有限元方法理論及其應(yīng)用考試題目及要求2023

南京理工大學(xué)機械工程學(xué)院研究生研究型課程考試題目及要求課程名稱：有限元方法理論及應(yīng)用考試形式：□專題研究報告□論文□大作業(yè)□√綜合考試考試題目：“有限元方法理論及應(yīng)用”理論研討及上機實驗試題及要求：一、課程論文：彈性力學(xué)有限元位移法原理（30分）撰寫一篇論文，對有限元位移法的原理作一般性概括和論述。要求論文論及但不限于下列內(nèi)容：1）彈性力學(xué)有限元位移法的基本思想和數(shù)學(xué)、力學(xué)基礎(chǔ)；2）有限元法求解的原理和過程，推導(dǎo)計算列式；對基本概念和矩陣符號進行解釋和討論；3）等參單元的概念、原理和應(yīng)用。二、分析與計算（40分）1、圖示兩個結(jié)構(gòu)和單元相似，單元方位相同的平面應(yīng)力有限元模型，兩模型的單元厚度和材料相同。兩個模型右端單元邊上受均勻剪切面力。對于下列2種情況，試根據(jù)有限元法和力學(xué)有關(guān)知識來分析論證兩個模型求解后對應(yīng)節(jié)點（節(jié)點1）的位移值和對應(yīng)單元的應(yīng)力值之間的關(guān)系：1）兩個模型面力的合力相等；2）兩個模型面力值相等。（10分）(4)對上圖（a）,（b）求解剛度矩陣：單元編號ijm(1)124(2)314(3)346(4)536對于（a）(b)剛度矩陣相等結(jié)構(gòu)總的剛度矩陣的組集：(5)外部載荷與約束力：對于第一種情況；（a）(b)對于第二鐘情況：(a)(b)位移矩陣：有約束條件可知：（7）根據(jù)最小勢能原理：進行求解位移和應(yīng)力值的關(guān)系：對于第一種情況：節(jié)點1的位移：單元（1）的應(yīng)力值：對于第二種情況：節(jié)點1的位移：單元（1）的應(yīng)力值：證明3節(jié)點三角形單元滿足協(xié)調(diào)性條件（相鄰單元之間位移連續(xù)）。（10分）證明：假設(shè)任意兩個相鄰的三角形單元如圖所示：這里采用x,y的一次多項式作為位移插值函數(shù)：將廣義坐標(biāo)換為單元節(jié)點自由度的二維插值：（1）相鄰之間單元連續(xù)，先說明插值函數(shù)連續(xù)；有方程可知道u,v函數(shù)在平面內(nèi)是連續(xù)的。（2）單元1(i-j-m)和單元2（i-j-n）在i-j邊界處連續(xù)；（a）先證明u函數(shù)在單元間連續(xù)把，代入上面的方程：有上式可以看出在邊界處的位移變化與m,n點的坐標(biāo)值無關(guān)，只是與i,j的坐標(biāo)值和位移值有關(guān)，所以單元1與單元2在i-j邊界處u值相等(b)同理可證得：單元1與單元2在i-j邊界處v值相等(3)結(jié)論：由于插值函數(shù)連續(xù)，單元1與單元2在邊界處u,v的值相等，所以三節(jié)點三角形單元相鄰單元之間位移連續(xù)。對4節(jié)點四邊形平面等參元，試驗證等參變換能把平面上的正方形母單元映射成為平面上4節(jié)點任意四邊形單元。（10分）證明：如上圖所示，坐標(biāo)系中的正方形單元1-2-3-4（圖b）通過映射關(guān)系：可以得到坐標(biāo)系中的矩形單元i-j-k-l(圖a),并保證四個頂點間的映射關(guān)系為：1—i2—j3—k4—l更一般地，如果假設(shè)坐標(biāo)系xoy中的坐標(biāo)x,y與原坐標(biāo)系中的映射關(guān)系為：則可以實現(xiàn)坐標(biāo)系中的正方形單元1-2-3-4（圖b）向坐標(biāo)系xoy中任意直邊四邊形i-j-k-l(圖c)的映射。若進一步假定在兩個不同坐標(biāo)系中，四邊形頂點的對應(yīng)關(guān)系為：1—i2—j3—k4—l同時也可以將上式改寫成插值函數(shù)形式：上式中中的就是坐標(biāo)系中的正方形單元頂點1，2，3，4上的拉格朗日插值基函數(shù)：所以平面上的正方形母單元經(jīng)過等參變換能映射成為平面上4節(jié)點任意四邊形單元4、圖示一個一維直桿問題，桿的截面積為A,彈性模量為E。桿受線性變化的軸向線分布力。試構(gòu)造一種三次桿單元求解該問題，單元有4個節(jié)點，節(jié)點間隔均勻，形函數(shù)可以由形函數(shù)性質(zhì)直接構(gòu)造或采用拉格朗日插值多項式。整個桿用1個單元離散化。解出節(jié)點位移后，由單元有關(guān)方程導(dǎo)出單元上位移和應(yīng)力的函數(shù)表達式，并將有限元解與精確解作比較。（10分）解：（1）對于三次單元，首先假設(shè)三次函數(shù)作為插值函數(shù)：等分的四個節(jié)點分別為1，2，3，4整理為形函數(shù)形式：采用拉格朗日插值多項式求解形函數(shù)：求出形函數(shù)：求解剛度矩陣：經(jīng)過計算得：求解載荷矩陣：經(jīng)過計算得：(6)用最小勢能原理得：其中由于可以劃去第一個方程解出其余三個方程組得：求解插值函數(shù)表達式：所以：精確解為：（8）單元應(yīng)力：經(jīng)計算得：精確解為：一實驗題目：一個200mm×200mm平板，中心有一個直徑5mm圓孔，左右兩邊受面內(nèi)均勻拉伸載荷1MPa。建立平面應(yīng)力問題有限元模型，分別采用3節(jié)點三角形單元和8節(jié)點四邊形等參元計算孔邊應(yīng)力集中。二實驗?zāi)康模和ㄟ^采用3節(jié)點三角形單元和8節(jié)點四邊形等參元計算孔邊應(yīng)力集中，對兩種單元的求解精度進行比較。經(jīng)過簡單力學(xué)分析，可以知道本實驗問題屬于平面應(yīng)力問題，基于結(jié)構(gòu)和載荷的對稱性，可以只取模型的1/4進行分析。以此來掌握平面問題的有限元分析方法和對稱性問題建模的方法。三建模概述:3.1定義工作文件和工作標(biāo)題3.1.1定義工作文件名執(zhí)行UtilityMenu-File→ChangeJobname→3-1,單擊OK按鈕。3.1.2定義工作標(biāo)題執(zhí)行UtilityMenu-File→ChangeTile→mywork，單擊OK按鈕。3.1.3更改當(dāng)前工作目錄執(zhí)行UtilityMenu-File→Changetheworkingdirectory→E/STUDY/ANSYS/kaoshi。3.2定義單元類型、實常數(shù)和材料屬性3.2.1設(shè)置計算類型執(zhí)行MainMenu→Preferences→selectStructural→OK。3.2.2選擇單元類型先：MainMenu→Preprocessor→ElementType→Add/Edit/Delete→Add→selectSolid→Quad8node182→OK。（三節(jié)點三角形單元）后：MainMenu→Preprocessor→ElementType→Add/Edit/Delete→Add→selectSolid→Quad8node183→OK。（八節(jié)點四邊形單元）如圖下圖所示：3.2.3定義實常數(shù)執(zhí)行MainMenu→Preprocessor→RealConstants→Add/Edit/Delete→Add→OK→Close。3.2.4設(shè)置材料屬性執(zhí)行MainMenu→Preprocessor→MaterialProps→MaterialModels→Structural→Linear→Elastic→Isotropic→輸入實常數(shù)（在EX框中輸入210000，在PRXY框中輸入0.3）→OK。3.3創(chuàng)建幾何模型3.3.1生成矩形平面執(zhí)行MainMenu→Preprocessor→Modeling→Create→Areas→Rectangle→By2Corners→輸入尺寸→OK。3.3.2生成圓形執(zhí)行MainMenu→Preprocessor→Modeling→Create→Areas→Circle→SolidCircle→輸入圓點坐標(biāo)及半徑→OK。3.3.3布爾運算得到幾何模型執(zhí)行MainMenu→Preprocessor→Modeling→Operate→Booleans→Subtract→Area→選擇矩形面→OK→選擇圓形→OK。如圖3-2所示：圖3-23.4生成有限元網(wǎng)格執(zhí)行Preprocessor→Meshing→MeshTool→MeshAreas→Tet→Free→Mesh→拾取幾何模型→OK。如圖3-3所示的模型。圖3-3初次劃分網(wǎng)格后的單元由于板中間有孔存在，應(yīng)力集中嚴(yán)重，所以應(yīng)該將孔的邊緣網(wǎng)格細化，執(zhí)行Preprocessor→Meshing→MeshTool→MeshAreas→Refine→選中孔周圍的網(wǎng)格（如圖3-4）→OK→將劃分網(wǎng)格精度定位2→OK。得到如圖3-5所示。圖3-4孔周圍要細化的單元圖3-5細化后的單元3.5加載并求解3.5.1施加約束條件執(zhí)行MainMenu→Solution→Defineloads→Apply→Structural→Displacement→OnLines，彈出一個拾取框，拾取左邊緣線，單擊OK按鈕，彈出ApplyU.ROTonLine對話框，選擇“UX”選項，單擊OK按鈕。執(zhí)行MainMenu→Solution→Defineloads→Apply→Structural→Displacement→OnLines，彈出一個拾取框，拾取下邊緣線，單擊OK按鈕，彈出ApplyU.ROTonLine對話框，選擇“UY”選項，單擊OK按鈕。3.5.2施加載荷執(zhí)行MainMenu→Solution→Apply→Structural→Pressure→OnLines，彈出一個拾取框，拾取右邊緣線，單擊OK按鈕，彈出對話框，所示輸入數(shù)據(jù)-1，單擊OK按鈕.如圖3-6所示圖3-63.5.3求解執(zhí)行MainMenu→Solution→Solve→CurrentLS，彈出一個提示框。瀏覽后執(zhí)行file-close，單擊OK按鈕開始求解運算。出現(xiàn)一個【Solutionisdone】對話框是單擊close按鈕完成求解運算。四計算結(jié)果分析與結(jié)論：（1）兩種情況變形圖。（2）兩種情況X方向應(yīng)力分量σx應(yīng)力云圖：(3)分別繪制σx沿Y軸和X軸的應(yīng)力大?。海ㄑ豗軸方向的應(yīng)力大小）（沿X軸方向的應(yīng)力大?。?）對結(jié)果的分析：（1）模型σx應(yīng)力分布：σx應(yīng)力集中分布于中心圓孔與x、y軸相交的地方，且與x軸相交處應(yīng)力為負(fù)（應(yīng)力值最小），與y軸相交處應(yīng)力為正（應(yīng)力值最大）；沿圓周向周圍，σx有最大值迅速減小至最小值；沿y方向的σx應(yīng)力隨著Y值的增加迅速下降，沿x方向的σx應(yīng)力隨著X的增加先是急速增加后又有所下降最后有緩慢增加。（2）應(yīng)力最大值2.95539，最小值-0.0668。誤差來源：有限元分析方法是將結(jié)構(gòu)離散化，網(wǎng)格劃分得越稀疏，計算出的結(jié)果就越偏離理論值，分的越密集，結(jié)果越接近與真實值，三節(jié)點三角形與八節(jié)點四邊形比起來離散的比較稀疏，計算的結(jié)果偏離真實值較大。五實驗體會與總結(jié)：通過本次實驗，對理論課所學(xué)有限元基本方法有了一個更加直觀、深入的理解。通過對ANSYS軟件處理平面孔的應(yīng)力集中問題，了解了這款軟件的基本應(yīng)用和它對有限元的一些很好的應(yīng)用。試驗中，遇到諸多問題，仔細思考，加之對講義的理解，確實很有收獲。更增加了對有限元的認(rèn)識，和對其功能之強大有了更深的理解。一實驗題目：一個空心球的外半徑，內(nèi)半徑。內(nèi)壁受均勻壓力。試用有限元法計算該空心球體的應(yīng)力分布情況。要求分別應(yīng)用軸對稱二次等參單元建立軸對稱模型、應(yīng)用二次六面體等參單元建立三維模型求解。二實驗?zāi)康模赫莆沼幂S對稱二次等參單元建立軸對稱模型，并且通過與二次六面體等參單元建立三維模型進新行比較，熟悉軸對稱模型的優(yōu)點。三建模概述:為了比較，分別采用三維模型和軸對稱模型進行分析?？紤]到到三維實體模型的對稱性，只對1/8球體劃分網(wǎng)格，然后在對稱面上施加對稱邊界條件。其中：三維實體模型（1/8空心球體）使用Solid186(二次六面體單元)單元建立實體模型及劃分網(wǎng)格。軸對稱模型（1/4圓環(huán)）使用Plane183（軸對稱類型）單元建立實體模型及劃分網(wǎng)格。兩種模型劃分網(wǎng)格如下：然后施加載荷和約束：三維實體模型載荷為內(nèi)表面上壓力10Mpa；約束條件為三個對稱截面的對稱條件軸對稱模型載荷為內(nèi)表面（圓弧段）上壓力10Kpa；約束條件是兩個對稱軸的法向位移為0。四計算結(jié)果分析與結(jié)論：1計算結(jié)果：徑向位移（2）等效應(yīng)力2對結(jié)果的分析：對于兩種模型的結(jié)果進行比較，徑向位移的變化完全一樣；等效應(yīng)力的最小值分別為：15.7085和15.7231，對稱模型與三維模型比較增加了0.93%，等效應(yīng)力的最大值分別為：30.7298和30.6975，對稱模型與三維模型比較減少了1.1%，表明兩種模型的結(jié)果基本一致，五實驗體會與總結(jié)：通過本次實驗對與二次六面體三維實體模型和軸對稱模型有了更深一步的認(rèn)識，學(xué)會了關(guān)于對稱圖形的處理方法，并對軸對稱模型有了深一步的理解，軸對稱模型與三維模型的解基本一致，但是軸對稱模型建模容易，求解迅速，是一種不錯的方法。一實驗題目：一個矩形平板，長1000mm,寬100mm，厚度10mm。材料的E=200GPa，，。板的一側(cè)短邊固支，其它三邊自由。在相同的較粗網(wǎng)格（厚度方