結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)講解2

第二章運(yùn)動(dòng)方程的建立主要內(nèi)容2.1基本動(dòng)力體系2.2運(yùn)動(dòng)方程的建立2.3

重力的影響2.4地基運(yùn)動(dòng)的影響2.5例題運(yùn)動(dòng)方程：描述結(jié)構(gòu)中力與位移關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式（有時(shí)稱動(dòng)力方程）運(yùn)動(dòng)方程是進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)方程的建立是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)2.1基本動(dòng)力體系單自由度體系：SDOF（Single－Degree－of－Freedom－System）

結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)僅需要一個(gè)幾何參數(shù)即可以確定分析單自由度體系的意義：第一，單自由度系統(tǒng)包括了結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中涉及的所有物理量及基本概念。第二，很多實(shí)際的動(dòng)力問(wèn)題可以直接按單自由度體系進(jìn)行分析計(jì)算。圖2.1結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中常用的單自由度體系力學(xué)模型

2.1基本動(dòng)力體系

（a）單層框架結(jié)構(gòu)（b）彈簧―質(zhì)點(diǎn)體系

圖2.1結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中常用的單自由度體系力學(xué)模型

兩個(gè)典型的單自由度體系物理元件：集中質(zhì)量m阻尼系數(shù)c彈簧剛度k兩個(gè)力學(xué)模型完全等效兩個(gè)體系的運(yùn)動(dòng)方程相同

2.1基本動(dòng)力體系1.慣性力（InertialForce）

慣性：保持物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的能力慣性力：大小等于物體的質(zhì)量與加速度的乘積，

方向與加速度的方向相反。I—

慣性（Inertial）；m—

質(zhì)量（mass）；ü—

質(zhì)點(diǎn)的加速度。

2.1基本動(dòng)力體系

2.彈簧的恢復(fù)力（ResistingForceofSpring）

對(duì)彈性體系，彈簧的恢復(fù)力也被稱為彈性恢復(fù)力

彈性恢復(fù)力：大小等于彈簧剛度與位移（彈簧變形）的乘積，

方向指向體系的平衡位置。s—表示彈簧（Spring）k—彈簧的剛度（SpringStiffness）u—質(zhì)點(diǎn)位移

2.1基本動(dòng)力體系

單層框架結(jié)構(gòu)的水平剛度

h—框架結(jié)構(gòu)的高度E—彈性模量Ib和Ic—梁和柱的截面慣性矩

ρ→∞：

ρ→0

：2.1基本動(dòng)力體系

3.阻尼力（DampingForce）

阻尼：引起結(jié)構(gòu)能量的耗散，使結(jié)構(gòu)振幅逐漸變小的一種作用阻尼來(lái)源（物理機(jī)制）：(1)固體材料變形時(shí)的內(nèi)摩擦，或材料快速應(yīng)變引起的熱耗散；(2)結(jié)構(gòu)連接部位的摩擦，結(jié)構(gòu)構(gòu)件與非結(jié)構(gòu)構(gòu)件之間的摩擦；(3)結(jié)構(gòu)周圍外部介質(zhì)引起的阻尼。例如，空氣、流體等。粘滯(性)阻尼力可表示為：

D

—

阻尼（damping）c

—

阻尼系數(shù)（Dampingcoefficient）

ù

—

質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度

2.1基本動(dòng)力體系阻尼系數(shù)c的確定：不能像結(jié)構(gòu)剛度k那樣可通過(guò)結(jié)構(gòu)幾何尺寸、構(gòu)件尺寸等來(lái)獲得，因?yàn)閏是反映了多種耗能因素綜合影響的系數(shù)，阻尼系數(shù)一般是通過(guò)結(jié)構(gòu)原型振動(dòng)試驗(yàn)的方法得到。粘滯(性)阻尼理論僅是多種阻尼中最為簡(jiǎn)單的一種。其它常用的阻尼：摩擦阻尼：阻尼力大小與速度大小無(wú)關(guān)，一般為常數(shù)；滯變阻尼：阻尼力大小與位移成正比（相位與速度相同）；流體阻尼：阻尼力與質(zhì)點(diǎn)速度的平方成正比。2.1基本動(dòng)力體系

4.

線彈性體系和粘彈性體系

(LinearlyElasticSystemandViscousElasticSystem)線彈性體系：由線性彈簧（或線性構(gòu)件）組成的體系。—最簡(jiǎn)單的理想化力學(xué)模型。粘彈性體系：當(dāng)線彈性系統(tǒng)中進(jìn)一步考慮阻尼的影響時(shí)的體系。

—結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中的最基本力學(xué)模型。2.1基本動(dòng)力體系

5.非彈性體系(InelasticSystem)結(jié)構(gòu)構(gòu)件的力—變形關(guān)系為非線性關(guān)系，結(jié)構(gòu)剛度不再為常數(shù)構(gòu)件（或彈簧）的恢復(fù)力可表示為

fs是位移和速度的非線性函數(shù)。圖2.6非彈性體系中結(jié)構(gòu)構(gòu)件的力與位移關(guān)系

2.2運(yùn)動(dòng)方程的建立1.利用牛頓（Newton）第二定律

圖2.7單質(zhì)點(diǎn)體系的受力分析

單質(zhì)點(diǎn)體系運(yùn)動(dòng)時(shí)要滿足的控制方程—運(yùn)動(dòng)方程2.2運(yùn)動(dòng)方程的建立利用牛頓第二定律的優(yōu)點(diǎn)：牛頓第二定律是基于物理學(xué)中已有知識(shí)的直接應(yīng)用，以人們最容易接受的知識(shí)建立體系的運(yùn)動(dòng)方程。2.2運(yùn)動(dòng)方程的建立2.

D’Alembert原理（直接動(dòng)力平衡法）D’Alembert原理：在體系運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，如果除了實(shí)際作用結(jié)構(gòu)的主動(dòng)力（包括阻尼力）和約束反力外，再加上（假想的）慣性力，則在該時(shí)刻體系將處于假想的平衡狀態(tài)（動(dòng)力平衡）。

圖2.8單質(zhì)點(diǎn)體系的受力分析

2.2運(yùn)動(dòng)方程的建立2.

D’Alembert原理（直接動(dòng)力平衡法）D’Alembert原理的優(yōu)點(diǎn)：靜力問(wèn)題是人們所熟悉的，有了D’Alembert

原理之后，形式上動(dòng)力問(wèn)題就變成了靜力問(wèn)題，靜力問(wèn)題中用來(lái)建立控制方程的方法，都可以用于建立動(dòng)力問(wèn)題的平衡方程，使對(duì)動(dòng)力問(wèn)題的思考有一定的簡(jiǎn)化。對(duì)很多問(wèn)題，D’Alembert原理是用于建立運(yùn)動(dòng)方程的最直接、最簡(jiǎn)便的方法。D’Alembert原理的貢獻(xiàn)：建立了動(dòng)力平衡概念（1）按平衡條件建立運(yùn)動(dòng)方程－剛度法

－慣性力－彈性力對(duì)隔離體列平衡方程：k－剛度系數(shù)

剛度法步驟：（1）在質(zhì)點(diǎn)上沿位移正向加慣性力;（2）取質(zhì)點(diǎn)為隔離體并作受力圖;（3）根據(jù)達(dá)朗伯原理對(duì)質(zhì)量m列瞬時(shí)動(dòng)力平衡方程，此即體系的運(yùn)動(dòng)方程。（2）按位移法協(xié)調(diào)建立方程－柔度法

1

δ對(duì)質(zhì)量m列位移方程：

δ－柔度系數(shù)柔度法步驟：

（1）在質(zhì)量上沿位移正方向加慣性力；（2）求動(dòng)荷載和慣性力引起的位移；（3）令該位移與質(zhì)量m的位移相等，即得到體系的位移方程（運(yùn)動(dòng)方程）。（3）建立運(yùn)動(dòng)方程例題

例1試建立圖示剛架（a）的運(yùn)動(dòng)方程解：（1）剛度法（a）（b）由于橫梁剛度無(wú)限大，剛架只產(chǎn)生水平位移。設(shè)橫梁在某一時(shí)刻t的水平位移為y(t),向右為正。在柱頂設(shè)置附加鏈桿（圖b），以y(t)作為基本未知量，用位移法列動(dòng)平衡方程：令

作

圖（圖c），求得

(c)

(d)

考慮動(dòng)荷載F(t)和慣性力

作MP圖，求得（2）柔度法

設(shè)橫梁在任一時(shí)刻的位移是由動(dòng)荷載和慣性力共同作用產(chǎn)生的（圖e），

所以，運(yùn)動(dòng)方程為：因此，橫梁的位移為：作圖（圖f）(e)

(f)

求得所以，運(yùn)動(dòng)方程為可見，用兩種方法求解后運(yùn)動(dòng)方程相同。例2．試建立圖（a）所示剛架的運(yùn)動(dòng)方程（不計(jì)軸向變形）。(a)

(b)解：用柔度法求解圖示結(jié)構(gòu)質(zhì)量m只產(chǎn)生水平位移。設(shè)質(zhì)量m在任一時(shí)刻t的水平位移為，它是由動(dòng)荷載(c)

質(zhì)量m的位移為和慣性力作用產(chǎn)生的，共同向右為正。作圖，

求得所以，運(yùn)動(dòng)方程成為

例3．試建立圖（a）所示剛架的運(yùn)動(dòng)方程（不計(jì)軸向變形）。解：仍用柔度法求解(a)（b）分析同例2，質(zhì)量m的位移為作圖、圖求得(c)

(d)

所以，運(yùn)動(dòng)方程為

由此可見，動(dòng)靜法建立單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程通常是以質(zhì)量的靜平衡位置作為計(jì)算動(dòng)位移的起點(diǎn)，采用剛度法還是柔度法要視具體問(wèn)題是求剛度系數(shù)方便，還是求柔度系數(shù)方便來(lái)定。對(duì)同一體系，兩種方程都是一樣的，對(duì)于單自由度體系：。2.2運(yùn)動(dòng)方程的建立3.虛位移原理虛位移原理：在一組外力作用下的平衡系統(tǒng)發(fā)生一個(gè)虛位移時(shí)，外力在虛位移上所做的虛功總和恒等于零。虛位移是指滿足體系約束條件的無(wú)限小位移。

設(shè)體系發(fā)生一個(gè)虛位移δu

平衡力系在δu上做的總虛功為:

圖2.8單質(zhì)點(diǎn)體系的受力分析

2.2運(yùn)動(dòng)方程的建立3.虛位移原理虛位移原理的優(yōu)點(diǎn)：虛位移原理是建立在對(duì)虛功分析的基礎(chǔ)之上，而虛功是一個(gè)標(biāo)量，可以按代數(shù)方式運(yùn)算，因而比Newton第二定律，或D’Alembert原理中需要采用的矢量運(yùn)算更簡(jiǎn)便。對(duì)如下圖所示結(jié)構(gòu)體系，用虛位移原理建立方程更簡(jiǎn)便一些

2.2運(yùn)動(dòng)方程的建立4.Hamilton原理應(yīng)用變分法來(lái)建立結(jié)構(gòu)體系的運(yùn)動(dòng)方程。動(dòng)力學(xué)中廣泛應(yīng)用的變分法是Hamilton原理體系的平衡位置是體系的穩(wěn)定位置，在穩(wěn)定位置，體系的能量取得極值,一般是極小值。

Hamilton原理：在任意時(shí)間區(qū)段[t1,t2]內(nèi)，體系的動(dòng)能和位能的變分加上非保守力做功的變分等于0。

其中：

T——體系的總動(dòng)能；

V——體系的位能，包括應(yīng)變能及任何保守力的勢(shì)能；

Wnc——作用于體系上非保守力（包括阻尼力及任意外荷載）所做的功；δ——指（在指定時(shí)間段內(nèi)）所取的變分。

圖2.8單質(zhì)點(diǎn)體系的受力分析

2.2運(yùn)動(dòng)方程的建立4.Hamilton原理(積分形式的動(dòng)力問(wèn)題的變分方法)

Hamilton原理的優(yōu)點(diǎn)：不明顯使用慣性力和彈性力，而分別用對(duì)動(dòng)能和位能的變分代替。因而對(duì)這兩項(xiàng)來(lái)講，僅涉及處理純的標(biāo)量，即能量。而在虛位移中，盡管虛功本身是標(biāo)量，但用來(lái)計(jì)算虛功的力和虛位移則都是矢量。動(dòng)能：集中質(zhì)量轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量位能：拉伸彈簧轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧多自由度體系：動(dòng)能位能2.2運(yùn)動(dòng)方程的建立4.Hamilton原理(用Hamilton原理建立單自由度彈簧－質(zhì)量體系的運(yùn)動(dòng)方程)體系的動(dòng)能：位能(彈簧應(yīng)變能)：因此能量的變分非保守所做的功的變分(等于非保守力在位移變分上作的功)

將以上兩式代入Hamilton原理的變分公式，得：對(duì)上式中的第一項(xiàng)進(jìn)行分部積分2.2運(yùn)動(dòng)方程的建立5.運(yùn)動(dòng)的Lagrange方程(微分形式的動(dòng)力問(wèn)題的變分原理)

其中：

T——體系的動(dòng)能；

V——體系的位能，包括應(yīng)變能及任何保守力的勢(shì)能；

Pncj——與uj相應(yīng)的非保守力（包括阻尼力及任意外荷載）。2.2運(yùn)動(dòng)方程的建立5.運(yùn)動(dòng)的Lagrange方程用：Hamilton原理推導(dǎo)：Lagrange方程

2.2運(yùn)動(dòng)方程的建立5.運(yùn)動(dòng)的Lagrange方程

用Lagrange方程建立體系的運(yùn)動(dòng)方程體系的動(dòng)能：

體系的位能：非保守力：因此，代入Lagrange方程：再一次得到體系的運(yùn)動(dòng)方程：2.2運(yùn)動(dòng)方程的建立五種建立運(yùn)動(dòng)方程的方法的特點(diǎn)牛頓第二定律是基于物理學(xué)中已有知識(shí)的直接應(yīng)用，有助于理解和接受D’Alembert原理。D’Alembert原理是一種簡(jiǎn)單、直觀的建立運(yùn)動(dòng)方程的方法，得到廣泛的應(yīng)用。更重要的是D’Alembert原理建立了動(dòng)平衡的概念，使得在結(jié)構(gòu)靜力分析中的一些方法可以直接推廣到動(dòng)力問(wèn)題。當(dāng)結(jié)構(gòu)具有分布質(zhì)量和彈性時(shí)，直接應(yīng)用D’Alembert原理，用動(dòng)力平衡的方法來(lái)建立體系的運(yùn)動(dòng)方程可能是困難的。虛位移原理部分避免了矢量運(yùn)算，在獲得體系虛功后，可以采用標(biāo)量運(yùn)算建立體系的運(yùn)動(dòng)方程，簡(jiǎn)化了運(yùn)算。Hamilton原理是一種建立運(yùn)動(dòng)方程的能量方法（積分形式的變分原理），如果不考慮非保守力作的功（主要是阻尼力），它是完全的標(biāo)量運(yùn)算，但實(shí)際上直接采用Hamilton原理建立運(yùn)動(dòng)方程并不多。Hamilton原理的美妙在于它以一個(gè)極為簡(jiǎn)潔的表達(dá)式概括了復(fù)雜的力學(xué)問(wèn)題。Lagrange方程得到更多的應(yīng)用，它和Hamilton原理一樣，除非保守力（阻尼力）外，是一個(gè)完全的標(biāo)量分析方法，不必直接分析慣性力和保守力（主要是彈性恢復(fù)力），而慣性力和彈性恢復(fù)力是建立運(yùn)動(dòng)方程時(shí)最為困難的處理對(duì)象，關(guān)于阻尼力實(shí)際上它一般不是通過(guò)數(shù)學(xué)推理分析，從材料、結(jié)構(gòu)構(gòu)件的幾何尺寸等推演得到的，而往往是通過(guò)實(shí)驗(yàn)、測(cè)試的方法得到（至少對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是如此），因此，由阻尼產(chǎn)生的非保守力引起的困難并不大。這可能與純粹的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)很不同，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)阻尼主要由介質(zhì)本身引起，而結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)阻尼來(lái)源更廣、更復(fù)雜，無(wú)法簡(jiǎn)單推出，而采用試驗(yàn)加假設(shè)方法。阻尼系數(shù)由實(shí)測(cè)或經(jīng)驗(yàn)給出。2.2運(yùn)動(dòng)方程的建立表2.1給出了以上介紹的五種建立運(yùn)動(dòng)方程的方法的特點(diǎn)

2.2運(yùn)動(dòng)方程的建立單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程單自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程反映了結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中將遇到的幾乎所有的物理量(1)質(zhì)量m,和慣性力：(2)阻尼c,和阻尼力：(3)剛度k,和彈性恢復(fù)力：對(duì)于多自由度體系：

2.3

重力的影響靜平衡位置：受動(dòng)力作用以前結(jié)構(gòu)所處的實(shí)際位置

Δst——重力W=mg作用下體系的靜位移記：動(dòng)位移為u

慣性力、阻尼力和彈性恢復(fù)力分別為：外荷載為：

應(yīng)用D’Alembert原理：

2.3

重力的影響

1、考慮重力影響時(shí)，結(jié)構(gòu)體系的運(yùn)動(dòng)方程與無(wú)重力影響時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程完全一樣，此時(shí)u是由動(dòng)荷載引起的動(dòng)力反應(yīng)?？梢娫谘芯拷Y(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)時(shí)，可以完全不考慮重力的影響，建立體系的運(yùn)動(dòng)方程，直接求解動(dòng)力荷載作用下的運(yùn)動(dòng)方程，即得到結(jié)構(gòu)體系的動(dòng)力解。2、當(dāng)需要考慮重力影響時(shí)，結(jié)構(gòu)的總位移=靜力解+動(dòng)力解，即應(yīng)用疊加原理。在結(jié)構(gòu)反應(yīng)問(wèn)題中，應(yīng)用疊加原理可將靜力問(wèn)題（一般是重力問(wèn)題）和動(dòng)力問(wèn)題分開計(jì)算，將其結(jié)果相加即得到結(jié)構(gòu)的總體反應(yīng)。3、同時(shí)也要注意到，并不是對(duì)任何結(jié)構(gòu)動(dòng)、靜力反應(yīng)問(wèn)題都可以這樣處理，因?yàn)樵谝陨贤茖?dǎo)中，假設(shè)彈簧的剛度k為常數(shù)，即結(jié)構(gòu)是線彈性的，因此只有對(duì)線彈性結(jié)構(gòu)（如果是二維或三維問(wèn)題，還要加上小變形（位移）的限制）才可以使用疊加原理，將靜力、動(dòng)力問(wèn)題分開考慮。4、應(yīng)當(dāng)注意的是，在以上推導(dǎo)過(guò)程中，假設(shè)懸掛的彈簧―質(zhì)點(diǎn)體系只發(fā)生豎向振動(dòng)，在動(dòng)荷載作用之前，重力被彈簧的彈性變形所平衡，而施加荷載后，重力始終被彈性變形所平衡。如果重力的影響沒(méi)有預(yù)先被平衡，則在施加動(dòng)力荷載產(chǎn)生進(jìn)一步變形后，可以產(chǎn)生二階影響問(wèn)題，例如P―Δ效應(yīng)。最簡(jiǎn)單的例子是倒立擺，當(dāng)?shù)沽[產(chǎn)生水平振動(dòng)后，擺的重力引起的附加彎矩是一個(gè)新的量，它并沒(méi)有預(yù)先被平衡，將對(duì)體系的動(dòng)力反應(yīng)產(chǎn)生影響，這種影響必然反映到結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程中。2.4地基運(yùn)動(dòng)的影響

地基運(yùn)動(dòng)問(wèn)題：結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)不是由直接作用到結(jié)構(gòu)上的動(dòng)力引起的，而是由于結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)引起的。ug——地基位移，是已知的u——相對(duì)位移，反映結(jié)構(gòu)形變ut=u+ug——絕對(duì)位移。

慣性力：阻尼力：彈性恢復(fù)力：外荷載為0

應(yīng)用D’Alembert原理相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程：

其中：重力和地基運(yùn)動(dòng)的影響

以上結(jié)合單自由度結(jié)構(gòu)體系給出了不同影響因素下結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程的建立方法，雖然例題極為簡(jiǎn)單，但包含了最基本的概念和原理。以后會(huì)涉及到更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)體系，例如結(jié)構(gòu)構(gòu)造復(fù)雜、自由度多，包含連續(xù)分布的質(zhì)量，地震多方向（多維）和多點(diǎn)（在結(jié)構(gòu)不同的支承處的地面運(yùn)動(dòng)不一致）輸入等等，但靈活應(yīng)用本章介紹的方法都可以得到解決。

2.5例題

例1分析右圖所示體系的靜力自由度和動(dòng)力自由度，并利用D’Alembert原理建立體系的運(yùn)動(dòng)方程。

[解]：1、體系的自由度靜力自由度：體系運(yùn)動(dòng)時(shí)可以獨(dú)立改變的（廣義）坐標(biāo)的