有限單元法(第十章)

結(jié)構(gòu)物可能受到強(qiáng)烈地震、機(jī)械振動(dòng)或海浪沖擊等動(dòng)荷載作用，使結(jié)構(gòu)發(fā)生不允許的變形甚至破壞。因此，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)必須考慮動(dòng)荷載效應(yīng)，進(jìn)而要求進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院第十章動(dòng)力分析本章以動(dòng)力學(xué)問題為例，闡明如何應(yīng)用有限元進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析，內(nèi)容包括：（1）動(dòng)力有限元方程及系數(shù)矩陣；（2）結(jié)構(gòu)固有特性計(jì)算；（3）結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算；（4）解的穩(wěn)定性分析。河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院10.1動(dòng)力有限元方程10.1.1有限元方程第十章動(dòng)力分析振動(dòng)系統(tǒng)中由質(zhì)量、阻尼和剛度所引起的三種力以及外荷載，將振動(dòng)系統(tǒng)離散后，便可得到有限元?jiǎng)恿ζ胶夥匠探M。（1）一般方程（10.1）其中，M、C、K分別為整體質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣；分別為整體節(jié)點(diǎn)加速度，速度和動(dòng)荷載向量。河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院10.1動(dòng)力有限元方程10.1.1有限元方程第十章動(dòng)力分析對于地震反應(yīng)問題，直接作用在結(jié)構(gòu)上的荷載P=0,且阻尼力和彈性恢復(fù)力分別只與相對速度和相對位移有關(guān)，而慣性力則與絕對加速度有關(guān)?，F(xiàn)仍以分別表示相對加速度、相對速度和相對位移，表示地震牽連加速度（地面加速度）則式（10.1）變?yōu)椋?）地震問題（10.2）其中（10.3）河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院10.1動(dòng)力有限元方程10.1.2方程的推導(dǎo)第十章動(dòng)力分析在動(dòng)力分析中，同靜力分析一樣首先對空間進(jìn)行離散。單元位移函數(shù)為（1）位移、速度、加速度（a）為簡便，我們把動(dòng)力問題化成靜力問題，即把慣性力和阻尼力看做體積力施加在結(jié)構(gòu)物上，這樣就可按靜力問題進(jìn)行分析。或河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院10.1動(dòng)力有限元方程第十章動(dòng)力分析單元內(nèi)部各點(diǎn)的速度和加速度分別可以用單元節(jié)點(diǎn)的速度和加速度表示為其中節(jié)點(diǎn)位移向量為（a）10.1.2方程的推導(dǎo)形函數(shù)矩陣為（b）河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院10.1動(dòng)力有限元方程第十章動(dòng)力分析由式（1.19）慣性力的等效節(jié)點(diǎn)荷載（2）慣性力的等效節(jié)點(diǎn)荷載（d）若材料的質(zhì)量密度為ρ，根據(jù)D’Alembert原理，單元內(nèi)單位體積上作用的慣性力為其中，Me為單元質(zhì)量矩陣，即（10.4）（10.5）10.1.2方程的推導(dǎo)河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院10.1動(dòng)力有限元方程第十章動(dòng)力分析假設(shè)阻尼力正比于運(yùn)動(dòng)速度，比例常數(shù)為α，則單元內(nèi)單位體積上作用的阻尼力可表示為（3）阻尼力的等效節(jié)點(diǎn)荷載（f）阻尼力的等效節(jié)點(diǎn)荷載為（g）其中，Ce阻尼力的等效節(jié)點(diǎn)荷載為10.1.2方程的推導(dǎo)（10.7）河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院10.1動(dòng)力有限元方程第十章動(dòng)力分析用P表示外部動(dòng)荷載產(chǎn)生的整體節(jié)點(diǎn)荷載向量，則總的整體節(jié)點(diǎn)荷載向量為。（4）動(dòng)力有限元方程的建立（10.8）動(dòng)力有限元方程式為10.1.2方程的推導(dǎo)河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院10.1動(dòng)力有限元方程10.1.3系數(shù)矩陣第十章動(dòng)力分析采用有限單元法進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算，必須建立結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C和剛度矩陣K。（1）質(zhì)量矩陣（10.1）整體質(zhì)量矩陣M的元素mij稱為質(zhì)量影響系數(shù)，其物理意義是：自由度j的單位加速度在自由度i方向引起的力。在對結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化處理時(shí)，分配單元質(zhì)量的常用方法有兩種，即一致質(zhì)量法和集中質(zhì)量法。河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院10.1動(dòng)力有限元方程第十章動(dòng)力分析對于平面問題常應(yīng)變?nèi)切螁卧?，一致質(zhì)量矩陣為一致質(zhì)量法按式（10.5）計(jì)算單元質(zhì)量矩陣。此時(shí)使用了與推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃囅嗤奈灰坪瘮?shù)，故稱為一致質(zhì)量矩陣。又因?yàn)閱卧膭?dòng)能和勢能是相互協(xié)調(diào)的，也稱為協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣。10.1.3系數(shù)矩陣河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院10.1動(dòng)力有限元方程第十章動(dòng)力分析關(guān)于質(zhì)量矩陣的對角化，最常用的方法是對一致質(zhì)量矩陣的行求和，即集中質(zhì)量法簡單地將單元的質(zhì)量集中分配于單元的節(jié)點(diǎn)，形成集中質(zhì)量矩陣。假定質(zhì)量集中在點(diǎn)上，一般不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，所以與轉(zhuǎn)動(dòng)自由度有關(guān)的質(zhì)量系數(shù)為零。集中質(zhì)量矩陣是對角矩陣。10.1.3系數(shù)矩陣

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院研究表明，采用一致質(zhì)量矩陣將高估自振頻率；而采用集中質(zhì)量矩陣則以同樣量級低估最高自振頻率。因此有學(xué)者建議在實(shí)際中采用混合質(zhì)量矩陣。即這兩種矩陣的平均值。10.1動(dòng)力有限元方程10.1.3系數(shù)矩陣對于平面問題常應(yīng)變單元，集中質(zhì)量矩陣為（10.10）第十章動(dòng)力分析

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院動(dòng)力學(xué)方程的阻尼項(xiàng)代表在運(yùn)動(dòng)中所消耗的能量。產(chǎn)生阻尼的原因是多方面的，如滑動(dòng)摩擦、空氣阻力、材料內(nèi)摩擦等。通常是用等效粘滯阻尼來代替。10.1動(dòng)力有限元方程10.1.3系數(shù)矩陣（2）阻尼矩陣（10.7）假設(shè)阻尼力正比于運(yùn)動(dòng)速度，則單元阻尼矩陣正比于單元質(zhì)量矩陣，如式（10.7）。第十章動(dòng)力分析

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院于是，根據(jù)初應(yīng)力的等效節(jié)點(diǎn)荷載公式（9.50），可以得到單元阻尼矩陣10.1動(dòng)力有限元方程10.1.3系數(shù)矩陣如果假定阻尼應(yīng)力正比于應(yīng)變速度（由于材料內(nèi)摩擦引起的結(jié)構(gòu)阻尼通常可以簡化為這種情況），則可表示為（9.50）（10.11）第十章動(dòng)力分析

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院10.1動(dòng)力有限元方程10.1.3系數(shù)矩陣可見，此單元阻尼矩陣正比于單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

Rayleigh阻尼為質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合。（10.12）第十章動(dòng)力分析（10.11）

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院10.2.1廣義特征值問題10.2結(jié)構(gòu)固有特性計(jì)算結(jié)構(gòu)的固有頻率和固有振型稱為特征值問題。它是結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的基本內(nèi)容，也是采用振型疊加法計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的前提。（10.1）在式（10.1）中令P=0，得到自由振動(dòng)方程。在實(shí)際工程中，阻尼對結(jié)構(gòu)自振頻率和振型的影響不大，因此可忽略阻尼力，從而得到無阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程（10.13）第十章動(dòng)力分析

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院將其代入式（10.13），可得齊次方程在自由振動(dòng)時(shí)，因結(jié)構(gòu)中各節(jié)點(diǎn)的振幅不全為零，故其系數(shù)行列式必為零，即（10.14）式（10.13）為常系數(shù)線性齊次常微分方程組，其解的形式為10.2.1廣義特征值問題10.2結(jié)構(gòu)固有特性（10.15）（10.16）求解方程組（10.15）的問題稱為特征值問題。第十章動(dòng)力分析

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院對應(yīng)每個(gè)特征值ωi2，由式（10.15）可確定一組相應(yīng)的振幅值φi2(i=1,2,┄n），稱為特征向量，在工程上通常稱為結(jié)構(gòu)的振型。10.2.1廣義特征值問題10.2結(jié)構(gòu)固有特性（10.16）K和M都是n階方陣，n是結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)目。可見，式（10.16）是ω2關(guān)于的n次代數(shù)方程，稱為式（10.13）的特征方程。其解ωi2(i=1,2,┄n）稱為特征值。第十章動(dòng)力分析

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院數(shù)學(xué)上可以證明，當(dāng)質(zhì)量矩陣為對稱正定、剛度矩陣為對稱正定或半正定時(shí)，所有特征值為非負(fù)的實(shí)數(shù)，特征向量也是實(shí)向量。10.2.2特征值和特征向量10.2結(jié)構(gòu)固有特性（10.17）在結(jié)構(gòu)分析中，剛度矩陣和質(zhì)量矩陣是實(shí)對稱矩陣。消除剛體位移后的剛度矩陣是正定的；采用一致質(zhì)量矩陣時(shí)，質(zhì)量矩陣是正定的。其中，ωi稱為結(jié)構(gòu)的第i階固有頻率，對應(yīng)的特征向量φi稱為第i階固有振型。第十章動(dòng)力分析

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院顯然，如果是廣義特征問題的特征向量，乘以不等于零的常數(shù)后仍為特征向量。通常使特征向量滿足10.2.2特征值和特征向量10.2結(jié)構(gòu)固有特性（10.18）它們滿足方程（10.19）這樣規(guī)定的特征向量或振型稱為正則振型。將特征解（ωi2,φi）和（ωj2,φj）分別代回方程（10.15）得到（10.20）（10.21）第十章動(dòng)力分析

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院可見，當(dāng)ωi≠ωj時(shí)，必有10.2.2特征值和特征向量10.2結(jié)構(gòu)固有特性（10.22）式（10.20）兩端前乘以φjT

，式（10.21）兩端前乘以φiT

，并注意到K和M的對稱性，可以得到上式表明特征向量關(guān)于矩陣M是正交的。由式（10.19）和(10.22)得（10.23）第十章動(dòng)力分析

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院如果定義特征矩陣10.2.2特征值和特征向量10.2結(jié)構(gòu)固有特性（10.24）由式（10.18）和（10.23）得（10.25）（10.26）（10.27）則特征解的性質(zhì)可表示為第十章動(dòng)力分析

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院振型疊加法的基本思想是：先將方程組非耦合化，然后再積分求解非耦合方程組。10.3.1振型疊加法10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)動(dòng)力有限元方程組的解法主要有兩類，即振型疊加法和直接積分法。M和K是振型正交的，而且在采用系統(tǒng)比例阻尼假設(shè)下，C也是振型正交的。所以借助振型向量所組成的位移變換矩陣，便可實(shí)現(xiàn)方程組的非耦合化。第十章動(dòng)力分析

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院其中，xi(t)是時(shí)間的函數(shù)，這樣便有（10.28）在求出結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動(dòng)的頻率和振型以后，可用振型的線性組合來表示結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)10.3.1振型疊加法（10.29）代入方程（10.1），并各項(xiàng)前乘ΦT，得（10.1）（10.30）第十章動(dòng)力分析

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院于是（10.31）注意到式(10.26),并設(shè)阻尼矩陣為質(zhì)量矩陣與剛度矩陣的線性組合，即10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)10.3.1振型疊加法（10.32）其中（10.33）第十章動(dòng)力分析（10.26）

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院將式（10.26）,（10.32）代入式（10.30），可得一組相互獨(dú)立的微分方程（10.34）顯然，如果已知結(jié)構(gòu)的兩個(gè)頻率ωi，ωj以及相應(yīng)的阻尼比λi,λj，則阻尼常數(shù)為10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)10.3.1振型疊加法第十章動(dòng)力分析

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院Duhamel積分基本思想是：將激振力ri(t)分解為一系列微沖量的連續(xù)作用，分別求出每個(gè)微沖量的響應(yīng)，然后將所有微沖量的響應(yīng)疊加起來。由于高階振型對結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的貢獻(xiàn)一般都很小，通常只計(jì)算最低的3階到5階振型即可。（10.35）10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)10.3.1振型疊加法振型疊加法的缺點(diǎn)是必須求解特征值問題。另外，由于該法應(yīng)用了疊加原理，故只適用于線性問題。其中，ai,bi由初始條件確定。第十章動(dòng)力分析

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院（2）在一定數(shù)目的Δt區(qū)域內(nèi)，假設(shè)位移at，速度,加速度的函數(shù)形式,計(jì)算t+Δt時(shí)刻運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的公式直接積分法是：直接對方程（10.1）進(jìn)行逐步積分，而不進(jìn)行任何形式的變換。10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)10.3.2直接積分法第十章動(dòng)力分析求解的基本思路基于如下兩個(gè)概念：（1）將在0<t<T內(nèi)任何時(shí)刻都應(yīng)滿足運(yùn)動(dòng)方程，代之以僅在相隔Δt的離散時(shí)間點(diǎn)上滿足運(yùn)動(dòng)方程；對t的離散方法不同，就有不同的數(shù)值積分方法，如中心差分法、線性加速度法、Newmark法和Wilson法。

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院(1)中心差分法在以下討論中，假定求解域被等分為n個(gè)時(shí)段，且在0,Δt,2Δt┄時(shí)刻的解已經(jīng)求得，計(jì)算的任務(wù)是求t+Δt時(shí)刻的解。（10.36）10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)10.3.2直接積分法第十章動(dòng)力分析在中心差分法中，加速度和速度可以用位移表示為為了求得t+Δt時(shí)刻的位移解答at+Δt，可在t時(shí)刻建立運(yùn)動(dòng)方程（a）（b）

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院其中，稱為有效剛度矩陣；稱為有效節(jié)點(diǎn)荷載。將式（a）和（b）代入上式，得到（10.37）10.3.2直接積分法第十章動(dòng)力分析10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)（10.38）（10.39）（10.40）當(dāng)t=0時(shí)，為了計(jì)算aΔt，由（a）和（b）式得到河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院這種方法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡單，缺點(diǎn)則在于它是有條件穩(wěn)定的，即當(dāng)時(shí)間步長Δt過大時(shí)，積分是不穩(wěn)定的。10.3.2直接積分法第十章動(dòng)力分析10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)因at+Δt是利用t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)方程得到的，K不出現(xiàn)在剛度矩陣中，因此中心差分法稱為顯示積分法。式（10.37）是用相鄰時(shí)刻的位移表示的代數(shù)方程組，由此可解出at+Δt。

10.3.2直接積分法第十章動(dòng)力分析10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)

10.3.2直接積分法第十章動(dòng)力分析10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)

10.3.2直接積分法第十章動(dòng)力分析10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)

10.3.2直接積分法第十章動(dòng)力分析10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)

10.3.2直接積分法第十章動(dòng)力分析10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院于是，t+τ時(shí)刻的速度和位移可積分求得（2）線性加速度法（a）10.3.2直接積分法第十章動(dòng)力分析10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)假定在時(shí)刻[t,t+Δt]內(nèi)加速度呈線性變化，即（b）（c）將式（a）代入上式，τ=Δt得到

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院由式（c）得到（d）10.3.2直接積分法第十章動(dòng)力分析10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)將式（d）代入式（b）得到（e）t+Δt時(shí)刻的位移解答at+Δt

可通過滿足t+Δt時(shí)刻動(dòng)力學(xué)方程（10.41）將式（d）（e）代入式（10.41）到由

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院其中（10.42）10.3.2直接積分法第十章動(dòng)力分析10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)將式（d）和（e）代入式（10.41））得到由計(jì)算的公式（10.43）（10.44）在線性加速度法中，at+Δt是利用t+Δt時(shí)刻的時(shí)刻運(yùn)動(dòng)方程得到的，K出現(xiàn)在剛度矩陣中。因此稱為隱式積分法?？梢宰C明，線性加速度法也是有條件穩(wěn)定的。

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院其中，γ和β是按積分穩(wěn)定性要求而決定的參數(shù)。當(dāng)γ=1/2,β=1/6時(shí)，式(a)和(b)相應(yīng)于線性加速度法。（3）Newmark法（a）10.3.2直接積分法第十章動(dòng)力分析10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)Newmark（1959）假設(shè)（b）在Newmark法中，

t+Δt時(shí)刻的位移解答at+Δt

也是通過滿足t+Δt時(shí)刻動(dòng)力學(xué)方程得到（10.45）

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院代入式（a），再一并代入式（10.45），從而得由計(jì)算的公式，首先從式（b）中解得（10.46）10.3.2直接積分法第十章動(dòng)力分析10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)其中（10.47）（10.48）

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院（4）Willson法10.3.2直接積分法第十章動(dòng)力分析10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)積分上式可得（a）Willson法假定加速度在[t,t+θΔt]內(nèi)呈線性變化，參數(shù)θ≥1.0。以τ表示時(shí)間增量，0≤τ≤θΔt，則在[t,t+θΔt]內(nèi)有（b）（c）

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院在式（b）和（c）中令τ=θΔt，得10.3.2直接積分法第十章動(dòng)力分析10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)由此可得到用at+θΔt表示的（d）（f）（e）（g）

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院將式（f）和（g）代入上式，得10.3.2直接積分法第十章動(dòng)力分析10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)其中（10.49）（10.50）t+θΔt時(shí)刻的動(dòng)力學(xué)方程為（10.51）（10.52）

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院由此式計(jì)算t+θΔt時(shí)刻的加速度、速度和位移。由式（10.50）解出位移at+θΔt，由式（f）確定。令τ=Δt，可得10.3.2直接積分法第十章動(dòng)力分析10.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)（10.53）河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院在選擇時(shí)間步長Δt時(shí)，必須考慮解的穩(wěn)定性和精度。10.4.1基本概念第十章動(dòng)力分析10.4解的穩(wěn)定性無條件穩(wěn)定：在任何時(shí)間步長Δt下，對于任何初始條件，方程的解不無限止地增長，則稱此算法是無條件穩(wěn)定。有條件穩(wěn)定：如果Δt必須小于某個(gè)臨界值Δtcr時(shí)，上述性質(zhì)才能保持，則此算法是有條件穩(wěn)定。河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院由于各振型的運(yùn)動(dòng)是相互獨(dú)立的，方程是相似的，故只須從中取出典型的運(yùn)動(dòng)方程來分析即可10.4.1基本概念第十章動(dòng)力分析10.4解的穩(wěn)定性解的穩(wěn)定性實(shí)質(zhì)上是誤差的響應(yīng)問題，因此可令ri=0。阻尼對解的穩(wěn)定性是有利的，令阻尼項(xiàng)為零，可用下式討論解的穩(wěn)定性（10.54）（10.55）河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院（1）中心差分法10.4.2穩(wěn)定性條件第十章動(dòng)力分析10.4解的穩(wěn)定性對式（10.55）進(jìn)行積分，根據(jù)式（10.37），可以寫出（10.56.3）（10.56.4）假定解的形式為將上式代入（10.56.3),則可的特征方程（10.56.5）（10.56.6）（10.55）

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院λ的根關(guān)系到解的性質(zhì)，首先為使在小阻尼情況下的解具有振蕩特性，λ必須是復(fù)數(shù)，這就要求解出上式的根第十章動(dòng)力分析因?yàn)椋詮纳鲜降玫?0.4解的穩(wěn)定性10.4.2穩(wěn)定性條件（10.56.7）（10.56.8）（10.56.9）

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院式（10.56.7）表示λ1,2的，表示無阻尼的自由振動(dòng)。其次為使解不會(huì)無限地增長，還應(yīng)要求第十章動(dòng)力分析直接積分法相當(dāng)于利用同樣的時(shí)間步長對所有n個(gè)振型的單自由度方程同時(shí)進(jìn)行積分，因此中心差分法為保持解的穩(wěn)定性，時(shí)間步長必須滿足（10.56.11）10.4解的穩(wěn)定性10.4.2穩(wěn)定性條件（10.56.10）其中Δtcr是臨界時(shí)間步長，Tn是系統(tǒng)的最小固有周期。

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院將Newmark方法的循環(huán)計(jì)算公式（10.46）用于式（10.55）表示的運(yùn)動(dòng)方程，可以得到（2）Newmark方法由下面兩式可得（10.57.13）第十章動(dòng)力分析10.4解的穩(wěn)定性10.4.2穩(wěn)定性條件（10.57.12）（10.57.13）

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院利用上式和（10.55），式（10.57.12）可以寫成其中第十章動(dòng)力分析10.4解的穩(wěn)定性10.4.2穩(wěn)定性條件（10.57.14）代入上式可以得到關(guān)于λ的特征方程仍假定解的形式為（10.57.15）

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院其中該方程的根是現(xiàn)在來分析界的穩(wěn)定條件：第十章動(dòng)力分析10.4解的穩(wěn)定性10.4.2穩(wěn)定性條件（10.57.16）1.真正的解在小阻尼情況下必須具有振蕩的性質(zhì)，因此λ應(yīng)是復(fù)數(shù)，這就要求

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院當(dāng)Pi很大時(shí)，即Δt不受限制時(shí)，仍要求上式成立，必須是亦即（2）穩(wěn)定的解必須不是無限增長的，因此第十章動(dòng)力分析10.4解的穩(wěn)定性10.4.2穩(wěn)定性條件（10.57.18）（10.57.19）亦即（10.57.20）

河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院因?yàn)楫?dāng)條件（10.57.19）滿足時(shí)，式（10.57.22）恒成立。所以Newmark方法無條件穩(wěn)定的條件是同樣，當(dāng)pi很大時(shí)，仍要求上式成立，必須是第十章動(dòng)力分析10.4解的穩(wěn)定性10.4.2穩(wěn)定性條件（10.57.21）（10