高教五版高數(shù)(經(jīng)濟類)二階常系數(shù)線性微分方程隨堂講義

30一月20231第三節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程

第八章一、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)四、小結(jié)與思考練習(xí)二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解

三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程求解

30一月20232一、二階線性微分方程舉例當(dāng)重力與彈性力抵消時,物體處于平衡狀態(tài),例1

質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復(fù)運動,解:阻力的大小與運動速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時物體的位置為坐標(biāo)原點,建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)時刻

t

物位移為x(t).(1)自由振動情況.彈性恢復(fù)力物體所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移滿足的微分方程.30一月20233據(jù)牛頓第二定律得阻力即這就是在有阻尼的情況下，描述物體自由振動的方程。(2)強迫振動情況.若物體在運動過程中還受鉛直外力則得強迫振動方程:30一月20234

可以看出，自由振動和強迫振動的微分方程都是二階微分方程而且未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次冪的，我們把這種方程稱為二階線性微分方程。其一般形式可表示為n

階線性微分方程的一般形式為時,稱為非齊次的方程時,稱為齊次的方程.30一月20235證畢二、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)

定理130一月20236不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念.說明:30一月20237是定義在區(qū)間I

上的

n個函數(shù),使得則稱這

n個函數(shù)在I

上線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).例如，在(,)上都有故它們在任何區(qū)間I

上都線性相關(guān);又如，若在某區(qū)間

I

上則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點,必需全為0,可見在任何區(qū)間

I

上都線性無關(guān).若存在不全為0

的常數(shù)定義30一月20238線性相關(guān)存在不全為0的使(無妨設(shè)線性無關(guān)常數(shù)思考:中有一個恒為0,則必線性相關(guān)(證明略)線性無關(guān)兩個函數(shù)在區(qū)間I

上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:30一月20239是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解,則數(shù))是該方程的通解.例如,方程有特解且常數(shù),故方程的通解為推論是

n

階齊次方程的n

個線性無關(guān)解,則方程的通解為定理230一月202310是二階非齊次方程的一個特解,Y(x)是相應(yīng)齊次方程的通解,則是非齊次方程的通解.證:

將代入方程①左端,得②①定理330一月202311是非齊次方程的解,又Y

中含有兩個獨立任意常數(shù),例如,

方程有特解對應(yīng)齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而②也是通解.30一月202312分別是方程的特解,是方程的特解.(非齊次方程之解的疊加原理)定理3,定理4均可推廣到n

階線性非齊次方程.定理430一月202313例如，是對應(yīng)齊次方程的n

個線性無關(guān)特解,給定n

階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解30一月202314設(shè)函數(shù)都是二階非齊次線性方程定理5的解,則必為原方程對應(yīng)齊次線性方程的特解。提示：設(shè)三、非齊次線性方程與其對應(yīng)齊次方程解的關(guān)系30一月202315內(nèi)容小結(jié)1.二階線性微分方程的概念2.二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)3.非齊次線性方程其對應(yīng)齊次方程解的關(guān)系30一月202316思考練習(xí)則該方程的通解是().1.設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意常數(shù),提示:都是對應(yīng)齊次方程的解且線性無關(guān).(反證法可證)30一月2023172.常系數(shù)齊次線性微分方程

第八章(Constantcoefficienthomogeneouslineardifferentialequation)一、常系數(shù)齊次線性微分方程定義二、常系數(shù)齊次線性方程解法三、小結(jié)與思考練習(xí)30一月202318一、常系數(shù)齊次線性微分方程定義二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式30一月202319二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法基本思路:求解常系數(shù)線性齊次微分方程求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化30一月202320和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當(dāng)時,②有兩個相異實根方程有兩個線性無關(guān)的特解:因此方程的通解為(r

為待定常數(shù)),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.二階常系數(shù)齊次線性微分方程:30一月202321時,

特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設(shè)另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為2.當(dāng)30一月202322時,

特征方程有一對共軛復(fù)根這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解:

利用解的疊加原理,得原方程的線性無關(guān)特解:因此原方程的通解為3.當(dāng)30一月202323特征方程:特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.小結(jié)：30一月202324的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為解:

特征方程因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為例1特征根30一月202325解:所給微分方程的特征方程為它有一對共軛虛根故所求通解為30一月202326這是二階常系數(shù)齊次線性方程.易求解.30一月202327內(nèi)容小結(jié)特征根:(1)當(dāng)時,通解為(2)當(dāng)時,通解為(3)當(dāng)時,通解為可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解.課后練習(xí)習(xí)題8－31-230一月202328思考練習(xí)1.求方程的通解.答案:通解為通解為通解為30一月2023293.常系數(shù)非齊次線性微分方程

第八章(Constantcoefficientnon-homogeneouslineardifferentialequation)一、三、小結(jié)與思考練習(xí)二、30一月202330二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法30一月202331一、為實數(shù),為m

次多項式.設(shè)特解為其中為待定多項式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為Q(x)為

m次待定系數(shù)多項式30一月202332(2)若是特征方程的單根

,為m

次多項式,故特解形式為(3)若是特征方程的重根

,是m

次多項式,故特解形式為小結(jié)對方程①,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當(dāng)是特征方程的k重根時,可設(shè)特解30一月202333的一個特解.解:

本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為例530一月202334先求對應(yīng)齊次方程的通解，其特征方程是

30一月202335從而所求方