第3章 剛體力學(xué)

力學(xué)·剛體力學(xué)力學(xué)·內(nèi)容結(jié)構(gòu)力學(xué)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)體系剛體力學(xué)·剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理3.1力矩的瞬時(shí)效應(yīng)——?jiǎng)傮w轉(zhuǎn)動(dòng)定理3.1.1描述剛體力學(xué)的物理參量角參量(角位移、角速度、角加速度)；線參量與角參量的關(guān)系(參第1章)(1)描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角參量(2)改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的參量——力矩力臂：力與轉(zhuǎn)軸的距離力矩：力與力臂的矢積或(3)保持剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的參量——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參下節(jié)內(nèi)容剛體力學(xué)·剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理3.1.2繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理(1)物理模型對固定轉(zhuǎn)軸剛體，只有分解到xoy平面的切向的分力，才影響轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體受力分析切向分力影響剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)剛體力學(xué)·剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理(2)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理設(shè)位矢ri

的質(zhì)點(diǎn)受到質(zhì)點(diǎn)j內(nèi)力

fji，受到合外力為Fi，由牛頓第二定律剛體繞固定z軸轉(zhuǎn)動(dòng)將上式兩邊同時(shí)乘以ri

并利用矢量矢積的定義有考慮剛體中所有質(zhì)點(diǎn)、力矩的定義以及內(nèi)力上式成為當(dāng)微元趨于無限小時(shí)定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理A轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義：保持剛體原有轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)慣性的量度B繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律適用條件：慣性系3.1.3剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算例3.1.1

質(zhì)量相等的三小球等間距分布在x-y平面角平分線上并繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)求：系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體力學(xué)·剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理解：由剛體力學(xué)·剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理例3.1.2

線密度為、質(zhì)量為m的均勻細(xì)桿與轉(zhuǎn)軸的夾角為求

其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解：由在桿上l

處任取微元dm而桿的總長度例3.1.3

桿上等間距地套上三個(gè)質(zhì)量都等于桿的質(zhì)量的小球，系統(tǒng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)求：系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解：桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量三個(gè)小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體力學(xué)·剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理例3.1.4

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理

Ic

過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，l是與過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸平行、相距為l另一轉(zhuǎn)軸證明質(zhì)心坐標(biāo)求解方法Ic是過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體力學(xué)·剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理例3.1.5

垂直軸定理：平面薄板剛體對垂直于平面任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對在平面內(nèi)并與該垂直軸相交的任二正交軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和證明例3.1.6

求均勻分布、質(zhì)量為m的球體繞其直徑作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的I解：球體的質(zhì)量密度采用球坐標(biāo)系剛體力學(xué)·剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理課后作業(yè)：一些常見物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算(參教材p99-p100)3.1.4繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理的應(yīng)用例3.1.6

電風(fēng)扇開啟電源經(jīng)t1達(dá)到額定轉(zhuǎn)速0，關(guān)閉電源時(shí)經(jīng)t2停止；設(shè)電風(fēng)扇的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，且電機(jī)的電磁力矩與摩擦力矩為恒量求：電機(jī)的電磁力矩解：設(shè)電風(fēng)扇的電磁力矩、摩擦力矩分別為M、Mf

電風(fēng)扇開啟時(shí)受電磁力矩與摩擦力矩的作用，即剛體力學(xué)·剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理當(dāng)電風(fēng)扇達(dá)到額定轉(zhuǎn)速時(shí)電風(fēng)扇關(guān)閉過程中，只受到摩擦力矩的作用，即達(dá)到停止時(shí)解此聯(lián)立方程組，得例3.1.7

質(zhì)量為

M、半徑為R

的勻質(zhì)柱體可繞通過其中心軸線的光滑水平定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；柱邊緣繞有一根不能伸長的細(xì)繩下端掛一質(zhì)量為m

的物體求：柱體的角加速度及繩中的張力剛體力學(xué)·剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理解：用隔離體法對m對柱解得例3.1.8

可繞水平光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)的勻質(zhì)圓盤質(zhì)量分別為m1=24kg，m2=5kg，一輕繩一端纏繞于m1上，另一端經(jīng)m2鏈接m=10kg的物體求：物體m

由靜止開始下落h=0.5m時(shí)，物體的速度及繩的張力解：各物體受力情況如圖所示剛體力學(xué)·剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理求解聯(lián)立方程，代入數(shù)據(jù)，可得例3.1.9

質(zhì)量為

m、長為l的均勻細(xì)棒AB，可繞水平光滑軸o在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，o軸離A端的距離為l/3，棒從靜止開始由水平位置繞o軸轉(zhuǎn)動(dòng)求：棒轉(zhuǎn)過角時(shí)的角加速度和角速度。

解：各物體受力情況如圖所示又因所以積分得剛體力學(xué)·剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理例3.1.10

質(zhì)量為m、半徑為R

的勻質(zhì)圓盤繞通過盤心且垂直于盤面的光滑軸以o

轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)將盤置于摩擦系數(shù)為的μ

粗糙水平桌面上求：圓盤經(jīng)多少時(shí)間、轉(zhuǎn)幾圈將停下來？解：摩擦力分布在整個(gè)盤面上，取半徑為

r、寬為dr

的微元，摩擦力矩為剛體力學(xué)·剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理轉(zhuǎn)動(dòng)慣量于是得又由，所以停下來前轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為剛體力學(xué)·角動(dòng)量定理3.2力矩的時(shí)間累積效應(yīng)——角動(dòng)量定理3.2.1描述力矩時(shí)間累積效應(yīng)的物理參量(1)沖量矩或記討論：沖量矩的討論完全類似于沖量的討論，(略，自己補(bǔ)充)力矩在時(shí)間上的累積矢量，稱為沖量矩(2)角動(dòng)量定理與角動(dòng)量其中，I1、1和I2、2分別表示始末狀態(tài)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度定義剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量剛體力學(xué)·角動(dòng)量定理于是討論：關(guān)于角動(dòng)量與角動(dòng)量定理(1)角動(dòng)量的其它表述形式

因于是即角動(dòng)量可以定義為角動(dòng)量的普遍定義式(2)沖量矩、角動(dòng)量與角動(dòng)量定理的矢量性與獨(dú)立性剛體力學(xué)·角動(dòng)量定理(3)適用條件。其適用條件仍然是慣性系角動(dòng)量定理中的力矩只有外力矩

角動(dòng)量守恒定律：當(dāng)外力沖量矩的矢量和為零時(shí)，角動(dòng)量保持不變例3.2.1

當(dāng)I1=I2時(shí)，，剛體做勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)I變化時(shí)，現(xiàn)象解釋剛體力學(xué)·角動(dòng)量定理3.2.2角動(dòng)量定理的應(yīng)用例3.2.2

勻質(zhì)園盤(m、R)與一人(m/10，視為質(zhì)點(diǎn))一起以角速度0

繞通過其盤心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如果此人相對于盤以速率v、沿半徑為R/2

的園周運(yùn)動(dòng)(方向與盤轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反)求(1)圓盤對地的角速度

(2)欲使園盤對地靜止，人相對園盤的速度大小和方向？解：系統(tǒng)：圓盤+人解出剛體力學(xué)·角動(dòng)量定理得負(fù)號表示人的運(yùn)動(dòng)方向與0

方向相同(2)欲使盤靜止，令解：繩的拉力的作用線通過o點(diǎn)，對o點(diǎn)的角動(dòng)量守恒例3.2.3

細(xì)繩一端系有置于水平桌面、質(zhì)量m

的小球，另一端穿過桌面小孔

o并用力往下拉住。設(shè)開始時(shí)小球以0

繞孔o(hù)作半徑r的勻速圓周運(yùn)動(dòng),現(xiàn)在向下緩慢拉繩，直到小球作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r/2

止求：這一過程中拉力的功剛體力學(xué)·角動(dòng)量定理由動(dòng)能定理，拉力的功為例3.2.4質(zhì)量、半徑分別為M1、M2

和R1、R2的兩均勻圓柱各自繞相互平行中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)角速度分別為1、2，現(xiàn)將它們緩慢移近并接觸求：兩圓柱在它們相互間摩擦力作用下所達(dá)到的最終角速度解：在兩圓柱體之間的摩擦力作用下，最終線速度相等由角動(dòng)量定理剛體力學(xué)·角動(dòng)量定理圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量聯(lián)立求解方程討論：(1)關(guān)于連接條件

(2)連接體的角動(dòng)量守恒問題，角動(dòng)量應(yīng)守恒嗎？系統(tǒng)初始狀態(tài)的角動(dòng)量L1為系統(tǒng)末狀態(tài)的角動(dòng)量L2為剛體力學(xué)·角動(dòng)量定理聯(lián)立求解方程摩擦力沖量矩的代數(shù)和并不為零不是繞同一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(不一定等于零)例3.2.5

人們把物體所受的指向同一固定點(diǎn)的作用力稱為有心力或中心力證明：(1)在有心力作用下運(yùn)動(dòng)的物體，角動(dòng)量守恒；(2)有心力是保守力，在有心力場中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能守恒；(3)隆格－楞茨矢量守恒；(4)中心力場中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)一定滿足開普勒運(yùn)動(dòng)

剛體力學(xué)·角動(dòng)量定理證明：(1)有心力場中有心力對質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的力矩為零，故角動(dòng)量守恒

(2)有心力可表示為質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下沿任意路徑運(yùn)動(dòng)過程中，有心力所做的功其中，勢能受力物體與有心力場場源構(gòu)成的系統(tǒng)只受到保守力作用，機(jī)械能守恒

(3)對平方反比有心力其中，k為常數(shù)?？疾靹傮w力學(xué)·角動(dòng)量定理即或=常數(shù)(4)為證明平方反比中心力場中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)一定滿足開普勒運(yùn)動(dòng)另一方面其中=常數(shù)=常數(shù)上式是極坐標(biāo)下的圓錐曲線方程(當(dāng)<1

時(shí)，為橢圓方程)

剛體力學(xué)·角動(dòng)量定理計(jì)算單位時(shí)間掃過的面積(開普勒第二定律)=常數(shù)例3.2.61970年我國發(fā)射的第一枚地球衛(wèi)星的數(shù)據(jù)如下：質(zhì)量m=173kg，周期T=114min，近日點(diǎn)距地心r1=6817km，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地心r2=8762km，橢圓軌道半長軸：a=7790km，橢圓軌道半短軸：b=7720km求：衛(wèi)星的近地速度和遠(yuǎn)地速度剛體力學(xué)·角動(dòng)量定理解：衛(wèi)星作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，且角動(dòng)量守恒，設(shè)衛(wèi)星近地速度為v1，方向與

r1垂直；遠(yuǎn)地速度為

v2，方向與r2垂直于是=常數(shù)km/skm/s在上面式子中，利用了橢圓面積功式s=ab

(2)回轉(zhuǎn)儀剛體進(jìn)動(dòng)回轉(zhuǎn)儀構(gòu)造回轉(zhuǎn)儀工作原理剛體力學(xué)·角動(dòng)量定理剛體力學(xué)·功能原理3.3力矩的空間累積效應(yīng)——?jiǎng)傮w的機(jī)械能守恒定律3.3.1描述剛體空間累積效應(yīng)的物理參量設(shè)質(zhì)點(diǎn)在合外力作用下所作的功積分形式微分形式(1)力矩的功討論：A內(nèi)力所作功之和為零B力矩作功的正負(fù)符號規(guī)定

C力矩作功的功率剛體力學(xué)·功能原理(2)剛體的勢能與勢能定理結(jié)論：剛體的勢能等于剛體質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)的勢能勢能定理：保守力對剛體所作的功，等于剛體勢能增量的負(fù)值案例：重力勢能(3)剛體的動(dòng)能與動(dòng)能定理積分形式微分形式剛體力學(xué)·功能原理定義繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體動(dòng)能

繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的動(dòng)能定理3.3.2剛體的功能原理與機(jī)械能守恒定律定義剛體動(dòng)能與勢能之和為剛體的機(jī)械能

考慮到剛體內(nèi)力不做功功能原理：外力矩對剛體所做的功，等于剛體機(jī)械能的增量3.3.3剛體功能原理的應(yīng)用(1)剛體功能原理的應(yīng)用剛體力學(xué)·功能原理例3.3.1

質(zhì)量、半徑相同的圓柱、薄球殼、球體從相同光滑斜面、相同高度由靜止無相對滑動(dòng)下滑求：質(zhì)心所獲得的速度解：將地球、斜面、m看作為系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒無滑動(dòng)的條件對圓柱對球殼對球體質(zhì)心獲得的速度分別為剛體力學(xué)·功能原理例3.3.2

質(zhì)量為

m的火箭以與地軸oo平行、速度v0發(fā)射，運(yùn)動(dòng)軌道與地軸

oo相交于距o為3R

的C點(diǎn)。不考慮地球的自轉(zhuǎn)和空氣阻力求：火箭在C點(diǎn)的速度v與v0之間的夾角。(設(shè)地球的質(zhì)量為M、半徑為R)解火箭運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒對o

點(diǎn)的角動(dòng)量守恒解得剛體力學(xué)·功能原理例3.3.3

質(zhì)量m、長l

的均勻細(xì)直棒可繞其一端且與棒垂直的水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng)；開始時(shí)，棒靜止在豎直位置求：棒轉(zhuǎn)到與水平面成角時(shí)的角速度和角加速度解：取水平面為零勢面，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒討論：本題也可先由求出，再用積分求剛體力學(xué)·功能原理例3.3.4

由彈簧、勻質(zhì)滑輪和重物M

組成的系統(tǒng)，該系統(tǒng)在彈簧為原長時(shí)被靜止釋放；繩與滑輪無滑動(dòng)求：(1)重物M

下落h

時(shí)的速度；(2)彈簧的最大伸長量解：(1)系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中只有重力和彈性力作功，所以機(jī)械能守恒(2)令M的速度v=0，彈簧的最大伸長量為剛體力學(xué)·功能原理例3.3.5

空心園環(huán)可繞光滑的豎直固定軸AC自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I0

，半徑為R，初始角速度為0

。質(zhì)量為m的小球靜止在環(huán)的最高處A點(diǎn)，由于某種擾動(dòng)，小球沿環(huán)向下滑動(dòng)求：小球滑到與環(huán)心o在同一高度的B點(diǎn)時(shí)，環(huán)的角速度及小球相對于環(huán)的速度各為多少?(設(shè)環(huán)的內(nèi)壁和小球都是光滑的，環(huán)截面很小)解：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中角動(dòng)量守恒；機(jī)械能也守恒上式中的v

是小球相對于地的速度，它應(yīng)為(1)(2)剛體力學(xué)·功能原理vB表小球在B點(diǎn)時(shí)相對地面的豎直分速度由(2)得由(1)得環(huán)的角速度為例3.3.6

長

l、質(zhì)量M

的勻質(zhì)桿可繞過其一端的光滑軸o轉(zhuǎn)動(dòng)，桿初始時(shí)豎直下垂；質(zhì)量為m

的子彈以水平速度射入桿的A點(diǎn)并嵌其中，oA=2l/3求：(1)子彈射入后瞬間桿的角速度；(2)桿能轉(zhuǎn)過的最大角度解：(1)桿+子彈：豎直位置，外力均不產(chǎn)生力矩，碰撞過程中角動(dòng)量守恒剛體力學(xué)·功能原理(2)桿在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中顯然機(jī)械能守恒由此得(2)剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)問題平面平行運(yùn)動(dòng)：剛體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)都平行于某一平面的運(yùn)動(dòng)結(jié)論：慣性參考系中，平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體，其總動(dòng)能應(yīng)等于質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和例3.3.7

光滑的桌面上有一質(zhì)量M、長2l

的細(xì)桿，質(zhì)量m、速度v0的小球沿