固體物理第一章 晶體結(jié)構(gòu)

第一章晶體結(jié)構(gòu)§1.1晶體特征§1.2配位數(shù)和密堆積§1.3一些晶體的實(shí)例§1.4空間點(diǎn)陣§1.5晶格周期性的描述§1.6典型晶體結(jié)構(gòu)的原胞和晶胞§1.7晶向晶面及標(biāo)記§1.8晶體宏觀對(duì)稱性及其對(duì)稱操作§1.9七大晶系14種原胞晶體的結(jié)構(gòu)特征及其描述單晶：整塊固體中粒子均是規(guī)則、周期排列。多晶：由大量微小單晶粒組成。每個(gè)晶粒內(nèi)粒子規(guī)則排列，而各個(gè)晶粒間粒子排列取向不同。晶體：至少在微米級(jí)范圍粒子按一定規(guī)則周期有序排列（長(zhǎng)程有序）形成的固體§1.1晶體特征晶體非晶體準(zhǔn)晶體按內(nèi)部結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可分為三大類組成Be2O3晶體的粒子在空間的排列具有周期性，是長(zhǎng)程有序的。一、內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征具有“平移對(duì)稱＋旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性”的特點(diǎn)準(zhǔn)晶體：無周期平移不變性但有某些取向旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性非晶體：在微米級(jí)范圍內(nèi)粒子無序排列（長(zhǎng)程無序）形成的固體非晶態(tài)固體又叫做過冷液體，它們?cè)谀Y(jié)過程中不經(jīng)過結(jié)晶（即有序化）的階段，非晶體中粒子與粒子的結(jié)合是無規(guī)則的Be2O3玻璃中的粒子只有近鄰的范圍內(nèi)粒子間保持著一定的短程有序，但隔開三、四個(gè)粒子后就不再保持這種關(guān)系，由于鍵角鍵長(zhǎng)的畸變破壞了長(zhǎng)程序，形成無規(guī)則網(wǎng)絡(luò)。1984年Shechtman等用快速冷卻方法制備AlMn合金，經(jīng)對(duì)電子衍射譜分析，發(fā)現(xiàn)有五重對(duì)稱（旋轉(zhuǎn)2/5）的衍射斑點(diǎn)分布的存在，導(dǎo)致一種新的有序相準(zhǔn)晶(quasicrystal)的發(fā)現(xiàn)。以后不作特別說明，所說“晶體”指“完整的單晶體或理想晶體。二、晶體的外形特征晶體最顯著的特征是晶面有規(guī)則、對(duì)稱地配置。一個(gè)理想完整的晶體，相應(yīng)的晶面的面積相等。外形的對(duì)稱性是晶體內(nèi)部粒子間有序排列的反映指的是晶體具有沿某些確定方位的晶面劈裂的性質(zhì)三、晶體的解理性相應(yīng)的晶面稱為晶體的解理面，顯露在晶體外面的晶面往往是一些解理面。晶面往往組合成晶帶，如圖中的a-1-c-2晶帶由若干個(gè)晶面組成，相鄰晶面的交線稱為晶棱，晶帶的特點(diǎn)是所有的晶棱相互平行，其共同的方向稱為晶帶的帶軸，通常所說的晶軸是重要的帶軸。晶體容易沿解理面劈裂，說明平行于解理面的原子層之間的結(jié)合力弱，意味著平行解理面的原子層的間距大。四、晶體品種的特征因素a)晶體的大小和形狀不是晶體品種的特征因素晶體外形中，只受內(nèi)在結(jié)構(gòu)決定而不受外界條件影響的因素稱為晶體品種的特征因素。由于外界條件和偶然情況不同，同一類型的晶體，其外形不盡相同。圖是理想石英晶體和一種人造的石英晶體的外形。b)晶面間的夾角是晶體品種的特征因素屬于同一品種的晶體，無論其外形如何，兩個(gè)對(duì)應(yīng)的晶面間夾角恒定不變，稱為面角守恒定律可以看到，由于外界條件的差異，晶體中某組晶面可以相對(duì)地變小、甚至消失。所以，晶體中晶面的大小和形狀并不是表征晶體類型的固有特征。理想的石英晶體人造的石英晶體例如：石英晶體的m與m兩面夾角為60o0’m與R面之間的夾角為38o13’，m與r面的夾角為38o13’

等。五、晶體其它特征1)晶體有確定的熔點(diǎn)例如：冰0℃NaCl800℃熔點(diǎn)是指晶態(tài)固體的長(zhǎng)稱有序解體時(shí)所對(duì)應(yīng)的溫度2)物理性質(zhì)的各向異性例如：La2-xBaxCuO4§1.2配位數(shù)和密堆積原子在晶體中的平衡位置，排列應(yīng)該采取盡可能的緊密方式，相應(yīng)于結(jié)合能最低的位置，見下章把原子看成一個(gè)個(gè)小球，看這些小球如何堆積，不同的堆積方式，可以得到不同的晶體結(jié)構(gòu)。六角密積結(jié)構(gòu)CeCl型結(jié)構(gòu)NaCl型結(jié)構(gòu)四面體結(jié)構(gòu)層狀結(jié)構(gòu)鏈狀結(jié)構(gòu)一個(gè)原子周圍最近鄰的原子數(shù)，稱為配位數(shù)可以被用來描述晶體中粒子排列的緊密程度晶體結(jié)構(gòu)中最大配位數(shù)是12

，以下依次是8、6、4、3、2密堆積——晶體內(nèi)全同原子小圓球最緊密的堆積。密堆積配位數(shù)為12，堆積方式有兩種方式：立方和六角密積在實(shí)際的由同種元素構(gòu)成的晶體中，如果無特殊要求，晶體的配位數(shù)都很高，其中六角密積占31％，立方密積占26％，說明晶體一般是按最緊密的方式堆積的。如果晶體由兩種或兩種以上的元素組成，即組成晶體的原子小球大小不等，則不可能有密堆積結(jié)構(gòu)，這時(shí)的配位數(shù)小于12。配位數(shù)為8CeCl型結(jié)構(gòu)1、簡(jiǎn)單立方1）將原子球在一個(gè)平面內(nèi)按正方排列形成原子層2）將原子層按圖所示沿垂直層面方向疊加起來就得到簡(jiǎn)單立方結(jié)構(gòu)，其最小的重復(fù)結(jié)構(gòu)單元（原胞）如圖3）用原點(diǎn)表示原子的位置，即得到簡(jiǎn)單立方格子配位數(shù)為6§1.3一些晶體的實(shí)例原子層原子層原子層2、體心立方1）原子球按正方形式鋪開形成一原子層，計(jì)為Ａ原子層，類似排列形成另一原子層，計(jì)為Ｂ原子層2）將B層原子放在Ａ層四個(gè)原子的間隙里，第二層的每個(gè)球和第一層的四個(gè)球緊密相切，如圖，按ABAB

AB….次序沿垂直于層面方向疊加起來就得到體心立方。體心立方原胞如圖所示3）用原點(diǎn)表示原子的位置，即得到體心立方格子配位數(shù)為8Li、Na、K、Rb、Cs、Fe等金屬為典型的具有體心立方晶格的金屬Fe體心立方晶格結(jié)構(gòu)體心立方晶格中，A層中原子球的距離等于A-A層間的距離，由此可計(jì)算出Ａ層原子球的間隙r0為原子球半徑r0++r0Ａ層Ａ層Ｂ層3、面心立方面心立方晶體的原胞和簡(jiǎn)單立方相似，所不同的是，除立方體頂角上有原子外，在立方體的六個(gè)面的中心還有六個(gè)原子。用原點(diǎn)表示原子的位置，即得到面心立方格子貴金屬（如Cu、Al、Ni等）具有面心立方結(jié)構(gòu)。配位數(shù)為124、六角密積結(jié)構(gòu)1）原子球平鋪在平面上，任意一個(gè)球都與六個(gè)球相切，每三個(gè)相切的球的中心構(gòu)成一等邊三角形，且每個(gè)球的周圍有六個(gè)空隙，這樣構(gòu)成一原子層，計(jì)為Ａ原子層。3）將B層的球放在Ａ層相間的3個(gè)空隙里，B層每個(gè)球和A層三個(gè)球緊密相切，如圖。2）類似排列形成另一原子層，計(jì)為Ｂ原子層。5）用原點(diǎn)表示原子的位置，即得到六角密積格子4）按ABAB

AB….次序沿垂直于層面方向疊加起來就得到六角密排結(jié)構(gòu)配位數(shù)為125、金剛石結(jié)構(gòu)金剛石由碳原子構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)可以看成是由面心立方結(jié)構(gòu)演變而來的，即：在一個(gè)面心立方原胞的基礎(chǔ)上在體內(nèi)再額外加四個(gè)原子，體內(nèi)四個(gè)原子分別位于四個(gè)空間對(duì)角的1/4處。面心立方金剛石整個(gè)金剛石晶格可以看成是由沿體對(duì)角線相互位移四分之一對(duì)角線長(zhǎng)度的兩個(gè)面心立方晶格套構(gòu)而成。重要的半導(dǎo)體材料，如Ge、Si等，都有四個(gè)價(jià)電子，其晶體結(jié)構(gòu)和金剛石相同由碳原子共價(jià)鍵的取向分析可知，在面心和頂角處的碳原子與體內(nèi)的4個(gè)碳原子是不等價(jià)的。A類碳原子的共價(jià)鍵方向B類碳原子的共價(jià)鍵方向6、閃鋅礦結(jié)構(gòu)和金剛石結(jié)構(gòu)相似，所不同的是，在立方體頂角和面心處的原子與體內(nèi)原子分別屬于不同的元素。許多重要的化合物半導(dǎo)體，如InSb、ZnS、GaAs、InP等均是閃鋅礦結(jié)構(gòu)。7、鈣鈦礦結(jié)構(gòu)鈣鈦礦結(jié)構(gòu)是指鈦酸鈣(CaTiO3)的結(jié)構(gòu)Ca在立方體頂角上是Ca，Ti位于立方體的體心處，O位于立方體六個(gè)面心處。如果把OI、OII、OIII連接起來，則它們構(gòu)成等邊三角形，整個(gè)原胞中共有8個(gè)這樣的三角形面，圍成一個(gè)八面體，通常稱為氧八面體。整個(gè)結(jié)構(gòu)可看成氧八面體的排列，其中Ti位于氧八面體中心，而Ca則在8個(gè)氧八面體的間隙里。Ca

鐵電體：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3鐵磁體：(La,Ca)MnO3ABO3作業(yè)1、3、以堆積模型計(jì)算由同種原子構(gòu)成的同體積的體心和面心晶體中的原子數(shù)之比2、§1.4空間點(diǎn)陣晶體可以由一種或多種原子（或離子）組成，它們構(gòu)成晶體的基本結(jié)構(gòu)單元，稱為基元。1、基元例1：碳60晶體

晶體基元是一個(gè)包含60個(gè)碳原子組成的巴基球

例2：兩種原子構(gòu)成的某種晶體

將基元在空間中按一定方式作周期性重復(fù)就形成了具有一定結(jié)構(gòu)的晶體。反映了晶體內(nèi)在結(jié)構(gòu)長(zhǎng)程有序的特征其正確性為X射線工作所證明兩者結(jié)合形成了關(guān)于晶體幾何結(jié)構(gòu)的完備理論空間點(diǎn)陣學(xué)說(19世紀(jì)布喇菲)空間群理論空間點(diǎn)陣學(xué)說中所稱的點(diǎn)子，代表著結(jié)構(gòu)中相同的位置，稱為結(jié)點(diǎn)。如果晶體由完全相同的一種原子組成，結(jié)點(diǎn)一般認(rèn)為是原子本身的位置，也可以將原子周圍相應(yīng)點(diǎn)的位置看作為結(jié)點(diǎn)3、結(jié)點(diǎn)如果晶體中含有數(shù)種原子，則將基元的重心選擇為結(jié)點(diǎn)是一種數(shù)學(xué)上的抽象2、格點(diǎn)(Latticesite)

用位于原子平衡位置的幾何點(diǎn)替代每一個(gè)原子，結(jié)果得到一個(gè)與晶體幾何特征相同、但無任何物理實(shí)質(zhì)的幾何圖形。處于原子平衡位置的幾何點(diǎn)稱為格點(diǎn)。意味著結(jié)點(diǎn)可以是格點(diǎn)也可以不是格點(diǎn)4、點(diǎn)陣結(jié)點(diǎn)在空間周期性排列的總體，稱為點(diǎn)陣5、晶格通過點(diǎn)陣中的結(jié)點(diǎn)，可以作許多平行的直線族和平行的晶面族這樣，點(diǎn)陣就成為一些網(wǎng)格，稱為晶格6、布喇菲格子和復(fù)式格子如果晶體由完全相同的一種原子組成，則由格點(diǎn)（原子）組成的網(wǎng)格和由結(jié)點(diǎn)組成的網(wǎng)格相同，這樣的網(wǎng)格稱為布喇菲格子如果晶體包含兩種或兩種以上的原子，則不同的原子各自構(gòu)成自身的布喇菲格子（子晶格），若干個(gè)相同的布喇菲格子相互位移套構(gòu)而形成所謂的復(fù)式格子。整個(gè)金剛石晶格可以看成是由沿體對(duì)角線相互位移四分之一對(duì)角線長(zhǎng)度的兩個(gè)面心立方晶格套構(gòu)而成。§1.5晶格周期性的描述1、晶格周期性的描述原胞和基矢原胞一個(gè)晶格中最小的重復(fù)單元例1：一維布喇菲格子原胞，即最小重復(fù)單元，為一個(gè)原子加上原子周圍長(zhǎng)度為a的區(qū)域a習(xí)慣上的選擇兩種選擇一維長(zhǎng)度最短、二維面積最小、三維體積最小的重復(fù)單元晶格的共同特點(diǎn)是具有周期性，可以用原胞和基矢來描述這一周期性例2：二維布喇菲格子原胞，由相鄰的四個(gè)原子構(gòu)成的面積最小的平行四邊形基矢原胞的邊矢量例1：一維布喇菲格子基矢例2：二維布喇菲格子基矢(1)(2)例3：三維布喇菲格子三維格子的重復(fù)單元是平行六面體基矢是原胞的三個(gè)邊矢量（1）例如：簡(jiǎn)單立方原胞對(duì)應(yīng)體積最小的重復(fù)單元除了周期性外，每種晶體還有自己特殊的對(duì)稱性。為了同時(shí)反映晶格的對(duì)稱性，往往會(huì)取最小重復(fù)單元的一倍或幾倍的晶格單位作為原胞。結(jié)晶學(xué)中常用這種方法選取原胞，故稱為結(jié)晶學(xué)原胞，簡(jiǎn)稱晶胞。晶胞晶胞的邊在晶軸方向，邊長(zhǎng)等于該方向上的一個(gè)周期，代表晶胞三個(gè)邊的矢量稱為晶胞基矢，用、、表示，這三個(gè)矢量的長(zhǎng)度a、b和c實(shí)際上就是所謂的晶格常數(shù)。在一些情況下，晶胞就是原胞而在另一些情況下，晶胞不是原胞原胞晶胞原胞晶胞例如簡(jiǎn)單立方晶格例如面心立方晶格2、晶格周期性的描述格矢對(duì)于簡(jiǎn)單格子，一旦基矢被確定，則任一原子A的位置可由下列格矢表示任意兩個(gè)格點(diǎn)間的位移矢量，即格矢量，簡(jiǎn)稱格矢例如l1、l2、l3為一組整數(shù)對(duì)于復(fù)式格子，任一原子A的位置可由下列格矢表示l1、l2、l3為一組整數(shù)＝1，2，3….例如：金剛石晶格對(duì)角線上的原子（紅色）位置面心立方位置上（綠色）的原子位置因此，可以用表示一個(gè)空間格子一組的取值可以囊括所有的格點(diǎn)因此，布喇菲格子又可以認(rèn)為是由確定的空間格子晶體可以看成是布喇菲格子的每一個(gè)格點(diǎn)上放上基元構(gòu)成的

晶體結(jié)構(gòu)＝晶格＋基元

例1：布喇菲格子為二維斜方格子、基元為2個(gè)原子

例2：布喇菲格子為三維斜方格子、基元為1個(gè)原子

例3：布喇菲格子為二維斜方格子、基元為多個(gè)原子

若Γ代表晶體的任一物理性質(zhì)（如電場(chǎng)強(qiáng)度、電子云密度等），由于晶格的周期性，則有3、晶格周期性物理性質(zhì)上式表明：一個(gè)重復(fù)單元中任一r處的物理性質(zhì)，同另一個(gè)重復(fù)單元相應(yīng)處的物理性質(zhì)相同§1.6典型晶體結(jié)構(gòu)的原胞和晶胞（1）簡(jiǎn)單立方體積原子數(shù)1000原胞晶胞晶胞＝原胞體積原胞只含一個(gè)原子基矢（2）體心立方體積原子數(shù)2晶胞原胞由立方體的中心到三個(gè)頂點(diǎn)引三個(gè)基矢基矢原胞只含一個(gè)原子體積（3）面心立方原胞晶胞原子數(shù)4體積原胞只含一個(gè)原子體積基矢由立方體的頂點(diǎn)到三個(gè)近鄰的面心引三個(gè)基矢基矢（4）六角密積結(jié)構(gòu)原胞基矢、在密排面內(nèi)，互成1200角沿垂直密排面的方向?；缸鳂I(yè)1、何謂布喇菲格子？畫出NaCl晶體的結(jié)點(diǎn)所構(gòu)成的布喇菲格子。為什么金剛石結(jié)構(gòu)是復(fù)式格子？2、基矢為的晶體為何種結(jié)構(gòu)？若又為何種結(jié)構(gòu)？提示：先計(jì)算出原胞體積由原胞體積可推斷為體心結(jié)構(gòu)也可以由已知的三個(gè)基矢構(gòu)造三個(gè)新的基矢由此可推斷為體心結(jié)構(gòu)§1.7晶向晶面和它們的標(biāo)記通過任何兩個(gè)格點(diǎn)連一直線，則這直線上包含無限個(gè)相同的格點(diǎn)，這樣的直線稱為晶體的晶列。晶列上格點(diǎn)的分布具有周期性，周期為晶列上任何兩相鄰格點(diǎn)的間距晶列由于所有格點(diǎn)周圍情況相同，因此通過任何其它的格點(diǎn)都有一晶列和原來晶列平行且具有相同的周期，這些平行的直線可以將所有格點(diǎn)包括無遺。在一個(gè)平面中相鄰晶列間距離相等通過一格點(diǎn)可以有無限多個(gè)晶列，其中每一個(gè)晶列都有一族平行的晶列與之對(duì)應(yīng)，所以共有無限多族的平行晶列。每一族晶列定義了一個(gè)方向，稱為晶向。晶向晶向指數(shù)同族晶列中的晶列相互平行，并且完全等同，所以一族晶列的特點(diǎn)是晶列的取向。如何描述晶列的取向？晶向指數(shù)l1、l2、l3為一組整數(shù)原胞為最小的重復(fù)單元，格點(diǎn)只在原胞的頂角上，若取某一格點(diǎn)O為原點(diǎn)，為原胞的三個(gè)基矢則任何一個(gè)格點(diǎn)A的位矢可以表示為：很明顯，晶列OA的取向被l1、l2、l3三個(gè)整數(shù)所確定。若l1、l2、l3為互質(zhì)整數(shù)，則可直接用這三個(gè)互質(zhì)整數(shù)來表示該晶列的方向類似于直角坐標(biāo)系中，知道一個(gè)矢量在x、y、z三個(gè)方向上的投影，這個(gè)矢量則被唯一確定。用晶向指數(shù)表示晶列方向稱為晶向指數(shù)若l1、l2、l3不為互質(zhì)整數(shù)，則先要將這三個(gè)數(shù)簡(jiǎn)約為互質(zhì)整數(shù)

在結(jié)晶學(xué)中，以、、為原胞基矢，把、、稱為晶軸，結(jié)點(diǎn)的位矢可寫成m’

、n’

、p’

不一定是整數(shù)，但乘上公倍數(shù)后，可得到一組整數(shù)m、n、p，并有稱為晶列指數(shù)。例1取某一格點(diǎn)O為原點(diǎn)，為原胞基矢沿晶向到最近一個(gè)格點(diǎn)A的位矢為：求晶向指數(shù)的簡(jiǎn)便方法則晶向指數(shù)：對(duì)二維布喇菲格子，求(1)和(2)兩晶列的晶向指數(shù)(1)(2)0(1)上離原點(diǎn)最近的格點(diǎn)位矢為所以晶向指數(shù)為(2)上離原點(diǎn)最近的格點(diǎn)位矢為所以晶向指數(shù)為例2對(duì)三維布喇菲格子，求OA晶列的晶向指數(shù)OA晶列上離原點(diǎn)最近的格點(diǎn)位矢為所以晶向指數(shù)為例3求簡(jiǎn)立方格子立方邊OA、面對(duì)角線OB和體對(duì)角線OC的晶向指數(shù)立方邊OA的晶向指數(shù)為[100]立方邊共有6個(gè)不同的晶向，晶向指數(shù)分別為面對(duì)角線OB的晶向指數(shù)為[110]面對(duì)角線共有12個(gè)不同的晶向體對(duì)角線OC的晶向指數(shù)為[111]體對(duì)角線共有8個(gè)不同的晶向由于立方晶格的對(duì)稱性，每一組晶向中所有晶向是等效的，因此，常常用<100>、<110>和<111>分別表示邊、面對(duì)角和體對(duì)角線的晶向。晶面晶面——晶體內(nèi)三個(gè)非共線格點(diǎn)組成的平面在一晶面外過其它格點(diǎn)作一系列與原晶面平行的晶面，可得到一組等距的晶面，各晶面上格點(diǎn)的分布情況是相同的，這組等距的晶面稱為一族晶面。所有的格點(diǎn)都在一族平行的晶面上而無遺漏。同一個(gè)格子兩組不同的晶面族與晶列相似，同族晶面中的晶面完全等同，所以晶面的特點(diǎn)也由其取向決定。密勒指數(shù)由于一族晶面必包含了所有格點(diǎn)而無遺漏，因此，在三個(gè)基矢末端的格點(diǎn)必分別落在該族的不同晶面上。末端上格點(diǎn)所在的晶面和原點(diǎn)所在晶面的間距應(yīng)當(dāng)為h1d，d為相鄰晶面間的面間距，h1為整數(shù)例如圖示的

為3d末端晶面離原點(diǎn)同理點(diǎn)所在晶面的間距應(yīng)當(dāng)分別為h2d和h3d，h2和h3均為整數(shù)、末端上格點(diǎn)所在的晶面和原可以證明，h1、h2和h3三個(gè)數(shù)是互質(zhì)的整數(shù)，且可用來表示晶面的法線方向，因此，這三個(gè)互質(zhì)整數(shù)稱為該晶面族的面指數(shù)，記為。最靠近原點(diǎn)的晶面在三個(gè)基矢上的截距分別為同族其它晶面在三個(gè)基矢方向上的截距為這組最小截距的整數(shù)倍若用天然長(zhǎng)度單位表示，則h1、h2、h3三個(gè)數(shù)的倒數(shù)為這組晶面中最靠近原點(diǎn)的晶面在三個(gè)基矢方向上的截距同樣，可以以晶胞基矢為坐標(biāo)軸表示晶面指數(shù)，表征晶面取向的互質(zhì)整數(shù)稱為晶面族的密勒指數(shù)，記為。OABCDEFG例1對(duì)如圖所示的基矢，求：ABC晶面的密勒指數(shù)；DEFG晶面的密勒指數(shù)(1)ABC晶面在三個(gè)基矢方向上的截距分別為4a、b、c，因此截距的倒數(shù)為因此，該晶面的密勒指數(shù)為(144)(2)DEFG晶面在三個(gè)基矢方向上的截距分別為2a、3b、，因此截距的倒數(shù)為因此，該晶面的密勒指數(shù)為(320)將晶面在基矢上的截距的倒數(shù)的比簡(jiǎn)約為互質(zhì)的整數(shù)的比，所得的互質(zhì)整數(shù)即為密勒指數(shù)為例2求簡(jiǎn)立方格子典型晶面的密勒指數(shù)1、(100)晶面在三個(gè)基矢方向上的截距分別為a、、，因此截距的倒數(shù)為由于立方晶格的對(duì)稱性，這三組晶面是等效的，因此，常常用{100}來表示(100)、(010)和(001)

三個(gè)等效的晶面。因此，該晶面的密勒指數(shù)為類似的晶面有(010)、(001)在三個(gè)基矢方向上的截距分別為a、b、，因此截距的倒數(shù)為因此，該晶面的密勒指數(shù)為類似的晶面有6個(gè)，密勒指數(shù)分別為記為｛110｝2、(110)晶面3、(111)晶面在三個(gè)基矢方向上的截距分別為a、b、c，因此截距的倒數(shù)為因此，該晶面的密勒指數(shù)為類似的晶面有4個(gè)，密勒指數(shù)分別為記為｛111｝符號(hào)相反的晶面指數(shù)只是在區(qū)別晶體的外表面時(shí)才有意義，在晶體內(nèi)部這些面都是等效的作業(yè)2、如圖所示，B、C兩點(diǎn)是面心立方晶胞上的兩面心，求：（1）ABC面的密勒指數(shù)；（2）AC晶列的指數(shù)。BCA1、指出立方晶格(111)面與(100)面的交線的晶向以及

(111)面與(110)面的交線的晶向?！?.8

晶體宏觀對(duì)稱性及其對(duì)稱操作§1.8.1

正交變換

以宏觀的角度討論如何描寫一個(gè)幾何圖形的對(duì)稱性要描述一個(gè)幾何圖形的對(duì)稱性，一般采用幾何變換的方法例：比較以下圖形的對(duì)稱性（a）（b）（c）（d）為比較圖形的對(duì)稱性，規(guī)定在作幾何變換時(shí)，圖形中有一點(diǎn)固定不動(dòng)（a）ABCD一個(gè)對(duì)稱軸，旋轉(zhuǎn)π角度。一種幾何變換。（b）(1)(2)(3)(1)旋轉(zhuǎn)π角度（2）旋轉(zhuǎn)π角度(3)旋轉(zhuǎn)π/2、π、3π/2角度五種幾何變換。（c）無窮多種變換。（d）無幾何變換所以，幾何變換越多，對(duì)稱性越高.對(duì)稱操作對(duì)晶格點(diǎn)陣而言，對(duì)稱操作即為操作前后點(diǎn)陣不變正交變換在幾何變換中，若任意兩點(diǎn)間的距離不變，這種變換稱之為正交變換，如用數(shù)學(xué)表示，正是熟知的線性變換一個(gè)物體在某一個(gè)正交變換下保持不變，稱之為物體的一個(gè)對(duì)稱操作，物體的對(duì)稱操作越多，則其對(duì)稱性越高一種幾何變換ABCD無窮多變換1、轉(zhuǎn)動(dòng)幾種簡(jiǎn)單操作的變換關(guān)系xyoθ一矢量在oxy平面旋轉(zhuǎn)θ角度得到矢量，則變換關(guān)系是寫成矩陣若令矩陣Ａ為則有很容易驗(yàn)證矩陣Ａ為正交矩陣2、中心反映xyz經(jīng)中心反演后得到新的矢量，變換關(guān)系是寫成矩陣變換矩陣Ａ為3、鏡象以z=0作為鏡面，鏡象對(duì)稱操作是將圖形中任何一點(diǎn)(x,y,z)變成(x,y,-z)，變換關(guān)系是xyz寫成矩陣變換矩陣Ａ為§1.8.2

基本的對(duì)稱操作晶格周期性對(duì)對(duì)稱操作有所限制，以轉(zhuǎn)動(dòng)操作為例，由于晶格周期性，并非所有的轉(zhuǎn)動(dòng)操作對(duì)晶體都是允許的。設(shè)想有一個(gè)對(duì)稱軸垂直于平面，繞轉(zhuǎn)軸的任意對(duì)稱操作，即轉(zhuǎn)過一角度同族晶列格點(diǎn)的周期性相等，因此有（m為整數(shù)）由圖知A點(diǎn)和Ｂ點(diǎn)是等價(jià)的，以通過Ｂ點(diǎn)的軸順時(shí)針轉(zhuǎn)角度后Ａ點(diǎn)轉(zhuǎn)到Ａ’點(diǎn)，操作前后點(diǎn)陣不變，因此，Ａ’點(diǎn)必有一格點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)角度后B點(diǎn)轉(zhuǎn)到B’點(diǎn)，操作前后點(diǎn)陣不變，因此B’點(diǎn)必有一格點(diǎn)1、晶格周期性對(duì)對(duì)稱操作的限制012301

n=2,3,4,6綜上所述，旋轉(zhuǎn)角可寫成且因此，晶體中由于晶格周期性的限制，只可有1，2，3，4，6度轉(zhuǎn)軸，不存在5度或6度以上的轉(zhuǎn)軸n稱為轉(zhuǎn)軸的次數(shù)或度數(shù)2、幾種基本的對(duì)稱操作n度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸晶體繞某軸旋轉(zhuǎn)角度后能自身重合，則稱該軸為n度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。對(duì)稱軸的度數(shù)n符號(hào)2346由于晶格滿足平移對(duì)稱性，故不存在5度軸準(zhǔn)晶（1984）：有五重對(duì)稱但不具有平移對(duì)稱性n度旋轉(zhuǎn)－反演軸晶體繞某軸旋轉(zhuǎn)角度后在經(jīng)過中心反演能自身重合，則稱該軸為n度旋轉(zhuǎn)－反演軸。由于晶格滿足平移對(duì)稱性，故只有1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)－反演軸，分別記為不存在5度或6以上的對(duì)稱軸用表示n度旋轉(zhuǎn)－反演軸中心反演，稱為對(duì)稱心，用i

表示，即先繞軸旋轉(zhuǎn)1800再作中心反演，如圖，AA’A”其效果相當(dāng)于A通過垂直于轉(zhuǎn)軸的平面的鏡象操作（m），因此，其效果相當(dāng)于3度轉(zhuǎn)軸加上對(duì)稱心i其效果相當(dāng)于3度轉(zhuǎn)軸加上垂直于該軸的對(duì)稱面4度旋轉(zhuǎn)－反演的效果并不能通過其它操作來替代綜上所述，晶體的微觀對(duì)稱性中有8種基本的對(duì)稱操作§1.8.3

對(duì)稱操作群1、群的基本知識(shí)群：一組具有特殊運(yùn)算規(guī)則的數(shù)學(xué)“元素”的集合1）集合G中任意兩個(gè)元素的“乘積”仍為集合內(nèi)的元素群的封閉性則2）存在單位元素E使得所有元素滿足：3）對(duì)任意元素A，存在逆元素A-1，且4）元素間的“乘法運(yùn)算”滿足結(jié)合律：群的性質(zhì)2、幾個(gè)簡(jiǎn)單的群1）所有除0以外的正實(shí)數(shù)的集合，以普通乘法為運(yùn)算法則，組成正實(shí)數(shù)群。2）所有整數(shù)的集合，以加法為運(yùn)算法則，組成整數(shù)群群的封閉性：Ａ操作：繞OA軸轉(zhuǎn)/2，S點(diǎn)轉(zhuǎn)到T’點(diǎn)Ｂ操作：繞OC軸轉(zhuǎn)/2，T’點(diǎn)轉(zhuǎn)到S點(diǎn)兩個(gè)操作中S和O沒動(dòng)，而T點(diǎn)轉(zhuǎn)到T’點(diǎn)相當(dāng)于Ｃ操作：繞OS軸轉(zhuǎn)2/3因此，C=BA群的封閉性同樣可以論證3）一個(gè)物體全部對(duì)稱操作的集合，以連續(xù)操作為運(yùn)算法則，組成對(duì)稱操作群?jiǎn)挝辉兀翰粍?dòng)操作任意元素的逆元素：例如：繞轉(zhuǎn)軸角度，其逆操作就是繞轉(zhuǎn)軸-中心反演的逆操作仍是中心反演A(BC)=(AB)C滿足結(jié)合律由8種對(duì)稱素為基礎(chǔ)組成的對(duì)稱操作群，一般稱為點(diǎn)群3、點(diǎn)群理論證明，由8種對(duì)稱素只能組成32種不同的點(diǎn)群

意味著晶體的宏觀對(duì)稱性只有32個(gè)不同的類型包含點(diǎn)群的對(duì)稱操作和平移對(duì)稱操作的所有組合方式構(gòu)成的群，一般稱為空間群，總共有230個(gè)空間群4、空間群§1.9

七大晶系14種原胞在結(jié)晶學(xué)中，所選取的布喇菲原胞，即晶胞，不僅反映晶格的周期性，還要求反映晶體的對(duì)稱性。由于這一原因，晶胞不一定是最小的重復(fù)單元，一般可能包括幾個(gè)最小的重復(fù)單元晶胞的格點(diǎn)不僅在頂角上，其面心或體心上也可能有格點(diǎn)晶胞的基矢一般選擇在晶軸方向（即晶向）上，晶軸上的周期就是基矢的大小，稱為晶格常數(shù)。1、結(jié)晶學(xué)原胞1850年，布喇菲證明，由32種點(diǎn)群描述的晶體對(duì)稱性，對(duì)應(yīng)的只有14種布喇菲點(diǎn)陣。2、七大晶系這14種布喇菲點(diǎn)陣，按照坐標(biāo)系的性質(zhì)，晶體可劃分為七大晶系：三斜，單斜，正交，四方，三角及六角。結(jié)晶學(xué)中