江蘇省如東縣2023-2023學(xué)年度高三第一學(xué)期期末四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

20232023學(xué)年度第一學(xué)期期末高三聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上）1．已知全集U=R,集合=▲．2．若，其中都是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，則=▲．3．某校對(duì)全校男女學(xué)生共1600名進(jìn)行健康調(diào)查，選用分層抽樣法抽取一個(gè)容量為200的樣本．已知女生比男生少抽了10人，則該校的女生人數(shù)應(yīng)是▲人．i>5?否開始S=0,i=1T=3i－1S=S+Ti=i>5?否開始S=0,i=1T=3i－1S=S+Ti=i+1是輸出S結(jié)束5．若“”是“”的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍是▲．6．按右面的程序框圖運(yùn)行后,輸出的應(yīng)為▲．7．已知等比數(shù)列的公比,且成等差數(shù)列,則的前8項(xiàng)和為▲．8．長(zhǎng)方體中,,則四面體的體積為▲．-3-2O9．-3-2O的圖像如圖，則=▲．10．已知平面向量，，若，則的值為▲．11．已知橢圓和圓,若上存在點(diǎn),使得過(guò)點(diǎn)引▲．ABCPQ12．定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足對(duì),有,且當(dāng)時(shí),,若函數(shù)在ABCPQ上至少有三個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是▲．13．如圖，點(diǎn)C為半圓的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AB=BC=2，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作半圓的切線PQ，若,則的面積的最大值為▲．14．已知三次函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則的最小值為▲．二．解答題：(本大題共6個(gè)小題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)15．已知函數(shù).(1)求的值;(2)設(shè)的值16．如圖,四邊形ABCD為平行四邊形，四邊形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中點(diǎn),G是AE,DF的交點(diǎn).（1）求證:GH∥平面CDE；（2）求證:面ADEF⊥面ABCD.17．某企業(yè)有兩個(gè)生產(chǎn)車間分別在、兩個(gè)位置，車間有100名員工，車間有400名員工。現(xiàn)要在公路上找一點(diǎn),修一條公路，并在處建一個(gè)食堂，使得所有員工均在此食堂用餐。已知、、中任意兩點(diǎn)間的距離均有，設(shè)，所有員工從車間到食堂步行的總路程為.ABCD第17題圖（1）寫出ABCD第17題圖（2）問(wèn)食堂建在距離多遠(yuǎn)時(shí)，可使總路程最少.18．已知橢圓C的中點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率等于,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).ABPQABPQOxy19．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列前項(xiàng)的和為，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且．⑴證明數(shù)列是等比數(shù)列，并寫出通項(xiàng)公式；⑵若對(duì)恒成立，求的最小值；⑶若成等差數(shù)列，求正整數(shù)的值．20．已知函數(shù)．(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；(3)設(shè)為正實(shí)數(shù)，且，求證：．20232023學(xué)年度第一學(xué)期高三聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上）1．已知全集U=R,集合{x|x≤2}2．若，其中都是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，則=.3．某校對(duì)全校男女學(xué)生共1600名進(jìn)行健康調(diào)查，選用分層抽樣法抽取一個(gè)容量為200的樣本．已知女生比男生少抽了10人，則該校的女生人數(shù)應(yīng)是人．答案：760i>5?否開始S=0,i=1T=3i－1S=S+Ti=i+1是輸出S結(jié)束i>5?否開始S=0,i=1T=3i－1S=S+Ti=i+1是輸出S結(jié)束5．若“”是“”的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍是6．按右面的程序框圖運(yùn)行后,輸出的應(yīng)為407．已知等比數(shù)列的公比,且成等差數(shù)列,則的前8項(xiàng)和為．2558．長(zhǎng)方體中,,則四面體的體積為_____________.6-3-2O9．函數(shù)-3-2O的圖像如圖，則=110．已知平面向量，，若，則的值為11．已知橢圓和圓,若上存在點(diǎn),使得過(guò)點(diǎn)引ABCPQ12．定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足對(duì),有,且當(dāng)時(shí),,若函數(shù)在上至少有三個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是ABCPQ13．如圖，點(diǎn)C為半圓的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AB=BC=2，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作半圓的切線PQ，若,則的面積的最大值為14．已知三次函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則的最小值為二．解答題：(本大題共6個(gè)小題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)15．已知函數(shù).(1)求的值;(2)設(shè)的值【答案】解:(1)…………6分(2)…8分…10分…………12分……………14分16．如圖,四邊形ABCD為平行四邊形，四邊形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中點(diǎn),G是AE,DF的交點(diǎn).（1）求證:GH∥平面CDE；（2）求證:面ADEF⊥面ABCD.證明：⑴是的交點(diǎn)，∴是中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，∴中，，……2分∵ABCD為平行四邊形∴AB∥CD∴，……4分又∵∴平面…7分⑵，所以，………………9分又因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，……………?0分，，-………………12分.…………14分ABCD第17題圖17．某企業(yè)有兩個(gè)生產(chǎn)車間分別在、兩個(gè)位置，車間有100名員工，車間有400名員工?，F(xiàn)要在公路上找一點(diǎn),修一條公路，并在處建一個(gè)食堂，使得所有員工均在此食堂用餐。已知、、中任意兩點(diǎn)間的距離均有，設(shè)，所有員工從車間到食堂步行的總路程為.ABCD第17題圖（1）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并指出的取值范圍；（2）問(wèn)食堂建在距離多遠(yuǎn)時(shí)，可使總路程最少解：（1）在中，，………………2分，則?！?分，其中?！?分（2）?！?分令得。記……10分當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值?！?2分此時(shí)，，答：當(dāng)時(shí)，可使總路程最少?！?4分18．已知橢圓C的中點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率等于,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)點(diǎn)P(2,3),Q(2,-3)在橢圓上,A、B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn),(i)若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值;ABPQABPQOxy解:(1)設(shè)橢圓的方程為則.由,得∴橢圓C的方程為……………4分(2)(i)解:設(shè),直線的方程為,代入,得由,解得由韋達(dá)定理得.……………6分四邊形的面積∴當(dāng),……………9分(ii)解:當(dāng),則、的斜率之和為0,設(shè)直線的斜率為則的斜率為,的直線方程為由(1)代入(2)整理得………11分同理的直線方程為,可得∴……………14分所以的斜率為定值……………16分19．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列前項(xiàng)的和為，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且．⑴證明數(shù)列是等比數(shù)列，并寫出通項(xiàng)公式；⑵若對(duì)恒成立，求的最小值；⑶若成等差數(shù)列，求正整數(shù)的值．（1）因?yàn)?，其中是?shù)列的前項(xiàng)和，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，當(dāng)時(shí)，由，解得，……2分當(dāng)時(shí)，由，解得；…………4分由，知，兩式相減得，即，…………5分亦即，從而，再次相減得，又，所以所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，…………………7分其通項(xiàng)公式為．……………………8分（2）由（1）可得，，……10分若對(duì)恒成立，只需對(duì)恒成立，因?yàn)閷?duì)恒成立，所以,即的最小值為3；…………12分（3）若成等差數(shù)列，其中為正整數(shù)，則成等差數(shù)列，整理得，…………………14分當(dāng)時(shí)，等式右邊為大于2的奇數(shù)，等式左邊是偶數(shù)或1，等式不能成立，所以滿足條件的值為．……………16分20．已知函數(shù)．(Ⅰ)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(Ⅱ)若函數(shù)在上為單