第12章 彎曲的幾個(gè)補(bǔ)充問(wèn)題

Additionalremarksforbending第十二章彎曲的幾個(gè)補(bǔ)充問(wèn)題§12–1非對(duì)稱彎曲(Unsymmetricalbending）

§12–2

開(kāi)口薄壁桿件的切應(yīng)力

彎曲中心

(Shearstressofopenthin-wallmembers.Flexuralcenter)第十二章彎曲的幾個(gè)補(bǔ)充問(wèn)題

(Additionalremarksforbending）BA§12-1非對(duì)稱彎曲(Unsymmetricalbending)一、非對(duì)稱彎曲(Unsymmetricalbending)

橫向力雖然通過(guò)截面的彎曲中心，但與形心主慣性平面存在一定夾角。在這種情況下，梁彎曲后的軸線不在力的作用平面內(nèi)，這種彎曲變形稱為斜彎曲.yzxFyFzF二、斜彎曲的分析方法

(Analysismethodforunsymmetricalbending)2.疊加(Superposition)

對(duì)兩個(gè)平面彎曲進(jìn)行研究，然后將計(jì)算結(jié)果疊加起來(lái)FzFyyzFjBAyzxFyFzF1.分解(Resolution)

將外載沿橫截面的兩個(gè)形心主軸分解，于是得到兩個(gè)正交的平面彎曲

梁在垂直縱向?qū)ΨQ面xy

面內(nèi)發(fā)生平面彎曲。z軸為中性軸yxz撓曲線梁的軸線對(duì)稱軸垂直縱向?qū)ΨQ面xyz梁的軸線對(duì)稱軸水平縱向?qū)ΨQ面

梁在水平縱向?qū)ΨQ面xz平面內(nèi)彎曲，y

軸為中性軸。撓曲線

三、梁內(nèi)任意橫截面上的內(nèi)力分析

(Analysisofinternalforceonanycrosssection)BAFyFzyzxxMy

=Fz

x=Fxsin(使梁在xz平面內(nèi)彎曲，y為中性軸)Mz

=Fy

x=Fxcos(使梁在

xy平面內(nèi)彎曲，z

為中性軸)mmmmzyMyxMz

四、橫截面上的應(yīng)力分析（Stressanalysisofcrosssections)

mmzyMyxMz1.與My

相應(yīng)的正應(yīng)力為(ThebendingnormalstresscorrespondingtoMy)2.與Mz

相應(yīng)的正應(yīng)力為(ThebendingnormalstresscorrespondingtoMz)C

點(diǎn)處的正應(yīng)力(ThenormalstressatpointC)C(y,z)五、橫截面上中性軸的位置(Locationofneutralaxisoncrosssection)中性軸上的正應(yīng)力為零假設(shè)點(diǎn)

e(z0

,y0

)

為中性軸上任意一點(diǎn)MzOe(z0,y0)中性軸方程為中性軸是一條通過(guò)橫截面形心的直線(theneutralaxisisalinewhichcrossthecentroidofanarea)

Myzyx中性軸中性軸的位置由它與y軸的夾角確定

zyx中性軸

公式中角度

是橫截面上合成彎矩

M

的矢量與

y軸的夾角。

橫截面上合成彎矩M

為y0yzO

公式中角度y

是橫截面上合成彎矩

M

的矢量與

y軸的夾角.M中性軸MzMyyxyM中性軸

z

yO

討

論：（1）一般情況下，截面的IzIy,故中性軸與合成彎矩

M

所在平面不垂直，此為斜彎曲的受力特征。所以撓曲線與外力（合成彎矩）所在面不共面,此為斜彎曲的變形特征。z

（2）對(duì)于圓形、正方形等Iy=Iz

的截面，有=y，梁發(fā)生平面彎曲(planebending)，正應(yīng)力可用合成彎矩M按正應(yīng)力計(jì)算公式計(jì)算。梁的撓曲線一般仍是一條空間曲線，故梁的撓曲線方程仍應(yīng)分別按兩垂直面內(nèi)的彎曲來(lái)計(jì)算，不能直接用合成彎矩進(jìn)行計(jì)算。中性軸

z

yOMyzy中性軸六、最大正應(yīng)力分析（Analysisofmaximumnormalstress)

作平行于中性軸的兩直線分別與橫截面周邊相切于D1、D2兩點(diǎn)，D1

、D2

兩點(diǎn)分別為橫截面上最大拉應(yīng)力點(diǎn)和最大壓應(yīng)力點(diǎn)。D2D1OD1D2zyzyO中性軸中性軸

對(duì)于矩形、工字形等有兩個(gè)相互垂直的對(duì)稱軸的截面，梁橫截面的最大正應(yīng)力發(fā)生在截面的棱角處?？筛鶕?jù)梁的變形情況，直接確定截面上最大拉、壓應(yīng)力點(diǎn)的位置，無(wú)需定出中性軸。D2D1O七、強(qiáng)度條件(Strengthcondition)斜彎曲的危險(xiǎn)點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)，所以強(qiáng)度條件為強(qiáng)度條件的應(yīng)用設(shè)計(jì)截面強(qiáng)度校核確定許可載荷八、斜彎曲的撓度(Deflectionofunsymmetricalbending)分別求出Fy

引起的撓度wy

和Fz

引起的撓度wz方法：疊加原理wzwywy總撓度為w總撓度與軸的夾角為y平面彎曲:中性軸垂直于彎矩作用面的變形形式斜彎曲:中性軸不垂直于彎矩作用面的變形形式

斜彎曲＝兩個(gè)互垂平面彎曲的組合九、幾個(gè)彎曲概念之間的關(guān)系(Therelationshipbetweenseveralconceptofbending)對(duì)稱彎曲非對(duì)稱彎曲彎曲對(duì)稱彎曲(彎矩矢量平行主形心軸時(shí))非對(duì)稱彎曲(彎矩矢量不平行主形心軸時(shí))

xABCzyF2=2kNF1=1kN

0.5m

0.5m

4080zyO

ad

b

c例題1矩形截面的懸臂梁承受荷載如圖所示.試確定危險(xiǎn)截面上危險(xiǎn)點(diǎn)所在的位置，計(jì)算梁內(nèi)最大正應(yīng)力的值.解:（1）外力分析

梁在F2

的作用下將在xOz

平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲(y

為中性軸）故此梁的變形為兩個(gè)相互垂直平面彎曲的組合----斜彎曲

梁在F1的作用下將在xOy平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲（

z為中性軸）

xABCzyF2=2kNF1=1kN

0.5m0.5m

（2）繪制彎矩圖繪出Mz

(x)圖繪出

My(x)圖

A截面為梁的危險(xiǎn)截面

Mz

=1kN·m

My=1kN·m

xABCzyF2=2kNF1=1kN

0.5m

0.5m

1kN·mxMz(x)圖1kN·mxMy(x)圖Mz使A截面上部受拉，下部受壓My使A截面前部受拉，后部受壓zyxMyzyxMzzyx（3）應(yīng)力分析D1是最大拉應(yīng)力點(diǎn)D2是最大壓應(yīng)力點(diǎn)兩點(diǎn)正應(yīng)力的絕對(duì)值相等拉壓D2D1拉壓8040zyzyxMyzyxMz拉壓拉壓（4）中性軸的位置8040zy中性軸（5）繪制總應(yīng)力分布圖8040zy中性軸D1D2+-D1=7.02D2=-7.02拉壓

例題220a號(hào)工字形懸臂梁受集度為q的均布荷載和集中力F=qa/2作用,力F作用在yOz平面內(nèi).已知鋼的許用應(yīng)力[]=160MPa，a=1m。試求此梁的許可荷載集度[q].40°FqaaACByz解：將力F向y

軸和

z軸分解Fy

與均布荷載q使梁在

xy平面內(nèi)產(chǎn)生彎曲(z為中性軸)Fz使梁在

xz平面內(nèi)產(chǎn)生彎曲(y為中性軸)z40°FqaaACByFyFzFzACBxz面qFyACBxy面DD0.617abcda0.456qa20.266qa20.383qa2Mz圖adcb0.321qa20.642qa20.444qa2My圖（1）畫(huà)彎矩圖A、D

兩截面可能是危險(xiǎn)截面MzA=0.266qa2MzD=0.456qa2MyA

=0.642qa2MyD

=0.444qa2A

截面

D

截面（2）計(jì)算應(yīng)力查工字鋼表20a號(hào)A

截面

D

截面梁的危險(xiǎn)點(diǎn)在A

截面棱角處§12-2開(kāi)口薄壁桿件的切應(yīng)力彎曲中心

(Shearstressofopenthin-wallmembers.Flexuralcenter)

一、非對(duì)稱截面梁平面彎曲的條件(Conditionsofplanebendingforunsymmetricalbeams)

前面討論的平面彎曲,僅限于梁至少有一個(gè)縱向?qū)ΨQ面,外力均作用在該對(duì)稱面內(nèi)且垂直于軸線.

對(duì)于非對(duì)稱截面梁.橫截面上有一對(duì)形心主慣性軸y,z,形心主慣性軸y,z與軸線x組成兩個(gè)形心主慣性平面xOy,xOz形心主慣性平面y,z軸為形心主慣性軸zxy1.實(shí)體梁（Bodybeams)

當(dāng)橫向外力作用在形心主慣性平面的平面內(nèi),梁發(fā)生平面彎曲.否則將會(huì)伴隨著扭轉(zhuǎn)變形.但由于實(shí)體構(gòu)件抗扭剛度很大.扭轉(zhuǎn)變形很小,其帶來(lái)的影響可以忽略不計(jì).2.開(kāi)口薄壁截面梁

(Openthin-wallsections)

對(duì)于開(kāi)口薄壁截面梁,即使橫向力作用于形心主慣性平面內(nèi)(非對(duì)稱平面),則梁除發(fā)生彎曲變形外,還將發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形.

只有當(dāng)橫向力的作用線平行于形心主慣性平面并通過(guò)某個(gè)特定點(diǎn)時(shí),梁才只發(fā)生平面彎曲,而無(wú)扭轉(zhuǎn)變形.這個(gè)特定點(diǎn)稱為橫截面的彎曲中心(Shearcenterorflexuralcenter),用A表示.3.彎曲中心的確定（Determinationoftheshearcenter)（1）彎曲中心(Shearcenterorflexuralcenter)

切應(yīng)力合力的作用點(diǎn)就是截面彎曲中心(使桿不發(fā)生扭轉(zhuǎn)的橫向力作用點(diǎn)).（2）彎曲中心的位置(Locationoftheshearcenter)

（b）具有一個(gè)對(duì)稱軸的截面,其彎曲中心一定在這個(gè)對(duì)稱軸上.（c）若截面的中線是由若干相交于一點(diǎn)的直線段所組成，則此交點(diǎn)就是截面的彎曲中心.AAA（a）具有兩個(gè)對(duì)稱軸或反對(duì)稱軸的截面,其彎曲中心與形心重合.例3試畫(huà)出下列各薄壁截面彎曲中心的大致位置;若剪力FS的方向垂直向下,試畫(huà)出切應(yīng)力流的方向.AAAAAAAAAA例題4一槽鋼制成的梁受方向平行于其腹板的橫向荷載作用.鋼槽截面簡(jiǎn)化后的尺寸見(jiàn)圖.（2）確定橫截面上剪力作用線的位置（1）分析橫截面上腹板,翼緣兩部分切應(yīng)力t和t1的變化規(guī)律q(x)F1F2tyOmtyzdhbh1h′b′dy1y1δδ解：（1）分析腹板上切應(yīng)力的變化規(guī)律腹板上切應(yīng)力沿高度按二次拋物線規(guī)律變化.tyOmtyzdhbh1h′b′dy1y1δδ（2）橫截面翼緣上的切應(yīng)力q(x)F1F2mmnnxdxFSMFSM+dMnmmndxxs1nmnmdxs11

沿翼緣厚度用縱向截面AC截出一體積元素C-m

在C-m的兩個(gè)截面D-m,C-n上分別有由法向內(nèi)力元素

在C-m的兩個(gè)截面D-m,C-n上分別有由法向內(nèi)力元素組成的拉力FN1*,FN11*.mnOzydxmDCAξdAAξDmCdxδB

由于翼緣很薄,故可認(rèn)為1,11,沿翼緣厚度保持不變,且其值與翼緣中線上的正應(yīng)力相同.δ為翼緣厚度ξ為從翼緣外端到所取縱截面AC間的長(zhǎng)度mnOzydxmDCAξAξDmCdxδBdAA*

所以在AC截面上一定存在著切向內(nèi)力元素dFS’，因?yàn)橐砭墮M截面也是狹長(zhǎng)矩形,故可采用切應(yīng)力沿壁厚不變及其方向平行于翼緣長(zhǎng)度的假設(shè).由于

根據(jù)剪應(yīng)力互等定理,橫截面上的切應(yīng)力和AC上的切應(yīng)力如圖所示.AξDmCdxδB平衡方程Fx=0經(jīng)過(guò)整理,即得AξDmCdxδB由切應(yīng)力互等定理可知得橫截面上的切應(yīng)力mnOzydxmDCAξ式中FS—為橫截面上的剪力Iz—為整個(gè)橫截面對(duì)其中性軸的慣性矩h’—為截面兩翼緣中線間的距離ξ—為從翼緣外端到要求切應(yīng)力點(diǎn)之間的長(zhǎng)度1沿翼緣長(zhǎng)度按線性規(guī)律變化.

翼緣上的最大剪應(yīng)力發(fā)生在橫截面上翼緣與腹板的中線相接處.切應(yīng)力的指向如圖所示mmδy