增增長率率。1965年年，著著名經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)家薩薩繆爾爾森(Samuelson)把上上述成成果果統(tǒng)一一在一一個模模型中中。在1973年Black和Scholes提出出Black——Scholes期期權(quán)定價模模型.我們可可以看看到，，所有有這些些公式式都與與后來來的Black-Scholes公式式有許許多相相似的的地方方。1969年年，他他又與與其研研究生生Merton合作作，提提出了了把期期權(quán)權(quán)價價格作作為標(biāo)標(biāo)的股股票價價格的的函數(shù)數(shù)的思思想。。20世世紀(jì)60年年代末末，兩兩人開開始合合作研研究期期權(quán)的的定價價問題,并并找到到了建建立期期權(quán)定定價模模型的的關(guān)鍵鍵突破破點(diǎn),即構(gòu)構(gòu)造一一個由標(biāo)標(biāo)的股股票和和無風(fēng)風(fēng)險債債券的的適當(dāng)當(dāng)組合合(買買入適適當(dāng)數(shù)數(shù)量的的標(biāo)的股股票,同時時按無無風(fēng)險險利率率借入入適當(dāng)當(dāng)金額額的現(xiàn)現(xiàn)金)。該該組合具具有這這樣的的特點(diǎn)點(diǎn),即即無論論未來來標(biāo)的的資產(chǎn)產(chǎn)價格格如何何變化化,其損益益特征征都能能夠完完全再再現(xiàn)期期權(quán)在在到期期日的的損益益特征征。Black和Scholes得到到了描描述期期權(quán)價價格變變化所所滿足足的隨機(jī)偏偏微分分方程程，即即所謂謂的B—S方程程。從而得得出了了期權(quán)權(quán)定價價模型型的解解析解解,這這就是是B——S模模型。。Merton也也對期期權(quán)定定價理理論和和實(shí)踐踐的發(fā)發(fā)展做做出了了獨(dú)立立的和開創(chuàng)創(chuàng)性的的貢獻(xiàn)獻(xiàn),他他幾乎乎在與與Black和和Scholes同同一時時間,得到了期期權(quán)定定價模模型及及其他他一些些重要要的成成果。。1976年年，Merton把把B——S期期權(quán)定定價模模型推推廣到到股票票價格格變化化可能能存在在跳躍躍點(diǎn)的的場合合,并并包含含了標(biāo)標(biāo)的股股票連連續(xù)支支付股股利的情況況，從從而把把該模模型的的實(shí)用用性又又大大大推進(jìn)進(jìn)了一一步，，學(xué)術(shù)術(shù)界將將其稱稱為Merton模模型。。另外Cox，Ross和和Rubinstein等人人還提提出了了二項(xiàng)項(xiàng)式期期權(quán)定定價模型型。他他們最最初的的動機(jī)機(jī)是以以該模模型為為基礎(chǔ)礎(chǔ)，從從而為為推導(dǎo)導(dǎo)B-S模型型提供供一種種比較較簡單單和直直觀的的方法法。但是,隨著著研究究的不不斷深深入，，二項(xiàng)項(xiàng)式模模型不不再是是僅僅僅作為為解釋B-S模型型的一一種輔輔助性性工具具,它它已經(jīng)經(jīng)成為為建立立復(fù)雜雜期權(quán)（如如美式式期權(quán)權(quán)和非非標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)的變變異期期權(quán)））定價價模型型的基基本手段。。二、Black-Scholes期權(quán)權(quán)定價價公式式（一））基本本假設(shè)設(shè)：1.股股票票價格格滿足足的隨隨機(jī)微微分方方程中中,,為常數(shù)數(shù);2.股股票票市場場允許許賣空空;3.沒沒有有交易易費(fèi)用用或稅稅收;4.所所有有證券券都是是無限限可分分的;5.證證券券在有有效期期內(nèi)沒沒有紅紅利支支付;6.不不存存在無無風(fēng)險險套利利機(jī)會會;7.交交易易是連連續(xù)的的;8.無無風(fēng)風(fēng)險利利率為為常數(shù)數(shù).(二)股股票價價格的的軌道道在通常常情況況下，，假設(shè)設(shè)股票票價格格St滿足下下列隨隨機(jī)微微分方方程：：為概率率空間間上的Brownian運(yùn)運(yùn)動（1)(三)期期權(quán)套套期保保值尋找期期權(quán)定定價公公式（（函數(shù)數(shù)）的的主要要思想想：構(gòu)造以某一一種股票以以及以該股股票為標(biāo)的的的期權(quán)的的一個證券組合，所所構(gòu)造的證證券組合正正好是一個個無風(fēng)險資資產(chǎn)的復(fù)制制。命題1設(shè)設(shè)函數(shù)關(guān)關(guān)于t一一階連續(xù)偏偏導(dǎo)數(shù),關(guān)關(guān)于x二階階連續(xù)有界界偏導(dǎo)數(shù),且滿滿足終值條條件：為期權(quán)現(xiàn)價價格(t時時刻的價格格),則是是下下列偏微分分方程的解解：為要套期保保值此期權(quán)權(quán),投資者者必須賣空空股此股票（7）下面求復(fù)制制期權(quán)的證證券組合期權(quán)價格的的分解：由此可知證證券組合（（portfolio）是自融資證證券組合(四)方方程（7））解的概率率表示命題2設(shè)設(shè)是下列隨機(jī)機(jī)微分方程程的解：其中是定義在上的P-Brownian運(yùn)運(yùn)動。又設(shè)是方程（7）式具有有有界偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的解，，則Feynman-Kac公公式成立：：(五)Black-Scholes公式式定理1股票價格設(shè)設(shè)所滿足的的方程（1）中的系系數(shù)均為常常數(shù),則期權(quán)價格格由下式給給出：證明：a)由于于所滿足的方方程(1)中的系數(shù)為常常數(shù)，由所滿足的隨機(jī)微分方程可得到,的顯示表達(dá)式：由條件期望望性質(zhì)可得得a)的結(jié)結(jié)果。對看漲期權(quán)權(quán)（Calloption）由于可令為執(zhí)行集（exerciseset）：(1)(2)(3)注⒈Black-Scholes公公式不僅告告訴我們Calloption的價格,且以以證券組合合的形式給給出：債券的套期期保值證券券組合或者者說復(fù)制Calloption的證券組合。。股股票，需購買注⒉設(shè)Calloption和Putoption的價格格分別為和，則有第二節(jié)期期權(quán)價值值的敏感性性因素分析析影響期權(quán)價價值的因素素一共有五五個，即標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)市場價格格St、執(zhí)行價格格X、無風(fēng)風(fēng)險利率r、距離到期日日時間T-t和標(biāo)的的資產(chǎn)價格格的波動率率。一、標(biāo)的的資產(chǎn)價格格變化對期期權(quán)價值的的一階影響響通常用Delta來來表示期權(quán)權(quán)價值對標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)價價格St變動的敏感性。。從而可可以近似地地表示為：：期權(quán)組合而而言，其Delta值為：二、標(biāo)的的資產(chǎn)價格格對期權(quán)價價值的二階階影響Gamma指的是期期權(quán)Delta對于于股票價格的一階偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù),也就就是期權(quán)價值值對于股票票價格的二二階偏導(dǎo)數(shù)數(shù)。買權(quán)Gamma的計(jì)算公式為：：另一方面，，由賣權(quán)Gamma的計(jì)算公公式，我們們可以知道道賣權(quán)的Gamma值值等于買權(quán)權(quán)的Gamma值，，即：⑴Gamma具有有非負(fù)性。。也就是說說,無論對對于買權(quán)還還是賣權(quán)，，在其他因素素不變時,其Delta值都都隨著股票價格格的上升而上上升，隨著股票價格的下降而下下降。⑵Gamma與st的關(guān)系。當(dāng)當(dāng)期權(quán)處于于平價狀態(tài)態(tài)附近（也也就是在附近）），其Gamma相相對比較大大；當(dāng)期權(quán)權(quán)處于較深深的虧價或盈價價狀態(tài)時,其Gamma接近近于零。⑶Gamma與時時間變量T-t的關(guān)關(guān)系。如果果期權(quán)處于于平價狀態(tài),在其他他因素不變變的情況下下,其Gamma值值隨著到期期日的臨近而變大大。三、無風(fēng)風(fēng)險利率對對期權(quán)價值值的影響買權(quán)價格對對無風(fēng)險利利率變化的的敏感度由由Rho值值來衡量，，其公式為：：由上面的計(jì)計(jì)算公式，，可得到Rho的如如下特點(diǎn)：：⑴Rhoc一般大于零零，而Rhop一般小于零零。只有在在到（T=t）），Rhoc和RhoP才會等于零零。⑵相對于于影響期權(quán)權(quán)價值的其其他因素而而言，r的的影響要小得多。⑶因?yàn)镽ho的絕絕對值與T-t成正正比，因此此對于距到到期日時間間較長的期期權(quán)，r對對于其價值值的影響不不容忽視。。四、標(biāo)的的資產(chǎn)價格格波動率對對期權(quán)價值值的影響方差或標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差是布萊萊克-斯科科爾斯模型型中的重要要變量,也也稱波動率，是是股票連續(xù)續(xù)計(jì)息收益益率的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差，它也也是公式中中唯一不可直直接觀測的的變量買權(quán)權(quán)價格對很很小的波動動率變化的的反映被稱為為Vega，即：由買權(quán)價值值與賣權(quán)價價值可知賣賣權(quán)Vega與買權(quán)權(quán)Vega完全相同同當(dāng)期權(quán)處于于平價狀態(tài)態(tài)時，其Vega值值較大；當(dāng)期權(quán)處于于較深的盈盈價或虧價價狀態(tài)時，，相應(yīng)的Vega值較較小。因此，期權(quán)權(quán)Vega隨變化的的曲線是一一個倒U形形。五、到期時時間長短對對期權(quán)價值值的影響由于到期時時間的臨近近,期權(quán)的的時間價值值下降,這這就造成期權(quán)的價格格下降。時間價值的的消耗用Theta表示，買買權(quán)Theta的定定義為始終是一個個小于零的的數(shù)則有可能大大于零，第三節(jié)期期權(quán)套期保保值的基本本原理一、有關(guān)期期權(quán)套期保保值的一個個例子綜上所述,甲所采取取的上述套套期策略具具有以下兩兩個特點(diǎn)：：第一是自融融資性(self——financing)，即即套期所需需的資金只需期初初一次性投投人,此后后，在套期期的整個過過程中不需需要增加新的的外部融資資?；蛘哒f說，套期策策略只需要要期初投入入，不需要維持持成本。第二是精確確復(fù)制性(replicating),即套期期策略能夠夠精確地復(fù)制受受險資產(chǎn)的的收益和風(fēng)風(fēng)險特征，，從而將面面對的風(fēng)險險完全抵消消。套期策略略所具有有的這兩兩個特點(diǎn)點(diǎn)具有十十分重要要的意義義。首先，自自融資性性說明套套期策略略的成本本可以在在事先確確定，即為期初初所需的的投入。。其次，精精確復(fù)制制性說明明套期策策略組合合應(yīng)當(dāng)與與受險資資產(chǎn)具有相同同的價值值，這是是由無套套利定價價原則所所決定的的。最后，既既然風(fēng)險險已經(jīng)完完全抵消消，甲所所要求的的報(bào)酬率率就應(yīng)該是無無風(fēng)險報(bào)報(bào)酬率。。二、期期權(quán)套期期保值的的基本原原理考慮一個個由m種種期權(quán)組成的投投資組合合，vi,i=1,2,……m表示示第i種種資產(chǎn)的的價格,該投資組組合的價價值V可可以表示示為：其中，是組合中中第j種種期權(quán)的的權(quán)重。。期權(quán)套期期保值的的基本思思想是構(gòu)構(gòu)造一個個頭寸,使其風(fēng)風(fēng)險暴露與原原組合的的風(fēng)險暴暴露相反反,從而而部分或或者全部部對沖掉掉風(fēng)險。如如果所構(gòu)構(gòu)造的頭頭寸,其其風(fēng)險性性質(zhì)與原原組合的的風(fēng)險性性質(zhì)呈完全全相反的的狀態(tài)，，則原組組合的風(fēng)風(fēng)險可以以被全部部消除。。這稱為完完全對沖沖。在構(gòu)造對對沖時，，就是通通過選擇擇合適的的nj,使得當(dāng)當(dāng)風(fēng)險因因素變動時，，組合價價值V能能夠保持持不變。。對于一一階風(fēng)險險，就是是選擇nj，使得：：這樣，當(dāng)當(dāng)x發(fā)生生微小變變化x時，組組合的價價值變化化為：這里，風(fēng)風(fēng)險因素素可以是是標(biāo)的股股票價格格的變化化、無風(fēng)風(fēng)險利率的變化化、時間間的變化化或者是是波動率率的變化化。第四節(jié)連連續(xù)續(xù)調(diào)整的的期權(quán)套套期策略略一、Delta套期期（Delta中性組組合）通過適當(dāng)當(dāng)?shù)卣{(diào)整整不同期期權(quán)及其其標(biāo)的資資產(chǎn)的比比例，我們可以以將風(fēng)險險暴露程程度降低低到所愿愿意的任任何程度度，甚至可以以將該資資產(chǎn)組合合對于標(biāo)標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)價格變變動的風(fēng)風(fēng)險降低到零零。這樣樣的一個個資產(chǎn)組組合,我我們稱之之為“Delta中性組合合”。我們可以以用公式式來表示示上述這這一概念念。假設(shè)構(gòu)造造這樣一一個投資資組合：：做空一一個買權(quán)權(quán)，其價價格為Ct，Delta值值為N(d1)；同時時買入數(shù)數(shù)量為N(d1)的標(biāo)的的資產(chǎn)，，其價格為為St。不難證證明，該該組合為為一個Delta中性性買權(quán)組組合。事實(shí)實(shí)上，這這個組合合當(dāng)前的的價值為為：顯然，V關(guān)于St的偏導(dǎo)數(shù)數(shù)為0，，即該組組合是一一個Delta中性組合，組組合的價價值不受受St變化的影影響。更一般地地，對于于任意一一個資產(chǎn)產(chǎn)組合而而言，總總能通過過適當(dāng)?shù)氐剡x擇n1,n2，使得整整個組合合的Deltay等于于0，也也就是：：很容易就就可以解解得：二、Delta-Gamma套期期策略Delta-Gamma套期期策略是是Delta套套期策略略的推廣廣,它指的是是構(gòu)造一一個Delta和Gamma值都為為0的組組合,即通過構(gòu)構(gòu)造一個個Delta-Gamma中中性的組組合，從從根本上回避避價格風(fēng)風(fēng)險。構(gòu)成了以以下組合合關(guān)于St求一、二二階偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)令組合的同時等于零，可得到：投資者只只要根據(jù)據(jù)計(jì)算出出來的n2和n3的值買賣賣相應(yīng)的的資產(chǎn)就可以完完全回避避手中資資產(chǎn)的價價格風(fēng)險險。三、Delta-Gamma-Vega套套期策略略如果投資資者不愿愿意承擔(dān)擔(dān)波動率率的變化對對套期結(jié)結(jié)果的影響,可可以在Delta-Gamma中性性組合的的基礎(chǔ)上上,構(gòu)造造一個Delta-Gamma-Vega中性性組合,我們需需要引進(jìn)進(jìn)第三種種期權(quán)的交交易，記記該期權(quán)權(quán)的價格格為4，交易數(shù)數(shù)量為n4新的組合合為對上式兩兩端分別別關(guān)于St求一、二二階偏導(dǎo)導(dǎo)，并且關(guān)于于求一階偏偏導(dǎo)實(shí)現(xiàn)完全全的連續(xù)續(xù)性套期期會受到到一些限限制,這這是因?yàn)闉椋旱谝?，市市場不具具備充分分的多樣樣性。第二，交易費(fèi)費(fèi)用的存在。。第五節(jié)組組合套期策略略一、90／／10策略90／10策策略又稱為保保證報(bào)酬基金金(guaranteedreturnfunds)，它有狹義義和廣義之分分。廣義的90／／10策略則則不限于上述述對投資比例例的機(jī)械劃分，而是允許許根據(jù)情況適適當(dāng)進(jìn)行調(diào)整整。狹義的90／／10策略是是指機(jī)構(gòu)投資資者將暫時閑閑置資金的90％用來購購買無風(fēng)險的的貨幣市場工工具,剩余的的10%用來來購買期權(quán)。。為保證90／／10策略的的兩個基本目目標(biāo)(保證資資本安全和得得到足夠的杠杠桿)得以實(shí)實(shí)現(xiàn)，以下兩兩個條件是必必要的，即：第一，貨幣市市場利率越高高越好；第二，買權(quán)的的價格越低越越好。這樣，，既可以減少少套期成本，又又可以增加杠杠桿程度。二、無成本本期權(quán)套期所謂無成本期期權(quán)是指兩個個期權(quán)的特殊殊組合，其中中一個期權(quán)為做多，，需要支付相相應(yīng)的權(quán)利金金，另一個期期權(quán)則為做空，并因因此得到相應(yīng)應(yīng)的權(quán)利金。。如果兩個期期權(quán)的權(quán)利金大致相相同，則該組組合的凈成本本就近似等于于零無成本套期策策略一方面避避免了出現(xiàn)巨巨大損失的風(fēng)風(fēng)險，另一方方面也失去了了獲得巨大收收益的可能性性，因此這是是一種比較保保守的選擇。。根據(jù)這一性性質(zhì)，該套期期策略比較適合投投資者預(yù)期市市場會出現(xiàn)暴暴跌或緩升，，且緩升的可能性性更大的場合合。9、靜夜夜四無無鄰，，荒居居舊業(yè)業(yè)貧。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨雨中中黃黃葉葉樹樹，，燈燈下下白白頭頭人人。。。。01:28:4701:28:4701:281/6/20231:28:47AM11、以我獨(dú)沈沈久，愧君君相見頻。。。1月-2301:28:4701:28Jan-2306-Jan-2312、故故人人江江海海別別，，幾幾度度隔隔山山川川。。。。01:28:4701:28:4701:28Friday,January6,202313、乍見見翻疑疑夢，，相悲悲各問問年。。。1月-231月-2301:28:4701:28:47January6,202314、他鄉(xiāng)生生白發(fā)，，舊國見見青山。。。06一一月20231:28:47上午午01:28:471月-2315、比比不不了了得得就就不不比比，，得得不不到到的的就就不不要要。。。。。一月月231:28上上午午1月月-2301:28January6,202316、行動出成果果，工作出財(cái)財(cái)富。。2023/1/61:28:4701:28:4706January202317、做前前，能能夠環(huán)環(huán)視四四周；；做時時，你你只能能或者者最好好沿著著以腳腳為起起點(diǎn)的的射線線向前前。。。1:28:47上上午1:28上上午午01:28:471月-239、沒有失失敗，只只有暫時時停止成成功！。。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事情努努力了未必有有結(jié)果，但是是不努力卻什什么改變也沒沒有。。01:28:4701:28:4701:281/6/20231:28:48AM11、成功就是是日復(fù)一日日那一點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)小小努力力的積累。。。1月-2301:28:4801:28Jan-2306-Jan-2312、世間成成事，不不求其絕絕對圓滿滿，留一一份不足足，可得得無限完完美。。。01:28:4801:28:4801:28Friday,January6,202313、不不知知香香積積寺寺，，數(shù)數(shù)里里入入云云峰峰。。。。1月月-231月月-2301:28:4801:28:48January6,202314、意志堅(jiān)強(qiáng)強(qiáng)的人能把把世界放在在手中像泥泥塊一樣任任意揉捏。。06一月月20231:28:48上上午01:28:481