第1章 信息光學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

第一章信息光學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一章信息光學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

§1-1常用函數(shù)—變型xf(x)xf(x-x0)x0xf(x/a)xf(-x)x-f(x)xbf(x)平移(原點(diǎn)移至x0)折疊與f(x)關(guān)于y軸鏡像對稱取反與f(x)關(guān)于x軸鏡像對稱倍乘y方向幅度變化比例縮放a>1,在x方向展寬a倍a<1,在x方向壓縮a倍§1-1常用函數(shù)—變型（例）xf(x)01x,0<x<10其它例:f(x)={求f(-2x+4)解：f(-2x+4)=f[-2(x-2)]，包含折疊、壓縮、平移xf(-x)0-1先折疊xf(-2x)0-1/2再壓縮x0f[-2(x-2)]3/2最后平移§1-1常用函數(shù)—變型（練習(xí)）先折疊，偶函數(shù)折疊后不變xf(x)0p/2-p/2解：f(-x/2+p/4)=f[-(x-p/2)/2]，包含折疊、擴(kuò)展、平移再擴(kuò)展，最后平移xf(-x)0p/2-p/2求f(-x/2+p/4)曲線下面積:注意：在縮放前后的變化cos(x),|x|p/20 其它f(x)={§1-1常用函數(shù)

注意:1.函數(shù)在時(shí)域和空域，各代表什么物理對象

2.一維向二維擴(kuò)展，各代表什么物理對象一.階躍函數(shù)x01Step(x)1,x>01/2,x=00,x<0定義:Step(x)={代表：開關(guān)，無窮大半平面屏0xStep(x)

§1-1常用函數(shù)

二.符號(hào)函數(shù)x01Sgn(x)-11,x>00,x=0-1,x<0定義:Sgn(x)={代表“p”相移器、反相器與Step函數(shù)的關(guān)系:Sgn(x)=2Step(x)-1§1-1常用函數(shù)

三.矩形函數(shù)定義xrect(x)01/2-1/21原型特點(diǎn):rect(0)=1，矩形寬度=1，矩形面積=1，偶函數(shù)快門、單縫、矩孔、區(qū)域限定x0ax0yaxx0,y0yab0§1-1

常用函數(shù)

四、三角形函數(shù)底寬:2|a|,面積:

S=|a|底寬:2最大值：tri(0)=1曲線下面積:S=1xtri(x)01-11又寫成：L(x)要關(guān)注它和矩形函數(shù)的關(guān)系1xa+x0-a+x0x0§1-1常用函數(shù)

五、sinc函數(shù)xsinc(x)01-111xa+x0-a+x0x0特點(diǎn):最大值：sinc(0)=1；limsinc(x)=0

x曲線下面積:S=1，偶函數(shù)0點(diǎn)位置:x=n(n=1,2,3…)等間隔兩個(gè)一級0點(diǎn)之間的主瓣寬度=2§1-1常用函數(shù)

五、sinc函數(shù)Sinc函數(shù)的重要性:數(shù)學(xué)上，sinc函數(shù)和rect函數(shù)互為傅里葉變換物理上，單一矩形脈沖rect(t)的頻譜是sinc函數(shù);單縫的夫瑯和費(fèi)衍射花樣是sinc函數(shù)。xsinc2(x)01-11sinc

(x)sinc2(0)=1，S=1與sinc(x)相比，曲線形狀不同,但曲線下面積相同，為什么?二維sinc函數(shù): sinc(x)sinc(y)sin2(px)(px)2sinc2函數(shù)sinc2(x)=[sinc(x)]2§1-1常用函數(shù)

六、高斯函數(shù)Gaus(x)=exp(-px2)Gaus(0)=1S=1是非常平滑的函數(shù)，即各階導(dǎo)數(shù)均連續(xù)。Gaus(x)0x二維情形:Gaus(x)Gaus(y)=exp[-p(x2+y2)]可代表單模激光束的光強(qiáng)分布§1-1常用函數(shù)

七、圓域函數(shù)定義:circ(r)=circ函數(shù)是不可分離變量的二元函數(shù)描述無窮大不透明屏上半徑為1的圓孔的透過率a0注意以上定義的函數(shù)，其宗量均無量綱。在處理實(shí)際問題時(shí)，要根據(jù)所取的單位采用適當(dāng)?shù)目s放因子。 例:以rect(x)代表單縫。若x單位為cm，則rect(x)代表寬度為1cm的單縫。若x單位為mm，則rect(x/10)代表寬度為1cm的單縫?！?-2脈沖函數(shù)（d函數(shù)）

一、定義

fn(x)可以是Nrect(Nx)、Nsinc(Nx)、NGaus(Nx)、二維圓域函數(shù)等等。物理系統(tǒng)已無法分辨更窄的函數(shù)定義1.定義2.基于函數(shù)系列的極限:可描述:單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的密度；單位電量點(diǎn)電荷的電荷密度；單位光通量點(diǎn)光源的發(fā)光度；單位能量無限窄電脈沖的瞬時(shí)功率等等?！?-2

脈沖函數(shù)（d函數(shù)）

一、定義(續(xù))0xd(x)110xd(x,y)yd

-函數(shù)的圖示：定義3:設(shè)任意函數(shù)f(x)在x=0點(diǎn)連續(xù),則 f(x)稱為檢驗(yàn)函數(shù)§1-2脈沖函數(shù)（d函數(shù)）

二、性質(zhì)1.篩選性質(zhì)(由定義3直接可證)

設(shè)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)，則證明思路：二者對檢驗(yàn)函數(shù)在積分中的作用相同。(練習(xí))推論:d(x)是偶函數(shù)2.縮放性質(zhì)與普通函數(shù)縮放性質(zhì)的區(qū)別：普通函數(shù)：因子a不影響函數(shù)的高度，但影響其寬度d-函數(shù)：因子a不影響函數(shù)的寬度，但影響其高度通過此積分，可從f(x)中篩選出單一的f(x0)值?！?-2脈沖函數(shù)（d函數(shù)）

二、性質(zhì)3.

乘積性質(zhì)

設(shè)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù),則:f(x)d(x-x0)=f(x0)d

(x-x0)任意函數(shù)與d-函數(shù)的乘積，是幅度變化了的d-函數(shù)練習(xí)：計(jì)算sinc(x)d(x) 2.sinc(x)d(x-0.5) 3.sinc(x)d(x-1) 4.(3x+5)d(x+3)

ax2Lx0ax-L0Lax-L0L-aLf(x)0-L§1-2d函數(shù)（脈沖函數(shù)）

三、

d函數(shù)的陣列--梳狀函數(shù)comb(x)表示沿x軸分布、間隔為1的無窮多脈沖的系列。例如：不考慮縫寬度和總尺寸的線光柵。間隔為t的脈沖系列：定義:

n為整數(shù)xcomb(x)0梳狀函數(shù)與普通函數(shù)的乘積：f(x)0x=x0xcomb(x).0利用comb(x)可以對函數(shù)f(x)進(jìn)行等間距抽樣：xy二維梳狀函數(shù):comb(x,y)=comb(x)comb(y)§1-2d函數(shù)（脈沖函數(shù)）三、

d函數(shù)的陣列--梳狀函數(shù)comb(x)§1-3卷積

一、卷積概念的引入

例題

用寬度為a的狹縫，對平面上光強(qiáng)分布 f(x)=2+cos(2pf0x)

掃描，在狹縫后用光電探測器記錄。求輸出光強(qiáng)分布。例題探測器輸出的光功率分布axf(x)1/f0x卷積運(yùn)算§1-3卷積

一、卷積概念的引入設(shè)：物平面光軸上的單位脈沖在像平面產(chǎn)生的分布為h(x)物體分布成像系統(tǒng)像平面分布像平面上的分布是物平面上各點(diǎn)產(chǎn)生的分布疊加以后的結(jié)果。需用卷積運(yùn)算來描述。f(x)成像xx

0x1f(x1)h(x-x1)x2f(x2)h(x-x2)f(0)h(x)§1-3卷積

一、卷積概念的引入物平面光軸上的單位脈沖在像平面產(chǎn)生的分布為h(x)像平面上的分布是物平面上各點(diǎn)產(chǎn)生的分布疊加以后的結(jié)果。需用卷積運(yùn)算來描述：f(x)成像xx

0

x1f(x1)h(x-x1)x2f(x2)h(x-x2)f(0)h(x)x§1-3

卷積

二、卷積的定義若f(x)與h(x)有界且可積，定義*:卷積符號(hào)

g(x)是f(x)與h(x)兩個(gè)函數(shù)共同作用的結(jié)果。對于給定的x，第一個(gè)函數(shù)的貢獻(xiàn)是f(x

)，則第二個(gè)函數(shù)的貢獻(xiàn)是h(x-x)。需要對任何可能的x求和。g(x)稱為函數(shù)f(x)與h(x)的卷積。二維函數(shù)的卷積:§1-3卷積

三、計(jì)算方法--借助幾何作圖th(t)1/5

590f(t)1/3

46t0f(t)1/3

46t0th(-t)1/5

-9-50xh(x-t)

x-9x-5t4609111315

g(x)

x0

2/151.用啞元t畫出函數(shù)f(t)和h(t)；2.將h(t)折疊成h(-t)；3.將h(-t)移位至給定的x，

h[-(t-x)]=h(x-t)；4.二者相乘；5.乘積函數(shù)曲線下面積的值即為g(x)。步驟:§1-3卷積

三、計(jì)算方法--幾何作圖法練習(xí):計(jì)算rect(x)

*rect(x)-101

g(x)

x

11.用啞元t畫出二個(gè)

rect(t)2.將rect(t)折疊后不變;3.將一個(gè)rect(-t)移位至給定的x, rect[-(t-x)]=rect(x-t);4.二者相乘；乘積曲線下面積的值即為g(x)。rect(t)1t-1/20

1/2|x|>1;g(x)=0-1<x<0;g(x)=1[x+1/2-(-1/2)]=1+x0

<x<1;g(x)=1[1/2-(x-1/2)]=1-xrect(t)1t-1/20

1/2

x-1/2x

x+1/2rect(t)1t-1/20

1/2rect(x)*rect(x)=tri(x)卷積 概念的引入：

回到前面的例題探測器輸出的光功率分布:af(x)1/f0xx計(jì)算這個(gè)卷積：f(x)=2+cos(2pf0x)§1-3卷積

四、性質(zhì)1.卷積滿足交換律

f(x)*h(x)=h(x)*

f(x)推論:卷積是線性運(yùn)算

[av(x)+bw(x)]*h(x)=a[v(x)*

h(x)]+b[w(x)*

f(x)]2.卷積滿足分配律[v(x)+w(x)]*

h(x)=v(x)*

h(x)+w(x)*

f(x)

3.卷積滿足結(jié)合律[v(x)*w(x)]*h(x)=[v(x)*h(x)]*w(x)=v(x)*[w(x)*h(x)]§1-3卷積

四、性質(zhì)4.卷積的位移不變性

若f(x)*h(x)=g(x)，則

f(x-x0)*

h(x)=g(x-x0)

或 f(x)*

h(x-x0)=g(x-x0)

5.卷積的縮放性質(zhì)Scaling

若f(x)*h(x)=g(x)，則

§1-3

卷積

五、包含脈沖函數(shù)的卷積即任意函數(shù)與d(x)卷積后不變根據(jù)1.

d

函數(shù)是偶函數(shù)，2.d

函數(shù)的篩選性質(zhì)，有：任意函數(shù)與脈沖函數(shù)卷積的結(jié)果，是將該函數(shù)平移到脈沖所在的位置。

f(x)*d(x-x0)=f(x-x0)

f(x)與脈沖陣列函數(shù)的卷積可在每個(gè)脈沖位置產(chǎn)生f(x)的函數(shù)波形，用于描述各種重復(fù)性的結(jié)構(gòu)。=*bbaaa利用卷積的位移不變性可得：(1)(2)畫函數(shù)圖形ldxy*f(x)xAa-a0h(x)ka-ax0-3a/2-a/2a/23a/2用卷積計(jì)算的方式畫函數(shù)圖形，寫出表達(dá)式=？*=？？（3）（4）§1-4相關(guān)

信息處理中的重要運(yùn)算

一、互相關(guān)考慮兩個(gè)復(fù)函數(shù)f(x)與g(x)，定義：作變量替換x+x

=x

’,則(2)(1)和(2)兩個(gè)定義式是完全等價(jià)的。為函數(shù)f(x)與g(x)的互相關(guān)函數(shù)。(1)互相關(guān)是兩個(gè)函數(shù)間存在相似性的量度?！?-4相關(guān)

一、互相關(guān)

與卷積的關(guān)系由(2)式易見：(3)

1.當(dāng)且僅當(dāng)f*(-x)=f(x)

，相關(guān)才與卷積相同。一般情況下，相關(guān)運(yùn)算與卷積運(yùn)算的區(qū)別: f(x)要取復(fù)共軛 運(yùn)算時(shí)f(x)不需折疊rfg(x)=rgf*(-x)(4)由(3)式直接推論得:2.互相關(guān)不滿足交換律rfg(x)=f(x)★g(x)≠g(x)★f(x)=rgf

(x)相關(guān)計(jì)算要嚴(yán)格注意兩個(gè)函數(shù)的順序，以及哪個(gè)函數(shù)取復(fù)共軛。f(x)0x1f(τ)101h(x)0x1h(-τ)0x1f(τ)101h(x0-τ)x0g(x)=f(x)*h(x)0x1陰影部分的面積g(x0)x0h(x0-τ)01(x0-τ)τττ*f(x)0x1h(x)0x1f(x)0x1h(τ-x0)x0rfh(x)=f(x)

★h(x)0x1陰影部分的面積x0rfh(x0)★卷積與相關(guān)的結(jié)果不同互相關(guān)的物理含義互相關(guān)是兩個(gè)信號(hào)之間存在多少相似性的量度。兩個(gè)完全不同、毫無關(guān)系的信號(hào)，對所有位置，它們互相關(guān)值為零。兩個(gè)信號(hào)在一些部位存在相似性，在相應(yīng)位置上就存在非零的互相關(guān)。§1-4相關(guān)

二、自相關(guān)或：由(4)式立即可得:rff(x)=rff*(-x)復(fù)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是厄米函數(shù)(實(shí)部為偶函數(shù)，虛部為奇函數(shù))實(shí)函數(shù)的自相關(guān)為實(shí)偶函數(shù)當(dāng)f(x)=g(x)時(shí)，互相關(guān)變?yōu)閺?fù)函數(shù)f(x)的自相關(guān)，定義為§1-4相關(guān)

二、自相關(guān)由(3)式:若f(x)是實(shí)偶函數(shù),則:rff(x)=f(x)

*

f(x)

,其自相關(guān)就是自卷積對于非零復(fù)函數(shù)f(x)，rff(0)>0為實(shí)值|rff(x)|<

rff(0)證明:利用施瓦茲不等式（閱讀：呂乃光《傅里葉光學(xué)》P14-15）自相關(guān)函數(shù)的物理含義：自相關(guān)函數(shù)乃是自變量相差某一大小時(shí)，函數(shù)值相關(guān)的量度。當(dāng)x=y=0時(shí)，自相關(guān)計(jì)算結(jié)果有最大值。當(dāng)函數(shù)本身有平移時(shí)，改變了逐點(diǎn)的相似性，自相關(guān)模減小?！?-5二維傅里葉變換恩格斯(Engels)把傅里葉的數(shù)學(xué)成就與他所推崇的哲學(xué)家黑格爾(Hegel)的辯證法相提并論。他寫道：傅里葉是一首數(shù)學(xué)的詩，黑格爾是一首辯證法的詩。讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅里葉（JeanBaptisteJosephFourier，1768–1830），法國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，1817年當(dāng)選為科學(xué)院院士，1822年任該院終身秘書，后又任法蘭西學(xué)院終身秘書和理工科大學(xué)校務(wù)委員會(huì)主席，主要貢獻(xiàn)是在研究熱的傳播時(shí)創(chuàng)立了一套數(shù)學(xué)理論。

§1-5二維傅里葉變換

一、三角傅里葉級數(shù)滿足狄氏條件的函數(shù)g(x)具有有限周期t，可以在(-,+)展為三角傅里葉級數(shù):展開系數(shù)零頻分量、基頻、諧頻、頻譜等概念，奇、偶函數(shù)的三角級數(shù)展開三角傅里葉展開的例子前3項(xiàng)的和周期為t=1的方波函數(shù)an

…

fn013頻譜圖1/22/p-2/3p§1-5二維傅里葉變換

二、指數(shù)傅里葉級數(shù)滿足狄氏條件的函數(shù)g(x)具有有限周期t，可以在(-,+)展為指數(shù)傅里葉級數(shù):展開系數(shù)零頻分量、基頻、諧頻、頻譜等概念指數(shù)傅里葉級數(shù)和三角傅里葉級數(shù)是同一種級數(shù)的兩種表示方式，一種系數(shù)可由另一種系數(shù)導(dǎo)出?！?-5二維傅里葉變換

三、從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換函數(shù)(滿足狄氏條件)具有有限周期t，可以展為傅里葉級數(shù):展開系數(shù)Cn頻率為n/t的分量n級諧波頻率:n/t相鄰頻率間隔：1/t§1-5二維傅里葉變換

三、從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換非周期函數(shù)可以看作周期為無限大的周期函數(shù):由于t→∞相鄰頻率間隔:

1/t→0，寫作df，分立的n級諧波頻率

n/t→

f,f:連續(xù)的頻率變量

求和→積分展開系數(shù)或頻率f分量的權(quán)重,G(f),相當(dāng)于分立情形的Cn§1-5二維傅里葉變換

三、從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換

寫成兩部分對稱的形式:這就是傅里葉變換和傅里葉逆變換§1-5

二維傅里葉變換

四、定義及存在條件函數(shù)f(x,y)在整個(gè)x-y平面上絕對可積且滿足狄氏條件(有有限個(gè)間斷點(diǎn)和極值點(diǎn),沒有無窮大間斷點(diǎn)),定義函數(shù)為函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換，記作：

F(fx,fy)=

{f(x,y)}=F.T.[f(x,y)],

或

f(x,y)

F(fx,fy)F.T.f(x,y):原函數(shù)；F(fx,fy):像函數(shù)或頻譜函數(shù)變換核積分變換:傅里葉變換的核:exp(-j2pfx)§1-5二維傅里葉變換

四、定義及存在條件由頻譜函數(shù)求原函數(shù)的過程稱為傅里葉逆變換:f(x,y)和F(fx,fy)稱為傅里葉變換對記作:

f(x,y)=-1{F(fx,fy)}。

顯然

-1

{f(x,y)}=f(x,y)

綜合可寫:

f(x,y)

F(fx,fy)F.T.F.T.-1x(y)

和fx

(fy

)稱為一對共軛變量，它們在不同的范疇（時(shí)空域或頻域）描述同一個(gè)物理對象?！?-5二維傅里葉變換

四、定義及存在條件描述了各頻率分量的相對幅值和相移。x,y,fx,fy

均為實(shí)變量，F(xiàn)(fx,fy)一般是復(fù)函數(shù),F(fx,fy)=A(fx,fy)ejf(fx,fy)振幅譜位相譜F(fx,fy)是f(x,y)的頻譜函數(shù)§1-5二維傅里葉變換

五、廣義F.T.對于某些不符合狄氏條件的函數(shù)，求F.T.的方法。例:g(x,y)=1，在(-,+)不可積對某個(gè)可變換函數(shù)組成的系列取極限不符合狄氏條件的函數(shù),函數(shù)系列變換式的極限原來函數(shù)的廣義F.T.可定義:g(x,y)=limrect(x/t)rect(y/t)

t

則

{g(x,y)}=lim

{rect(x/t)rect(y/t)}

t

根據(jù)廣義傅立葉變換的定義和d函數(shù)的定義:

{g(x,y)}=limt2sinc(tfx)sinc(tfy)=d(fx,fy)

t

則

{rect(x/t)rect(y/t)}=t2sinc(tfx)sinc(tfy)

{1}=d(fx,fy)按照廣義變換的概念可以得出一系列特殊函數(shù)的F.T.{rect()}重要推論:

{rect(x)}=sinc(fx) §1-5

二維傅里葉變換

六、極坐標(biāo)下的二維傅里葉變換和傅里葉-貝塞爾變換

（特別適合于圓對稱函數(shù)的F.T.）

依F.T.定義:

極坐標(biāo)變換§1-5

二維傅里葉變換

極坐標(biāo)下的二維傅里葉變換令:

則在極坐標(biāo)中:則極坐標(biāo)下的的二維傅里葉變換定義為：§1-5二維傅里葉變換

傅里葉-貝塞爾變換圓對稱函數(shù)的F.T.仍是圓對稱函數(shù),稱為F-B(傅-貝)變換,記為G(r)={g(r)}；g(r)=-1{G(r)}

當(dāng)f(x,y)具有圓對稱性，即僅是半徑r的函數(shù)：f(x,y)=g(r,q)=g

(r).依據(jù)F.T.定義:利用貝塞爾函數(shù)關(guān)系§1-5

二維傅里葉變換

傅里葉-貝塞爾變換

例:求圓域函數(shù)的F-B定義:

是圓對稱函數(shù)作變量替換,令r’=2prr,并利用:§1-5

二維傅里葉變換

七、

虛、實(shí)、奇、偶函數(shù)的F.T.

將頻譜函數(shù)G(f)分別寫成實(shí)部(余弦變換)和虛部(正弦變換)，然后根據(jù)g(x)的虛、實(shí)、奇、偶性質(zhì)討論頻譜的相應(yīng)性質(zhì)。注意：并非實(shí)函數(shù)的頻譜一定是實(shí)函數(shù)。只有厄米函數(shù)（實(shí)部為偶函數(shù)，虛部為奇函數(shù)）的頻譜才一定是實(shí)函數(shù)。例:rect(x)(實(shí)、偶)sinc(fx)(實(shí)、偶)

F.T.但，rect(x-1)(實(shí)、非偶)復(fù)函數(shù)F.T.空域g(x,y)頻域G(fx,fy)空域g(x,y)頻域G(fx,fy)實(shí)函數(shù)厄米函數(shù)虛值偶函數(shù)虛值偶函數(shù)虛函數(shù)反厄米函數(shù)虛值奇函數(shù)實(shí)值奇函數(shù)實(shí)值偶函數(shù)實(shí)值偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)實(shí)值奇函數(shù)虛值奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)虛、實(shí)、奇、偶函數(shù)的傅里葉變換性質(zhì)§1-5

二維傅里葉變換

八、F.T.定理1.線性定理Linearity

設(shè)g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),

F.T.F.T.2.空間縮放{ag(x,y)+b

h(x,y)}=aG(fx,fy)+b

H(fx,fy)F.T.是線性變換§1-5

二維傅里葉變換

八、F.T.定理2.空間縮放注意空域坐標(biāo)(x,y)的壓縮(a,b>1)，導(dǎo)致頻域中坐標(biāo)(fx,fy)的擴(kuò)展及頻譜幅度縮小，反之亦然。g(x)x01/2-1/21g(ax)a=2x01/4-1/41fG(f)01-11f02-21/2空域壓縮F.T.F.T.頻域擴(kuò)展§1-5

二維傅里葉變換

八、F.T.定理3.位移定理{g(x-a,y-b)}=

G(fx,fy)exp[-j2p(fxa+fyb)]

設(shè)g(x,y)G(fx,fy),

F.T.頻率位移：原函數(shù)在空間域的相移，導(dǎo)致頻譜的位移。{g(x,y)exp[j2p(fax+fby)]}=G(fx-

fa,fy-fb)空間位移：原函數(shù)在空域中的平移，相應(yīng)的頻譜函數(shù)振幅分布不變，但位相隨頻率線性改變。推論:由{1}=d(fx,fy){exp[j2p(fax+fby)]}=d(fx-

fa,fy-fb)復(fù)指函數(shù)的F.T.是移位的d函數(shù)§1-5

二維傅里葉變換

八、F.T.定理4.帕色渥(Parseval)定理若g(x)代表加在單位電阻上的電流或電壓，則左式代表信號(hào)的總能量（或總功率）。

|G(fx,fy)|2代表能量（功率）的譜密度（單位頻率間隔的能量或功率）。

設(shè)

g(x,y)G(fx,fy),

F.T.Parseval定理說明，信號(hào)的能量也可由|G(fx,fy)|2曲線下面積給出，或者說等于各頻率分量的能量之和—能量守恒?！?-5

二維傅里葉變換

八、F.T.定理--Parseval定理的證明（一維）交換積分順序，先對x求積分:利用復(fù)指函數(shù)的F.T.利用d函數(shù)的篩選性質(zhì)§1-5

二維傅里葉變換

八、F.T.定理5.卷積定理空域中兩個(gè)函數(shù)的卷積，其F.T.是各自F.T.的乘積。{g(x,y)*

h(x,y)}=

G(fx,fy).

H(fx,fy)

設(shè)g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),

F.T.F.T.{g(x,y).

h(x,y)}=

G(fx,fy)*

H(fx,fy)空域中兩個(gè)函數(shù)的乘積，其F.T.是各自F.T.的卷積。將時(shí)、空域的卷積運(yùn)算，化為頻域的乘積運(yùn)算，特別實(shí)用。也可用于求復(fù)雜函數(shù)的F.T.和復(fù)雜函數(shù)的卷積?！?-5

二維傅里葉變換

利用卷積定理的例子2.{tri(x)}={rect(x)*rect(x)}={rect(x)}?{rect(x)}=sinc(f)?sinc(f)=sinc2(f)

rect(x)x01/2-1/2