中考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專題：軸對(duì)稱之將軍飲馬模型 (人教版)

人教版中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題：軸對(duì)稱之將軍飲馬模型1．問(wèn)題提出（1）如圖，點(diǎn)M、N是直線l外兩點(diǎn)，在直線l上找一點(diǎn)K，使得MK+NK最小．問(wèn)題探究（2）在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度數(shù)的大?。畣?wèn)題解決（3）如圖，矩形ABCD是某公園的平面圖，AB＝30米，BC＝60米，現(xiàn)需要在對(duì)角線BD上修一涼亭E，使得到公園出口A、B，C的距離之和最小．問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)E？若存在，請(qǐng)畫出點(diǎn)E的位置，并求出EA+EB+EC的和的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（1）如圖①，點(diǎn)A、點(diǎn)B在線段l的同側(cè)，請(qǐng)你在直線l上找一點(diǎn)P，使得AP+BP的值最?。ú恍枰f(shuō)明理由）．（2）如圖②，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，對(duì)角線AC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且EF＝2，求DE+BF的最小值．（3）如圖③，四邊形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四邊形ABCD的周長(zhǎng)是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．已知“兩點(diǎn)之間，線段最短”，我們經(jīng)常利用它來(lái)解決兩線段和最小值問(wèn)題．（1）實(shí)踐運(yùn)用唐朝詩(shī)人李欣的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題﹣﹣將軍飲馬問(wèn)題：如圖1所示，詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后，再到B點(diǎn)宿營(yíng)，請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總的路程最短？畫出最短路徑并說(shuō)明理由．（2）拓展延伸如圖2，點(diǎn)P，Q是△ABC的邊AB、AC上的兩個(gè)定點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們?cè)贐C上找一點(diǎn)R，使得△PQR的周長(zhǎng)最短（要求：尺規(guī)作圖，不寫作圖過(guò)程保留作圖痕跡）．4．著名的“將軍飲馬”問(wèn)題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地，但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？5．傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：軍官?gòu)能姞I(yíng)A出發(fā)先到河邊飲馬，再去同側(cè)的B地開會(huì)（如圖），應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？你能解決這個(gè)著名的“將軍飲馬”問(wèn)題嗎？請(qǐng)畫圖說(shuō)明．6．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B（4，1），點(diǎn)C（﹣3，﹣2）．（1）在x軸上找一點(diǎn)D，使AD+BD最小，求點(diǎn)D坐標(biāo)；（2）在y軸上找一點(diǎn)E，使|AE﹣CE|最大，求點(diǎn)E坐標(biāo)．7．有人會(huì)說(shuō)：“這也太簡(jiǎn)單了！”別著急，請(qǐng)看下面這道題（如圖）有一位將軍騎著馬要從A地走到B地，但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近．這道題乍一看似乎無(wú)從下手．但經(jīng)過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)此題依然可以利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)解決問(wèn)題，具體方法為：做B點(diǎn)與河面的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，可得到馬喝水的地方C（如圖）．再連接CB得到這道題的解A→C→B．這就是著名的“將軍飲馬”問(wèn)題．不信的話你可以在河邊任意取一點(diǎn)C′連接AC′和C′B，比較一下就知道了．8．古希臘有一個(gè)著名的“將軍飲馬問(wèn)題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側(cè)的兩個(gè)軍營(yíng)A，B．他總是先去A營(yíng)，再到河邊飲馬，之后，再巡查B營(yíng)．他時(shí)常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對(duì)稱的方法巧妙地解決了這個(gè)問(wèn)題．如圖2，作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連結(jié)AB′與直線l交于點(diǎn)C，點(diǎn)C就是所求的位置．證明：如圖3，在直線l上另取任一點(diǎn)C′，連結(jié)AC′，BC，B′C′，∵直線l是點(diǎn)B，B′的對(duì)稱軸，點(diǎn)C，C′在l上，∴CB＝，C′B＝，∴AC+CB＝AC+CB′＝．在△AC′B′，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最?。締?wèn)題實(shí)際上是利用軸對(duì)稱變換的思想，把A，B在直線同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問(wèn)題加以解決（其中C在AB′與l的交點(diǎn)上，即A，C，B′三點(diǎn)共線）．本問(wèn)題可歸納為“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離和的最小值”的問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型．拓展應(yīng)用：如圖4，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，點(diǎn)P是BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D5中畫出PC+PM的值最小時(shí)P的位置．（可用三角尺）9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（3，0），AB＝8，C點(diǎn)到x軸的距離CD為2，且∠ABC＝30°．（1）求點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）如圖2，y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F（E點(diǎn)在F點(diǎn)上方）滿足線段EF的長(zhǎng)為，連接CE、AF，當(dāng)線段CE+EF+AF有最小值時(shí)，請(qǐng)求出這個(gè)最小值；（3）如圖3，將△ACB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△BGH，使點(diǎn)A與點(diǎn)H重合，點(diǎn)C與點(diǎn)G重合，將△BGH沿直線BC平移，記平移中的△BGH為△B′G′H′，在平移過(guò)程中，設(shè)直線B′H′與x軸交于點(diǎn)M，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得△B′MG′為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．10．已知一次函數(shù)y＝4kx+5k+（k≠0）．（1）無(wú)論k為何值，函數(shù)圖象必過(guò)定點(diǎn)，求該點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖1，當(dāng)k＝﹣時(shí)，該直線交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，直線l2：y＝x+1交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)Q是l2上一點(diǎn)，若S△ABQ＝6，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，在第2問(wèn)的條件下，已知D點(diǎn)在該直線上，橫坐標(biāo)為1，C點(diǎn)在x軸負(fù)半軸，∠ABC＝45°，動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，a），求CM+MD的最小值．11．【模型介紹】古希臘有一個(gè)著名的“將軍飲馬問(wèn)題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側(cè)的兩個(gè)軍營(yíng)A，B．他總是先去A營(yíng)，再到河邊飲馬，之后，再巡查B營(yíng)．如圖①，他時(shí)常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對(duì)稱的方法巧妙地解決了這個(gè)問(wèn)題．如圖②，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′與直線l交于點(diǎn)P，連接PB，則AP+BP的和最?。?qǐng)你在下列的閱讀、理解、應(yīng)用的過(guò)程中，完成解答．理由：如圖③，在直線l上另取任一點(diǎn)P′，連接AP′，BP′，B′P′，∵直線l是點(diǎn)B，B′的對(duì)稱軸，點(diǎn)P，P′在l上，∴PB＝，P′B＝，∴AP+PB＝AP+PB′＝．在△AP′B′中，∵AB′＜AP′+P′B′，∴AP+PB＜AP+P′B′，即AP+BP最小．【歸納總結(jié)】在解決上述問(wèn)題的過(guò)程中，我們利用軸對(duì)稱變換，把點(diǎn)A，B在直線同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，即轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊”的問(wèn)題加以解決（其中點(diǎn)P為AB′與l的交點(diǎn)，即A，P，B′三點(diǎn)共線）．由此，可拓展為“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線同側(cè)兩定點(diǎn)的距離和的最小值”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型．【模型應(yīng)用】（1）如圖④，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一動(dòng)點(diǎn)．求EF+FB的最小值．解析：解決這個(gè)問(wèn)題，可借助上面的模型，由正方形對(duì)稱性可知，點(diǎn)B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接DE交AC于點(diǎn)F，則EF+FB的最小值就是線段ED的長(zhǎng)度，則EF+FB的最小值是．（2）如圖⑤，圓柱形玻璃杯，高為14cm，底面周長(zhǎng)為16cm，在杯內(nèi)離杯底3cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短路程為cm．（3）如圖⑥，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD的方向平移，得到△A′B′D′，分別連接A′C，A′D，B′C，則A′C+B′C的最小值為．12．某班級(jí)在探究“將軍飲馬問(wèn)題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：直線l同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，在直線l上存在點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小．解法：如圖1，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點(diǎn)即為P，且PA+PB的最小值為A′B．請(qǐng)利用上述模型解決下列問(wèn)題：（1）幾何應(yīng)用：如圖2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，E是AB的中點(diǎn)，P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PE的最小值為；（2）代數(shù)應(yīng)用：求代數(shù)式+（0≤x≤3）的最小值；（3）幾何拓展：如圖3，△ABC中，AC＝2，∠A＝30°，若在AB、AC上各取一點(diǎn)M、N使CM+MN的值最小，最小值是．13．早在古羅馬時(shí)代，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題．將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營(yíng)B開會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？這個(gè)問(wèn)題的答案并不難，據(jù)說(shuō)海倫略加思索就解決了它．從此以后，這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問(wèn)題便流傳至今．大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對(duì)稱的方法巧妙地解決了這個(gè)問(wèn)題．如圖2，作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′與直線l交于點(diǎn)C，點(diǎn)C就是所求的位置．證明：如圖3，在直線l上另取任一點(diǎn)C′，連接AC′，BC′，B′C′，∵直線l是點(diǎn)B，B′的對(duì)稱軸，點(diǎn)C，C′在l上，∴CB＝CB′，C′B＝C′B′，∴AC+CB＝AC+＝．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最?。締?wèn)題實(shí)際上是利用軸對(duì)稱變換的思想，把A，B在直線同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問(wèn)題加以解決（其中C在AB′與l的交點(diǎn)上，即A、C、B′三點(diǎn)共線）．本問(wèn)題可歸納為“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離和的最小值”的問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型．【簡(jiǎn)單應(yīng)用】（1）如圖4，在等邊△ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是AC的中點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn)，求EM+MC的最小值借助上面的模型，由等邊三角形的軸對(duì)稱性可知，B與C關(guān)于直線AD對(duì)稱，連接BM，EM+MC的最小值就是線段的長(zhǎng)度，則EM+MC的最小值是；（2）如圖5，在四邊形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點(diǎn)M、N當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠AMN+∠ANM＝°．【拓展應(yīng)用】如圖6，是一個(gè)港灣，港灣兩岸有A、B兩個(gè)碼頭，∠AOB＝30°，OA＝1千米，OB＝2千米，現(xiàn)有一艘貨船從碼頭A出發(fā)，根據(jù)計(jì)劃，貨船應(yīng)先?？縊B岸C處裝貨，再停靠OA岸D處裝貨，最后到達(dá)碼頭B．怎樣安排兩岸的裝貨地點(diǎn)，使貨船行駛的水路最短？請(qǐng)畫出最短路線并求出最短路程．14．如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，﹣1）、B（3，2）、C（1，﹣2）．（1）判斷△ABC的形狀，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）求△ABC的周長(zhǎng)和面積．（3）在x軸上有一點(diǎn)P，使得PA+PC最小，則PA+PC的最小值為．15．李明酷愛(ài)數(shù)學(xué)，勤于思考，善于反思．在學(xué)習(xí)八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)之后，他發(fā)現(xiàn)“二次根式、勾股定理、一次函數(shù)、平行四邊形”都和“將軍飲馬”問(wèn)題有關(guān)聯(lián)，并且為解決“飲馬位置”“最短路徑長(zhǎng)”等問(wèn)題，提供了具體的數(shù)學(xué)方法．于是他撰寫了一篇數(shù)學(xué)作文．請(qǐng)你認(rèn)真閱讀思考，幫助李明完成相關(guān)問(wèn)題．“將軍飲馬”問(wèn)題的探究與拓展八年級(jí)三班李明“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”（唐?李頎《古從軍行》），這句詩(shī)讓我想到了有趣的“將軍飲馬”問(wèn)題：將軍從A地出發(fā)到河邊l飲馬，然后再到B地軍營(yíng)視察，怎樣走路徑最短？【數(shù)學(xué)模型】如圖1，A，B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小．【問(wèn)題解決】作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B交l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．此時(shí)，PA+PB的值最小，且PA+PB＝A'P+PB＝A'B．【模型應(yīng)用】問(wèn)題1．如圖2，經(jīng)測(cè)量得A，B兩點(diǎn)到河邊l的距離分別為AC＝300米，BD＝900米，且CD＝900米．請(qǐng)計(jì)算出“將軍飲馬”問(wèn)