第 04章 1 次課 - 剛體的定軸轉(zhuǎn)動

1第四章剛體的轉(zhuǎn)動/162在外力作用下,形狀和大小都不發(fā)生變化的物體叫做剛體.剛體的運(yùn)動形式有二種：平動、轉(zhuǎn)動.§4.1剛體的定軸轉(zhuǎn)動前面三章討論了質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律.質(zhì)點(diǎn)是沒有大小和形狀但有質(zhì)量的點(diǎn).當(dāng)物體的運(yùn)動與它的形狀和大小沒有關(guān)系時(shí),可以將其視為質(zhì)點(diǎn).但如果物體上的各點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律不同時(shí),如何進(jìn)行描述呢?----本章要討論的問題一、概念什么是剛體?

1.剛體的定義剛體在運(yùn)動過程,任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變.剛體一個(gè)理想模型.如果在討論一個(gè)固體的運(yùn)動時(shí),這種形狀或體積的改變可以忽略,我們就把這個(gè)固體當(dāng)作剛體來處理.實(shí)際的固體在受力作用時(shí)總是要發(fā)生或大或小的形狀和體積的改變.2.剛體的運(yùn)動形式(i)平動：如果剛體在運(yùn)動中,連結(jié)剛體內(nèi)兩點(diǎn)的直線在空間的指向總保持平行,

這樣的運(yùn)動就叫平動.即剛體內(nèi)所有點(diǎn)的運(yùn)動軌跡完全相同.車箱的運(yùn)動可以看成是平動/163

剛體平動質(zhì)心運(yùn)動§4.1剛體的定軸轉(zhuǎn)動注意：剛體平動時(shí),剛體內(nèi)各質(zhì)元的運(yùn)動軌跡都一樣,而且在同一時(shí)刻的速度和加速度都相等。因此,在描述剛體的平動時(shí),可以用一點(diǎn)的運(yùn)動來代表，通常就用剛體的質(zhì)心的運(yùn)動來代表整個(gè)剛體的平動。(ii)轉(zhuǎn)動:

當(dāng)剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動時(shí),這種運(yùn)動叫做轉(zhuǎn)動.如果轉(zhuǎn)軸的位置和方向不隨時(shí)間變化,

這種轉(zhuǎn)軸稱為固定轉(zhuǎn)軸.該直線叫做轉(zhuǎn)軸.轉(zhuǎn)動是剛體的基本運(yùn)動形式之一.剛體繞固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動則叫做剛體的定軸轉(zhuǎn)動.例如,開門和關(guān)門時(shí)整個(gè)門體的運(yùn)動就是定軸轉(zhuǎn)動.如果轉(zhuǎn)軸的位置或方向隨時(shí)間變化,這種轉(zhuǎn)軸稱為瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸.例如旋轉(zhuǎn)陀螺的轉(zhuǎn)軸就是瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸./164§4.1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(iii)剛體的一般運(yùn)動:既有平動又有轉(zhuǎn)動的剛體運(yùn)動.例如行駛在公路上的汽車的車輪,既有轉(zhuǎn)動又有向前的平動.

剛體的一般運(yùn)動都可以認(rèn)為是平動和繞某一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的結(jié)合./16車輪的運(yùn)動可以看成是輪心的平動和車輪繞輪心的轉(zhuǎn)動質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動是用位移、位矢、速度和加速度等量進(jìn)行描述的.

剛體的一般運(yùn)動質(zhì)心的平動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動+剛體的轉(zhuǎn)動如何進(jìn)行描述呢？5二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述§4.1剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體繞某一固定軸轉(zhuǎn)動時(shí),剛體上各質(zhì)元都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動.Δmi轉(zhuǎn)軸且所有質(zhì)元的矢徑在相同的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度相同,根據(jù)這一特點(diǎn),常取垂直于轉(zhuǎn)軸的平面為參考系,這個(gè)平面稱轉(zhuǎn)動平面.轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)軸ZOP因?yàn)閯傮w上各質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離不同,因此剛體上各質(zhì)元的線速度、加速度一般是不同的.因此描述剛體的運(yùn)動時(shí),用角量最為方便.但由于各質(zhì)元的相對位置保持不變,所以描述各質(zhì)元運(yùn)動的角量,如角位移、角速度和角加速度都是一樣的.轉(zhuǎn)動方向/166§4.1剛體的定軸轉(zhuǎn)動1.角坐標(biāo)(位置)θ如圖所示建立坐標(biāo)系,則描述剛體轉(zhuǎn)動時(shí)的各角量定義如下:原點(diǎn)到任意質(zhì)元的位矢與Ox軸的夾角.角坐標(biāo)是時(shí)間t的函數(shù),即2.角位移角位移方向與轉(zhuǎn)動方向成右手螺旋法則

:拇指指向Z軸正向,四指的彎曲方向與轉(zhuǎn)動方向一致時(shí),角位移為正;四指的彎曲方向與轉(zhuǎn)動方向相反時(shí),角位移為負(fù).剛體上任一質(zhì)元,在t到t+dt時(shí)間內(nèi)的角移,即轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)軸ZOPx轉(zhuǎn)動方向角位移是矢量,方向規(guī)定如下:

從Z軸的上方向下方看,(i)

如果r從Ox軸開始沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動,則角位移為正.(ii)

如果r從Ox軸開始沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動,則角位移為負(fù).3.角速度矢量單位時(shí)間內(nèi)的角位移叫做角速度.角位移(1)(2)即z/167§4.1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(3)角速度矢量由于角位移矢量遵守右手螺旋法則,因此角速度矢量也遵守右手螺旋法則:右手拇指伸直,使四指的彎曲方向與轉(zhuǎn)動方向一致,則拇指所指的方向?yàn)榻撬俣鹊姆较?zz(i)

當(dāng)角速度方向與Z軸正方向相同時(shí),>0;(ii)

當(dāng)角速度方向與Z軸正方向相反時(shí),<0;4.角加速度矢量因此在上述規(guī)定下,剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動方向可以用角速度的正負(fù)來表示.角加速度(4)繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體,當(dāng)角速度隨時(shí)間變化時(shí),剛體具有角加速度.(i)>0表示剛體作加速轉(zhuǎn)動;即轉(zhuǎn)動越來越快.角加速度與角速度方向相同.(ii)<0表示剛體做減速轉(zhuǎn)動;即轉(zhuǎn)動越來越慢.角加速度與角速度方向相反.當(dāng)剛體的角速度

>0時(shí),有/168三、勻變速轉(zhuǎn)動的公式

剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動

質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角加速度為恒量時(shí),剛體作勻變速轉(zhuǎn)動.剛體勻變速轉(zhuǎn)動與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動公式對比：§4.1剛體的定軸轉(zhuǎn)動由于剛體定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，剛體上的質(zhì)點(diǎn)都作圓周運(yùn)動，因此勻變速轉(zhuǎn)動中的角位移、角速度與時(shí)間的關(guān)系與圓周運(yùn)動的公式P16(1-18)式相同。且形式上類似于與勻速直線運(yùn)動中的位移和速度與時(shí)間的關(guān)系.勻變速轉(zhuǎn)動的角速度和角位移與時(shí)間的關(guān)系如何?當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時(shí),組成剛體的所有質(zhì)點(diǎn)都繞定軸作圓周運(yùn)動.剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都具有相同的角速度和角加速度.剛體中的質(zhì)點(diǎn)的線速度相同嗎?線速度與角速度有何關(guān)系?/169§4.1剛體的定軸轉(zhuǎn)動四、角量與線量的關(guān)系P如圖是一剛體繞一定軸轉(zhuǎn)動.剛體的任一質(zhì)元P的線速度為可見剛體上任一點(diǎn)的線速度與該點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離成正比.1.線速度(5)2.線加速度由圓周運(yùn)動的加速度公式可得,質(zhì)元P的切向加速度和法向加速度為(6)加速度(7)所以,剛體上不同的點(diǎn)其線速度是不同的./1610§4.1剛體的定軸轉(zhuǎn)動2)

運(yùn)動描述僅需一個(gè)坐標(biāo)(角坐標(biāo)).定軸轉(zhuǎn)動的特點(diǎn)

:P1)

每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動,圓面為轉(zhuǎn)動平面;3)任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動均相同,但不同；例1

一飛輪半徑為0.2m、轉(zhuǎn)速為150r·min-1,

因受制動而均勻減速,經(jīng)30s內(nèi)停止轉(zhuǎn)動.試求：(i)角加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；

(ii)制動開始后t=6s

時(shí)飛輪的角速度；

(iii)t=6s

時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度.解(i)

由題意得,初始角速度為

t=30s

時(shí),由于轉(zhuǎn)動是勻減速轉(zhuǎn)動,設(shè)t=0時(shí),0=0,則有負(fù)號說明作減速轉(zhuǎn)動./1611得飛輪30s

內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為§4.1剛體的定軸轉(zhuǎn)動由和飛輪30s轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為(ii)

求制動開始后t=6s

時(shí)飛輪的角速度(iii)

求t=6s

時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度.邊緣上任一點(diǎn)的線速度為邊緣上任一點(diǎn)的切向加速度和法向加速度為/1612例2

在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機(jī)里,有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動.開始時(shí),它的角速度0=0,經(jīng)300s后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到18000r·min-1.已知轉(zhuǎn)子的角加速度與時(shí)間成正比.問在這段時(shí)間內(nèi),轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？解

因轉(zhuǎn)子的角加速度與時(shí)間成正比,故可令即因t=300s

時(shí)所以積分得(c為比例常數(shù))因此轉(zhuǎn)子的角速度隨時(shí)間的變化關(guān)系為§4.1剛體的定軸轉(zhuǎn)動/1613根據(jù)角速度的定義積分得即轉(zhuǎn)子的角速度隨時(shí)間的變化關(guān)系為因此,在300s內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)轉(zhuǎn)子在300s內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為§4.1剛體的定軸轉(zhuǎn)動/1614/16質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)轉(zhuǎn)動的運(yùn)動學(xué)轉(zhuǎn)動的動力學(xué)物體為什么會轉(zhuǎn)動？一個(gè)力作用在一個(gè)靜止的剛體上一定能使它轉(zhuǎn)動嗎？?要使一個(gè)剛體由靜止到轉(zhuǎn)動必須要有力矩的作用!OO'F如圖剛體繞Oz

軸旋轉(zhuǎn),力作用在剛體橫截面上點(diǎn)P且在此平面內(nèi),為由點(diǎn)O到力的作用點(diǎn)P的徑矢.力

對轉(zhuǎn)軸的力矩.

一、力矩P*O(1)(1)力矩大小:(2)力矩方向:

--拇指伸直,四指由r彎向F,這時(shí)拇指的指向就力矩的方向.式中d=rsin

稱為力F對轉(zhuǎn)軸Z的力臂.§4.2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量15O§4.2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量討論(i)

當(dāng)作用力通過轉(zhuǎn)軸時(shí),其力矩為零.如右圖.(ii)

若力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi),應(yīng)把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量.如右下圖.O其中對轉(zhuǎn)軸的力矩為零.因?yàn)镕//不能使物體繞Z轉(zhuǎn)動.注意,

式中是分力F與r的夾角,而不是力F與r的夾角.故對轉(zhuǎn)軸的力矩為(2)/16P*O(1)(1)力矩大小:(2)力矩方向:

矢量叉乘規(guī)則(3)力矩的單位:N·m.16§4.2力矩轉(zhuǎn)動定