誤差理論與數據處理 第一章誤差的基本概念

第一章誤差的基本概念教學目的和要求

通過本章內容的教學，使學生對誤差的定義、表達方法、分類和誤差來源等基本概念有一個系統(tǒng)全面的了解，為后續(xù)內容學習打下基礎。要求學生理解真值的概念，掌握誤差最常用的表達方式，了解誤差來源的分析方法，正確使用近似數的修約準則。主要內容一、測量的概念二、誤差的定義及基本概念三、測量誤差的來源四、誤差的分類五、近似數的修約與運算定義：以確定量值為目的的一組操作。目的：確定被測量的值或獲取測量結果。第一節(jié)測量的概念

測量定義：實現單位統(tǒng)一、量值準確可靠的活動?！?/p>

單位統(tǒng)一指的是計量單位的統(tǒng)一。計量單位的統(tǒng)一，是量值統(tǒng)一的重要前提。

·

量值準確可靠表征的是測量結果與被測量量的真值的接近程度，準的定量描述用誤差或測量不確定度?！皽省笔怯嬃康暮诵?。計量1、測量是一個廣義的概念，測量包括計量。2、計量是一種特殊的測量。·

計量儀器必須有計量檢定合格證書。·

計量人員必須持證上崗。·

計量環(huán)境必須滿足國家技術規(guī)范的要求。·

計量方法必須按國家計量檢定規(guī)程進行?！?/p>

計量結果必須給出誤差與測量不確定度的大小。3、計量是測量的基礎，又是最高層次的測量。測量與計量的關系測量直接測量間接測量工程測量精密測量電量測量非電量測量等權測量非等權測量靜態(tài)測量動態(tài)測量測量的分類直接測量

指通過直接測量與被測量有函數關系的量，通過函數關系求得被測量值的測量方法。指被測量與該標準量直接進行比較的測量，指該被測量的測量結果可以直接由測量儀器輸出得到，而不再需要經過量值的變換與計算。用游標卡尺測量小尺寸軸工件的直徑時，游標卡尺的讀數即是被測工件的直徑間接測量用游標卡尺測大尺寸軸工件的直徑，因量程不夠，采用測量弦長與矢高的方法，間接得到工件直徑按測量結果的獲取方式分類

指在測量過程中被測量可以認為是固定不變的。因此，不需要考慮時間因素對測量的影響

指被測量在測量期間隨時間（或其他影響量）發(fā)生變化靜態(tài)測量在日常測量中，大多接觸的是靜態(tài)測量。對于這種測量，被測量和測量誤差可以當作一種隨機變量來處理動態(tài)測量彈道軌跡的測量、環(huán)境噪聲的測量等。對這類被測量的測量，需要當作一種隨機過程的問題來處理。根據被測量對象在測量過程中

所處的狀態(tài)分類

指在測量過程中，測量儀器、測量方法、測量條件和操作人員都保持不變。因此，對同一被測量進行的多次測量結果可認為具有相同的信賴程度，應按同等原則對待。

指測量過程中測量儀器、測量方法、測量條件或操作人員某一因素或某幾因素發(fā)生變化，使得測量結果的信賴程度不同。對不等權測量的數據應按不等權原則進行處理。

等權測量不等權測量根據測量條件是否發(fā)生變化分類δ＝x-a定義被測量的真值測量結果測量誤差第二節(jié)測量誤差的定義及基本概念

一、測量誤差·測量結果x的值是由測量所得到的賦予被測量的值?！V義上我們可以把測得值、測量值、檢測值、實驗值、示值、名義值、標稱值、預置值、給出值等均看作是測量結果。測量結果是我們要研究的對象。測量結果真值定義為與給定的特定量的定一致的值。理論真值一般只存在于純理論之中。三角形內角之和恒為180o一個整圓周角為360o真值亦稱指定值、約定值、參考值或最佳估計值是指對于給定用途具有適當不確定度的、賦予特定量的值。由國家建立的實物標準（或基準）所指定的千克副原器質量的約定真值為1kg，其復現的不確定度為0.008mg。七個SI基本單位：米、千克、安培、秒、開爾文、堪德拉、摩爾約定真值約定真值二、基本表示方法誤差絕對誤差相對誤差引用誤差δ＝x-a特點：絕對誤差是一個具有確定的大小、符號及單位的量。單位給出了被測量的量綱，其單位與測得值相同。適用于同一量級的同種量的測量結果的誤差比較和單次測量結果的誤差計算。絕對誤差絕對誤差與誤差絕對值相等、符號相反的值，一般用c表示。

在自動測量儀器中，可將修正值編成程序存儲在儀器中，儀器輸出的是經過修正的測量結果。

修正結果是將測得值加上修正值后的測量結果，這樣可提高測量準確度。

在測量儀器中，修正值常以表格、曲線或公式的形式給出。

修正值修正值真值絕對誤差用某電壓表測量電壓，電壓表的示值為226V，查該表的檢定證書，得知該電壓表在220V附近的誤差為5V，被測電壓的修正值為－5V，則修正后的測量結果為226+(－5V)=221V。

測得值【例1-1】定義

特點①相對誤差只有大小和符號，而無量綱，一般用百分數來表示。

②

相對誤差常用來衡量測量的相對準確程度。絕對誤差被測量的真值，常用約定真值代替，也可以近似用測量值x來代替x0相對誤差相對誤差（relativeerror）用1μm測長儀測量0.01m長的工件，其絕對誤差=0.0006m，但用來測量1m長的工件，其絕對誤差為0.0105m。前者的相對誤差為

后者的相對誤差為用絕對誤差不便于比較不同量值、不同單位、不同物理量等的準確度。

絕對誤差和相對誤差的比較定義

引用誤差是一種相對誤差，而且該相對誤差是引用了特定值，即標稱范圍上限（或量程）得到的，故該誤差又稱為引用相對誤差、滿度誤差。

儀器某標稱范圍（或量程）內的最大絕對誤差

該標稱范圍（或量程）上限引用誤差

引用誤差我國電工儀表、壓力表的準確度等級（accuracyclass）就是按照引用誤差進行分級的。當一個儀表的等級s選定后，用此表測量某一被測量時，所產生的最大絕對誤差為絕對誤差的最大值與該儀表的標稱范圍（或量程）上限xm成正比電工儀表、壓力表的準確度等級用有一塊測量范圍為－0.1MPa～＋0.1MPa，2.5級的壓力真空表，在進行計量校準時，各示值點上最大允許誤差是多少？解：該壓力真空表在－0.1MPa～＋0.1MPa范圍內各示值點上的引用誤差不應超過2.5％，則各示值點上允許誤差的最大示值誤差應為：δ≤2.5％×[0.1－（－0.1）]＝0.005（MPa）引用誤差專用于儀器儀表誤差的描述?！纠?-2】

為了減小測量誤差，提高測量準確度，就必須了解誤差來源。而誤差來源是多方面的，在測量過程中，幾乎所有因素都將引入測量誤差。主要來源

測量設備誤差

測量方法誤差

測量環(huán)境誤差

測量人員誤差

被測對象誤差

第三節(jié)測量誤差的來源以固定形式復現標準量值的器具，如標準電阻、標準量塊、標準砝碼等等，他們本身體現的量值，不可避免地存在誤差。一般要求標準器件的誤差占總誤差的1/3～1/10。

測量裝置在制造過程中由于設計、制造、裝配、檢定等的不完善，以及在使用過程中，由于元器件的老化、機械部件磨損和疲勞等因素而使設備所產生的誤差。測量儀器所帶附件和附屬工具所帶來的誤差。測量設備誤差

標準器誤差儀器儀表誤差附件誤差設計測量裝置時，由于采用近似原理所帶來的工作原理誤差組成設備的主要零部件的制造誤差與設備的裝配誤差設備出廠時校準與定度所帶來的誤差讀數分辨力有限而造成的讀數誤差數字式儀器所特有的量化誤差元器件老化、磨損、疲勞所造成的誤差指使用的測量方法不完善，或采用近似的計算公式等原因所引起的誤差，又稱為理論誤差測量方法誤差第一種情況：由于測量人員的知識不足或研究不充分以致操作不合理，或對測量方法、測量程序進行錯誤的簡化等引起的方法誤差。第二種情況：分析處理數據時引起的方法誤差。例如，軸的周長可以通過測量軸的直徑d，然后由公式：L＝πd計算得到。但是，在計算中只能取其近似值，因此，計算所得的L也只能是近似值，從而引起周長L的誤差。測量方法誤差指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。對于電子測量，環(huán)境誤差主要來源于環(huán)境溫度、電源電壓和電磁干擾等激光光波比長測量中，空氣的溫度、濕度、塵埃、大氣壓力等會影響到空氣折射率，因而影響激光波長，產生測量誤差。高精度的準直測量中，氣流、振動也有一定的影響測量環(huán)境誤差測量人員的工作責任心、技術熟練程度、生理感官與心理因素、測量習慣等的不同而引起的誤差。為了減小測量人員誤差，就要求測量人員要認真了解測量儀器的特性和測量原理，熟練掌握測量規(guī)程，精心進行測量操作，并正確處理測量結果。測量人員誤差用工具顯微鏡測量圓的直徑。右圖是這一測量的示意圖。測量時，調整顯微鏡指標線同圓的兩側直徑方向相切。理論上要求指標線調至同圓的影象相切，指標線壓住或脫離影象均會產生測量誤差。在指標線和影象相切的同時，估計讀取指標線在刻度尺的位置a和b，則圓的直徑d＝b－a。在上述測量過程中，用人眼二次瞄準相切，二次估計讀數均受到人眼最小分辨能力的限制。因此，在該測量過程中，有二次對線瞄準誤差和二次估讀誤差?！纠?-3】

被測對象在整個測量過程中處在不斷地變化中。由于測量對象自身的變化而引起的測量誤差稱為測量對象變化誤差。

例如，被測光度燈的光度，被測溫度計的溫度，被測線紋尺的長度，被測量塊的尺寸等，在測量過程中均處于不停地變化中，由于它們的變化，使測量不準而帶來誤差。下述的測量實例說明了這一點。

被測對象變化誤差全面分析不遺漏不重復重大避小分析誤差來源注意事項誤差系統(tǒng)誤差粗大誤差隨機誤差第四節(jié)誤差的分類在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差。

定義特征

在相同條件下，多次測量同一量值時，該誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，按某一確定規(guī)律變化的誤差。

系統(tǒng)誤差（systematicerror）用天平計量物體質量時，砝碼的質量偏差用千分表讀數時，表盤安裝偏心引起的示值誤差刻線尺的溫度變化引起的示值誤差在實際估計測量器具示值的系統(tǒng)誤差時，常常用適當次數的重復測量的算術平均值減去約定真值來表示，又稱其為測量器具的偏移或偏畸（bias）。

由于系統(tǒng)誤差具有一定的規(guī)律性，因此可以根據其產生原因，采取一定的技術措施，設法消除或減??；也可以在相同條件下對已知約定真值的標準器具進行多次重復測量的辦法，或者通過多次變化條件下的重復測量的辦法，設法找出其系統(tǒng)誤差的規(guī)律后，對測量結果進行修正。系統(tǒng)誤差舉例測得值與在重復性條件下對同一被測量進行無限多次測量結果的平均值之差。又稱為偶然誤差。定義特征

在相同測量條件下，多次測量同一量值時，絕對值和符號以不可預定方式變化的誤差。產生原因實驗條件的偶然性微小變化，如溫度波動、噪聲干擾、電磁場微變、電源電壓的隨機起伏、地面振動等。

隨機誤差（randomerror）隨機誤差的最主要特征是具有隨機性，沒有確定的規(guī)律。但象其它隨機變量一樣，對無限次測量，隨機誤差服從統(tǒng)計規(guī)律。隨機誤差的特征指明顯超出統(tǒng)計規(guī)律預期值的誤差。又稱為疏忽誤差、過失誤差或簡稱粗差。定義產生原因某些偶爾突發(fā)性的異常因素或疏忽所致。測量方法不當或錯誤，測量操作疏忽和失誤（如未按規(guī)程操作、讀錯讀數或單位、記錄或計算錯誤等）測量條件的突然變化（如電源電壓突然增高或降低、雷電干擾、機械沖擊和振動等）。由于該誤差很大，明顯歪曲了測量結果。故應按照一定的準則進行判別，將含有粗大誤差的測量數據（稱為壞值或異常值）予以剔除。具體見第四章。

粗大誤差（grosserror）如一塊電表，它的刻度誤差在制造時可能是隨機的，但用此電表來校準一批其它電表時，該電表的刻度誤差就會造成被校準的這一批電表的系統(tǒng)誤差。又如，由于電表刻度不準，用它來測量某電源的電壓時必帶來系統(tǒng)誤差，但如果采用很多塊電表測此電壓，由于每一塊電表的刻度誤差有大有小，有正有負，就使得這些測量誤差具有隨機性。誤差性質的相互轉化1．若舍去部分的數值大于保留末位的0.5，則末位加1，（大于5進）；2．若舍去部分的數值小于保留末位的0.5，則末位不變，（小于5舍）；3．若舍去部分的數值恰等于保留末位的0.5，此時，①若末位是偶數；則末位不變，②若末位是奇數，則末位加1，（等于5奇進偶不進）。第五節(jié)近似數的修約與運算

近似數的基本修約規(guī)則

·修約必須一次完成，不能連續(xù)修約，如：1.327465→1.32746→1.3275→1.328（正確為：1.327465→1.327）·若數字舍入恰巧發(fā)生在合格與否的邊界數字上時，則要用（＋）或（－）分別補充表明它們的數值大小。如1.29→1.3（－），13.2→1.3（＋）?！ふ`差或不確定度的舍入最好一律采用增大的方式，即只進不舍。后面將提到的有效自由度的計算，則采用截斷小數取整的只舍不進的算法。規(guī)則使用說明：定義：是指經過修約后所得的近似數從左邊第一個不是零的數字起到末位上的所有數字。一個近似數有n個有效數字，也稱這個近似數為n位有效數。意義：有效數字描述了近似數的近似程度。有效數字

1．它可能是有效數字，也可能不是有效數字，這取決于它處在近似數中的位置。當零處在第一個有效數字之前時，則零不算有效數字。例如，近似數0.00386前面的三個“0”，均不是有效數字。當零處在第一個有效數字之后，則均為有效數字。例如，近似數110.00和200.030中的所有“0”均為有效數字。2．小數點以后的零反映了近似數的誤差，不能隨意取舍。例如，近似數100，100.0和100.00。這三個近似數在數值上是相等的，但是它們的誤差是各不相同的，由舍入誤差原理知，這三個近似數的誤差絕對值分別不超過0.5，0.05和0.005。3．在第一個有效數字之前的零則與誤差無關。例如，近似數0.0036的誤差絕對值不超過0.00005，而近似數0.36×10－2的誤差絕對值也不超過0.005×10－2＝0.00005。在判斷有效數字時，對于零這個數字有三點說明：

幾個（不超過10個）近似數相加或相減時，小數位數較多的近似數，只須比小數位數最少的那個數多保留1位