第1章 信息光學數(shù)學基礎

第一章信息光學數(shù)學基礎第一章信息光學數(shù)學基礎

§1-1常用函數(shù)—變型xf(x)xf(x-x0)x0xf(x/a)xf(-x)x-f(x)xbf(x)平移(原點移至x0)折疊與f(x)關于y軸鏡像對稱取反與f(x)關于x軸鏡像對稱倍乘y方向幅度變化比例縮放a>1,在x方向展寬a倍a<1,在x方向壓縮a倍§1-1常用函數(shù)—變型（例）xf(x)01x,0<x<10其它例:f(x)={求f(-2x+4)解：f(-2x+4)=f[-2(x-2)]，包含折疊、壓縮、平移xf(-x)0-1先折疊xf(-2x)0-1/2再壓縮x0f[-2(x-2)]3/2最后平移§1-1常用函數(shù)—變型（練習）先折疊，偶函數(shù)折疊后不變xf(x)0p/2-p/2解：f(-x/2+p/4)=f[-(x-p/2)/2]，包含折疊、擴展、平移再擴展，最后平移xf(-x)0p/2-p/2求f(-x/2+p/4)曲線下面積:注意：在縮放前后的變化cos(x),|x|p/20 其它f(x)={§1-1常用函數(shù)

注意:1.函數(shù)在時域和空域，各代表什么物理對象

2.一維向二維擴展，各代表什么物理對象一.階躍函數(shù)x01Step(x)1,x>01/2,x=00,x<0定義:Step(x)={代表：開關，無窮大半平面屏0xStep(x)

§1-1常用函數(shù)

二.符號函數(shù)x01Sgn(x)-11,x>00,x=0-1,x<0定義:Sgn(x)={代表“p”相移器、反相器與Step函數(shù)的關系:Sgn(x)=2Step(x)-1§1-1常用函數(shù)

三.矩形函數(shù)定義xrect(x)01/2-1/21原型特點:rect(0)=1，矩形寬度=1，矩形面積=1，偶函數(shù)快門、單縫、矩孔、區(qū)域限定x0ax0yaxx0,y0yab0§1-1

常用函數(shù)

四、三角形函數(shù)底寬:2|a|,面積:

S=|a|底寬:2最大值：tri(0)=1曲線下面積:S=1xtri(x)01-11又寫成：L(x)要關注它和矩形函數(shù)的關系1xa+x0-a+x0x0§1-1常用函數(shù)

五、sinc函數(shù)xsinc(x)01-111xa+x0-a+x0x0特點:最大值：sinc(0)=1；limsinc(x)=0

x曲線下面積:S=1，偶函數(shù)0點位置:x=n(n=1,2,3…)等間隔兩個一級0點之間的主瓣寬度=2§1-1常用函數(shù)

五、sinc函數(shù)Sinc函數(shù)的重要性:數(shù)學上，sinc函數(shù)和rect函數(shù)互為傅里葉變換物理上，單一矩形脈沖rect(t)的頻譜是sinc函數(shù);單縫的夫瑯和費衍射花樣是sinc函數(shù)。xsinc2(x)01-11sinc

(x)sinc2(0)=1，S=1與sinc(x)相比，曲線形狀不同,但曲線下面積相同，為什么?二維sinc函數(shù): sinc(x)sinc(y)sin2(px)(px)2sinc2函數(shù)sinc2(x)=[sinc(x)]2§1-1常用函數(shù)

六、高斯函數(shù)Gaus(x)=exp(-px2)Gaus(0)=1S=1是非常平滑的函數(shù)，即各階導數(shù)均連續(xù)。Gaus(x)0x二維情形:Gaus(x)Gaus(y)=exp[-p(x2+y2)]可代表單模激光束的光強分布§1-1常用函數(shù)

七、圓域函數(shù)定義:circ(r)=circ函數(shù)是不可分離變量的二元函數(shù)描述無窮大不透明屏上半徑為1的圓孔的透過率a0注意以上定義的函數(shù)，其宗量均無量綱。在處理實際問題時，要根據(jù)所取的單位采用適當?shù)目s放因子。 例:以rect(x)代表單縫。若x單位為cm，則rect(x)代表寬度為1cm的單縫。若x單位為mm，則rect(x/10)代表寬度為1cm的單縫?！?-2脈沖函數(shù)（d函數(shù)）

一、定義

fn(x)可以是Nrect(Nx)、Nsinc(Nx)、NGaus(Nx)、二維圓域函數(shù)等等。物理系統(tǒng)已無法分辨更窄的函數(shù)定義1.定義2.基于函數(shù)系列的極限:可描述:單位質量質點的密度；單位電量點電荷的電荷密度；單位光通量點光源的發(fā)光度；單位能量無限窄電脈沖的瞬時功率等等?！?-2

脈沖函數(shù)（d函數(shù)）

一、定義(續(xù))0xd(x)110xd(x,y)yd

-函數(shù)的圖示：定義3:設任意函數(shù)f(x)在x=0點連續(xù),則 f(x)稱為檢驗函數(shù)§1-2脈沖函數(shù)（d函數(shù)）

二、性質1.篩選性質(由定義3直接可證)

設f(x)在x0點連續(xù)，則證明思路：二者對檢驗函數(shù)在積分中的作用相同。(練習)推論:d(x)是偶函數(shù)2.縮放性質與普通函數(shù)縮放性質的區(qū)別：普通函數(shù)：因子a不影響函數(shù)的高度，但影響其寬度d-函數(shù)：因子a不影響函數(shù)的寬度，但影響其高度通過此積分，可從f(x)中篩選出單一的f(x0)值?！?-2脈沖函數(shù)（d函數(shù)）

二、性質3.

乘積性質

設f(x)在x0點連續(xù),則:f(x)d(x-x0)=f(x0)d

(x-x0)任意函數(shù)與d-函數(shù)的乘積，是幅度變化了的d-函數(shù)練習：計算sinc(x)d(x) 2.sinc(x)d(x-0.5) 3.sinc(x)d(x-1) 4.(3x+5)d(x+3)

ax2Lx0ax-L0Lax-L0L-aLf(x)0-L§1-2d函數(shù)（脈沖函數(shù)）

三、

d函數(shù)的陣列--梳狀函數(shù)comb(x)表示沿x軸分布、間隔為1的無窮多脈沖的系列。例如：不考慮縫寬度和總尺寸的線光柵。間隔為t的脈沖系列：定義:

n為整數(shù)xcomb(x)0梳狀函數(shù)與普通函數(shù)的乘積：f(x)0x=x0xcomb(x).0利用comb(x)可以對函數(shù)f(x)進行等間距抽樣：xy二維梳狀函數(shù):comb(x,y)=comb(x)comb(y)§1-2d函數(shù)（脈沖函數(shù)）三、

d函數(shù)的陣列--梳狀函數(shù)comb(x)§1-3卷積

一、卷積概念的引入

例題

用寬度為a的狹縫，對平面上光強分布 f(x)=2+cos(2pf0x)

掃描，在狹縫后用光電探測器記錄。求輸出光強分布。例題探測器輸出的光功率分布axf(x)1/f0x卷積運算§1-3卷積

一、卷積概念的引入設：物平面光軸上的單位脈沖在像平面產生的分布為h(x)物體分布成像系統(tǒng)像平面分布像平面上的分布是物平面上各點產生的分布疊加以后的結果。需用卷積運算來描述。f(x)成像xx

0x1f(x1)h(x-x1)x2f(x2)h(x-x2)f(0)h(x)§1-3卷積

一、卷積概念的引入物平面光軸上的單位脈沖在像平面產生的分布為h(x)像平面上的分布是物平面上各點產生的分布疊加以后的結果。需用卷積運算來描述：f(x)成像xx

0

x1f(x1)h(x-x1)x2f(x2)h(x-x2)f(0)h(x)x§1-3

卷積

二、卷積的定義若f(x)與h(x)有界且可積，定義*:卷積符號

g(x)是f(x)與h(x)兩個函數(shù)共同作用的結果。對于給定的x，第一個函數(shù)的貢獻是f(x

)，則第二個函數(shù)的貢獻是h(x-x)。需要對任何可能的x求和。g(x)稱為函數(shù)f(x)與h(x)的卷積。二維函數(shù)的卷積:§1-3卷積

三、計算方法--借助幾何作圖th(t)1/5

590f(t)1/3

46t0f(t)1/3

46t0th(-t)1/5

-9-50xh(x-t)

x-9x-5t4609111315

g(x)

x0

2/151.用啞元t畫出函數(shù)f(t)和h(t)；2.將h(t)折疊成h(-t)；3.將h(-t)移位至給定的x，

h[-(t-x)]=h(x-t)；4.二者相乘；5.乘積函數(shù)曲線下面積的值即為g(x)。步驟:§1-3卷積

三、計算方法--幾何作圖法練習:計算rect(x)

*rect(x)-101

g(x)

x

11.用啞元t畫出二個

rect(t)2.將rect(t)折疊后不變;3.將一個rect(-t)移位至給定的x, rect[-(t-x)]=rect(x-t);4.二者相乘；乘積曲線下面積的值即為g(x)。rect(t)1t-1/20

1/2|x|>1;g(x)=0-1<x<0;g(x)=1[x+1/2-(-1/2)]=1+x0

<x<1;g(x)=1[1/2-(x-1/2)]=1-xrect(t)1t-1/20

1/2

x-1/2x

x+1/2rect(t)1t-1/20

1/2rect(x)*rect(x)=tri(x)卷積 概念的引入：

回到前面的例題探測器輸出的光功率分布:af(x)1/f0xx計算這個卷積：f(x)=2+cos(2pf0x)§1-3卷積

四、性質1.卷積滿足交換律

f(x)*h(x)=h(x)*

f(x)推論:卷積是線性運算

[av(x)+bw(x)]*h(x)=a[v(x)*

h(x)]+b[w(x)*

f(x)]2.卷積滿足分配律[v(x)+w(x)]*

h(x)=v(x)*

h(x)+w(x)*

f(x)

3.卷積滿足結合律[v(x)*w(x)]*h(x)=[v(x)*h(x)]*w(x)=v(x)*[w(x)*h(x)]§1-3卷積

四、性質4.卷積的位移不變性

若f(x)*h(x)=g(x)，則

f(x-x0)*

h(x)=g(x-x0)

或 f(x)*

h(x-x0)=g(x-x0)

5.卷積的縮放性質Scaling

若f(x)*h(x)=g(x)，則

§1-3

卷積

五、包含脈沖函數(shù)的卷積即任意函數(shù)與d(x)卷積后不變根據(jù)1.

d

函數(shù)是偶函數(shù)，2.d

函數(shù)的篩選性質，有：任意函數(shù)與脈沖函數(shù)卷積的結果，是將該函數(shù)平移到脈沖所在的位置。

f(x)*d(x-x0)=f(x-x0)

f(x)與脈沖陣列函數(shù)的卷積可在每個脈沖位置產生f(x)的函數(shù)波形，用于描述各種重復性的結構。=*bbaaa利用卷積的位移不變性可得：(1)(2)畫函數(shù)圖形ldxy*f(x)xAa-a0h(x)ka-ax0-3a/2-a/2a/23a/2用卷積計算的方式畫函數(shù)圖形，寫出表達式=？*=？？（3）（4）§1-4相關

信息處理中的重要運算

一、互相關考慮兩個復函數(shù)f(x)與g(x)，定義：作變量替換x+x

=x

’,則(2)(1)和(2)兩個定義式是完全等價的。為函數(shù)f(x)與g(x)的互相關函數(shù)。(1)互相關是兩個函數(shù)間存在相似性的量度?！?-4相關

一、互相關

與卷積的關系由(2)式易見：(3)

1.當且僅當f*(-x)=f(x)

，相關才與卷積相同。一般情況下，相關運算與卷積運算的區(qū)別: f(x)要取復共軛 運算時f(x)不需折疊rfg(x)=rgf*(-x)(4)由(3)式直接推論得:2.互相關不滿足交換律rfg(x)=f(x)★g(x)≠g(x)★f(x)=rgf

(x)相關計算要嚴格注意兩個函數(shù)的順序，以及哪個函數(shù)取復共軛。f(x)0x1f(τ)101h(x)0x1h(-τ)0x1f(τ)101h(x0-τ)x0g(x)=f(x)*h(x)0x1陰影部分的面積g(x0)x0h(x0-τ)01(x0-τ)τττ*f(x)0x1h(x)0x1f(x)0x1h(τ-x0)x0rfh(x)=f(x)

★h(x)0x1陰影部分的面積x0rfh(x0)★卷積與相關的結果不同互相關的物理含義互相關是兩個信號之間存在多少相似性的量度。兩個完全不同、毫無關系的信號，對所有位置，它們互相關值為零。兩個信號在一些部位存在相似性，在相應位置上就存在非零的互相關?！?-4相關

二、自相關或：由(4)式立即可得:rff(x)=rff*(-x)復函數(shù)的自相關函數(shù)是厄米函數(shù)(實部為偶函數(shù)，虛部為奇函數(shù))實函數(shù)的自相關為實偶函數(shù)當f(x)=g(x)時，互相關變?yōu)閺秃瘮?shù)f(x)的自相關，定義為§1-4相關

二、自相關由(3)式:若f(x)是實偶函數(shù),則:rff(x)=f(x)

*

f(x)

,其自相關就是自卷積對于非零復函數(shù)f(x)，rff(0)>0為實值|rff(x)|<

rff(0)證明:利用施瓦茲不等式（閱讀：呂乃光《傅里葉光學》P14-15）自相關函數(shù)的物理含義：自相關函數(shù)乃是自變量相差某一大小時，函數(shù)值相關的量度。當x=y=0時，自相關計算結果有最大值。當函數(shù)本身有平移時，改變了逐點的相似性，自相關模減小。§1-5二維傅里葉變換恩格斯(Engels)把傅里葉的數(shù)學成就與他所推崇的哲學家黑格爾(Hegel)的辯證法相提并論。他寫道：傅里葉是一首數(shù)學的詩，黑格爾是一首辯證法的詩。讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅里葉（JeanBaptisteJosephFourier，1768–1830），法國著名數(shù)學家、物理學家，1817年當選為科學院院士，1822年任該院終身秘書，后又任法蘭西學院終身秘書和理工科大學校務委員會主席，主要貢獻是在研究熱的傳播時創(chuàng)立了一套數(shù)學理論。

§1-5二維傅里葉變換

一、三角傅里葉級數(shù)滿足狄氏條件的函數(shù)g(x)具有有限周期t，可以在(-,+)展為三角傅里葉級數(shù):展開系數(shù)零頻分量、基頻、諧頻、頻譜等概念，奇、偶函數(shù)的三角級數(shù)展開三角傅里葉展開的例子前3項的和周期為t=1的方波函數(shù)an

…

fn013頻譜圖1/22/p-2/3p§1-5二維傅里葉變換

二、指數(shù)傅里葉級數(shù)滿足狄氏條件的函數(shù)g(x)具有有限周期t，可以在(-,+)展為指數(shù)傅里葉級數(shù):展開系數(shù)零頻分量、基頻、諧頻、頻譜等概念指數(shù)傅里葉級數(shù)和三角傅里葉級數(shù)是同一種級數(shù)的兩種表示方式，一種系數(shù)可由另一種系數(shù)導出?！?-5二維傅里葉變換

三、從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換函數(shù)(滿足狄氏條件)具有有限周期t，可以展為傅里葉級數(shù):展開系數(shù)Cn頻率為n/t的分量n級諧波頻率:n/t相鄰頻率間隔：1/t§1-5二維傅里葉變換

三、從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換非周期函數(shù)可以看作周期為無限大的周期函數(shù):由于t→∞相鄰頻率間隔:

1/t→0，寫作df，分立的n級諧波頻率

n/t→

f,f:連續(xù)的頻率變量

求和→積分展開系數(shù)或頻率f分量的權重,G(f),相當于分立情形的Cn§1-5二維傅里葉變換

三、從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換

寫成兩部分對稱的形式:這就是傅里葉變換和傅里葉逆變換§1-5

二維傅里葉變換

四、定義及存在條件函數(shù)f(x,y)在整個x-y平面上絕對可積且滿足狄氏條件(有有限個間斷點和極值點,沒有無窮大間斷點),定義函數(shù)為函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換，記作：

F(fx,fy)=

{f(x,y)}=F.T.[f(x,y)],

或

f(x,y)

F(fx,fy)F.T.f(x,y):原函數(shù)；F(fx,fy):像函數(shù)或頻譜函數(shù)變換核積分變換:傅里葉變換的核:exp(-j2pfx)§1-5二維傅里葉變換

四、定義及存在條件由頻譜函數(shù)求原函數(shù)的過程稱為傅里葉逆變換:f(x,y)和F(fx,fy)稱為傅里葉變換對記作:

f(x,y)=-1{F(fx,fy)}。

顯然

-1

{f(x,y)}=f(x,y)

綜合可寫:

f(x,y)

F(fx,fy)F.T.F.T.-1x(y)

和fx

(fy

)稱為一對共軛變量，它們在不同的范疇（時空域或頻域）描述同一個物理對象?！?-5二維傅里葉變換

四、定義及存在條件描述了各頻率分量的相對幅值和相移。x,y,fx,fy

均為實變量，F(xiàn)(fx,fy)一般是復函數(shù),F(fx,fy)=A(fx,fy)ejf(fx,fy)振幅譜位相譜F(fx,fy)是f(x,y)的頻譜函數(shù)§1-5二維傅里葉變換

五、廣義F.T.對于某些不符合狄氏條件的函數(shù)，求F.T.的方法。例:g(x,y)=1，在(-,+)不可積對某個可變換函數(shù)組成的系列取極限不符合狄氏條件的函數(shù),函數(shù)系列變換式的極限原來函數(shù)的廣義F.T.可定義:g(x,y)=limrect(x/t)rect(y/t)

t

則

{g(x,y)}=lim

{rect(x/t)rect(y/t)}

t

根據(jù)廣義傅立葉變換的定義和d函數(shù)的定義:

{g(x,y)}=limt2sinc(tfx)sinc(tfy)=d(fx,fy)

t

則

{rect(x/t)rect(y/t)}=t2sinc(tfx)sinc(tfy)

{1}=d(fx,fy)按照廣義變換的概念可以得出一系列特殊函數(shù)的F.T.{rect()}重要推論:

{rect(x)}=sinc(fx) §1-5

二維傅里葉變換

六、極坐標下的二維傅里葉變換和傅里葉-貝塞爾變換

（特別適合于圓對稱函數(shù)的F.T.）

依F.T.定義:

極坐標變換§1-5

二維傅里葉變換

極坐標下的二維傅里葉變換令:

則在極坐標中:則極坐標下的的二維傅里葉變換定義為：§1-5二維傅里葉變換

傅里葉-貝塞爾變換圓對稱函數(shù)的F.T.仍是圓對稱函數(shù),稱為F-B(傅-貝)變換,記為G(r)={g(r)}；g(r)=-1{G(r)}

當f(x,y)具有圓對稱性，即僅是半徑r的函數(shù)：f(x,y)=g(r,q)=g

(r).依據(jù)F.T.定義:利用貝塞爾函數(shù)關系§1-5

二維傅里葉變換

傅里葉-貝塞爾變換

例:求圓域函數(shù)的F-B定義:

是圓對稱函數(shù)作變量替換,令r’=2prr,并利用:§1-5

二維傅里葉變換

七、

虛、實、奇、偶函數(shù)的F.T.

將頻譜函數(shù)G(f)分別寫成實部(余弦變換)和虛部(正弦變換)，然后根據(jù)g(x)的虛、實、奇、偶性質討論頻譜的相應性質。注意：并非實函數(shù)的頻譜一定是實函數(shù)。只有厄米函數(shù)（實部為偶函數(shù)，虛部為奇函數(shù)）的頻譜才一定是實函數(shù)。例:rect(x)(實、偶)sinc(fx)(實、偶)

F.T.但，rect(x-1)(實、非偶)復函數(shù)F.T.空域g(x,y)頻域G(fx,fy)空域g(x,y)頻域G(fx,fy)實函數(shù)厄米函數(shù)虛值偶函數(shù)虛值偶函數(shù)虛函數(shù)反厄米函數(shù)虛值奇函數(shù)實值奇函數(shù)實值偶函數(shù)實值偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)實值奇函數(shù)虛值奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)虛、實、奇、偶函數(shù)的傅里葉變換性質§1-5

二維傅里葉變換

八、F.T.定理1.線性定理Linearity

設g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),

F.T.F.T.2.空間縮放{ag(x,y)+b

h(x,y)}=aG(fx,fy)+b

H(fx,fy)F.T.是線性變換§1-5

二維傅里葉變換

八、F.T.定理2.空間縮放注意空域坐標(x,y)的壓縮(a,b>1)，導致頻域中坐標(fx,fy)的擴展及頻譜幅度縮小，反之亦然。g(x)x01/2-1/21g(ax)a=2x01/4-1/41fG(f)01-11f02-21/2空域壓縮F.T.F.T.頻域擴展§1-5

二維傅里葉變換

八、F.T.定理3.位移定理{g(x-a,y-b)}=

G(fx,fy)exp[-j2p(fxa+fyb)]

設g(x,y)G(fx,fy),

F.T.頻率位移：原函數(shù)在空間域的相移，導致頻譜的位移。{g(x,y)exp[j2p(fax+fby)]}=G(fx-

fa,fy-fb)空間位移：原函數(shù)在空域中的平移，相應的頻譜函數(shù)振幅分布不變，但位相隨頻率線性改變。推論:由{1}=d(fx,fy){exp[j2p(fax+fby)]}=d(fx-

fa,fy-fb)復指函數(shù)的F.T.是移位的d函數(shù)§1-5

二維傅里葉變換

八、F.T.定理4.帕色渥(Parseval)定理若g(x)代表加在單位電阻上的電流或電壓，則左式代表信號的總能量（或總功率）。

|G(fx,fy)|2代表能量（功率）的譜密度（單位頻率間隔的能量或功率）。

設

g(x,y)G(fx,fy),

F.T.Parseval定理說明，信號的能量也可由|G(fx,fy)|2曲線下面積給出，或者說等于各頻率分量的能量之和—能量守恒?！?-5

二維傅里葉變換

八、F.T.定理--Parseval定理的證明（一維）交換積分順序，先對x求積分:利用復指函數(shù)的F.T.利用d函數(shù)的篩選性質§1-5

二維傅里葉變換

八、F.T.定理5.卷積定理空域中兩個函數(shù)的卷積，其F.T.是各自F.T.的乘積。{g(x,y)*

h(x,y)}=

G(fx,fy).

H(fx,fy)

設g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),

F.T.F.T.{g(x,y).

h(x,y)}=

G(fx,fy)*

H(fx,fy)空域中兩個函數(shù)的乘積，其F.T.是各自F.T.的卷積。將時、空域的卷積運算，化為頻域的乘積運算，特別實用。也可用于求復雜函數(shù)的F.T.和復雜函數(shù)的卷積?！?-5

二維傅里葉變換

利用卷積定理的例子2.{tri(x)}={rect(x)*rect(x)}={rect(x)}?{rect(x)}=sinc(f)?sinc(f)=sinc2(f)

rect(x)x01/2-1/2