第4章(地震危險性分析方法)

地震危險性概率分析方法

高玉峰土動力學(xué)第4章GeoHohai一種簡化的地震危險性分析計算方法

----逐點計算法一、地震危險性分析的橢圓模型二、逐點計算法的思路三、程序設(shè)計的技術(shù)處理四、舉例說明一、地震危險性分析的橢圓模型

1968年，Cornell建立了Cornell模型。

1977年，Der.kiurehian和A.H-S.Ang對Cornell模型做了較大的修改，提出斷層－破裂模型。

1989年，沈建文等討論了Cornell模型和斷層破裂模型存在的系統(tǒng)偏差，提出了地震危險性分析的經(jīng)驗點橢圓模型。

設(shè)對場地產(chǎn)生有效影響的潛在震源有n個，地震發(fā)生為均勻泊松過程，且vi為第Ei個潛在震源震級m≥m0的地震的年平均發(fā)生率，則一年中場地地震動Y超過某確定y的概率為：一、地震危險性分析的橢圓模型一、地震危險性分析的橢圓模型t年內(nèi)的超越概率為：一、地震危險性分析的橢圓模型M0——起算震級；Mu——震級上限；f(m)——震級概率密度。

一、地震危險性分析的橢圓模型

因此，地震危險性分析的關(guān)鍵是計算第Ei個潛在震源中，震級m對場地造成的超過某地震動y的超越概率：？＝一、地震危險性分析的橢圓模型

P(Y≥y/Ei,m)計算歸結(jié)為計算地震動衰減橢圓與凸多邊形潛在震源相交面積，后者可表示成三角形與橢圓扇形面積的代數(shù)和，從而將問題簡化。

一、地震危險性分析的橢圓模型圖1橢圓與凸多邊形相交關(guān)系YNCBXAFEODMYCBAG

FEDOXMM

YGBFEA

D

HCXOI二、逐點計算法的思路

本文提出的計算凸多邊形與橢圓交接面積的基本思路是：1、把它當(dāng)作表示三角形或橢圓扇形面積的矢量乘積之和。

2、將任意凸多邊形的各個頂點按逆時針排序，逐個判別各個頂點的情況，進(jìn)而判別多邊形每條邊與橢圓相交的情況，求出需累加三角形、橢圓扇形的面積的矢量乘積。3、當(dāng)循環(huán)一周又回到初始點的時，自然得出各個面積的矢量和，亦即地震動衰減橢圓與凸多邊形潛在震源的相交面積。

4、此方法規(guī)定矢量垂直于橢圓面并方向朝上為正。二、逐點計算法的思路多邊形的頂點與橢圓的交接有三種情況，即多邊形的頂點在：1、橢圓內(nèi)2、橢圓上

3、橢圓外其中多邊形的頂點在橢圓上可視為橢圓內(nèi)的特殊情況來歸一化處理，因而可將三種情況簡化為兩種。二、逐點計算法的思路A(n)B(n+1)O只需計算以坐標(biāo)原點、n點、n+1點為頂點的三角形OAB面積。在求三角形面積時，由于按逆時針取點，三角形面積可表示為矢量叉乘形式。若表達(dá)式為正，表示加上該三角形面積；若表達(dá)式為負(fù)，表示減去該三角形面積，后文有具體說明。1、當(dāng)多邊形第n頂點在橢圓內(nèi)，第n+1頂點有兩種情況:（1）第n+1點在橢圓內(nèi)。二、逐點計算法的思路OA(n)P1B(n+1)計算以坐標(biāo)原點、n點、交點P1為頂點的三角形OAP1面積，并將交點P1的坐標(biāo)存貯起來，作為求橢圓扇形面積的初始點。在橢圓確定時，橢圓扇形面積只與該扇形的起始邊與橢圓的交點——初始點，以及該扇形的終止邊與橢圓交點——終止點有關(guān)。在本文方法中，橢圓扇形面積始終為正。（2）第n+1點在橢圓外。二、逐點計算法的思路按照順序，首先要考慮交點P2如何處理。顯然P2點與求橢圓扇形面積有關(guān)，且是橢圓扇形的終止點。若前面沒有橢圓扇形的初始點，需將交點P2作特殊點存貯起來，作為最后計算橢圓扇形面積的終止點（下述），并計算原點，P2點和第n+1點組成的三角形面積矢量乘積。

2、當(dāng)多邊形第n頂點在橢圓外，第n+1頂點有兩種情況:（1）第n+1點在橢圓內(nèi)。B(n+1)OP2A(n)二、逐點計算法的思路P2OA(n)B(n+1)P1B(n+1)B(n+1)多邊形的邊AB與橢圓相切或完全不相交，另一種情況是線段AB與橢圓相交。在這里，我們只考慮邊AB為線段而不考慮其延長后的情況。判別相交情況，可按本文程序設(shè)計技術(shù)處理給出的具體說明。沒有交點時不需要計算，直接對下一個點進(jìn)行判斷分析；有一個交點時，當(dāng)作無交點的情況處理。（2）第n+1點在橢圓外。二、逐點計算法的思路

線段AB與橢圓有兩個交點P1、P2。按照順序，首先處理交點P2。P2可當(dāng)作點有橢圓外到橢圓內(nèi)與橢圓的交點。若前面已有橢圓扇形的初始點，把P2點作為橢圓扇形的終止點，計算出橢圓扇形的面積；若沒有橢圓扇形的初始點，把P2點存貯起來，作為最后計算橢圓扇形面積的終止點。處理完P(guān)2，計算三角形OP2P1，然后處理交點P1。P1可視為點由橢圓內(nèi)到橢圓外與橢圓的交點，只需將其作為計算下一個橢圓扇形面積的初始點存貯起來。P2OA(n)B(n+1)P1B(n+1)B(n+1)二、逐點計算法的思路

若第一點在橢圓內(nèi)，則沿逆時針方向一周，計算得出的三角形和橢圓扇形面積的矢量和，即是要求的凸多邊形潛在源與地震動衰減橢圓的相交面積。當(dāng)選擇的凸多邊形的第一個頂點在橢圓內(nèi)或橢圓外時，其計算方法有所不同。二、逐點計算法的思路MNYCBXAFEOD若以E點為初始點逆時針取向，由E點→A點，點由橢圓內(nèi)到橢圓外，有唯一交點F，計算三角形OEF的面積，然后將F點作為橢圓扇形OFD的初始點；由點A→點B，兩點均在橢圓外且線段AB與橢圓無交點，不需計算；由點B→點C，兩點均在橢圓外且線段BC與橢圓無交點，不需計算；由點C→點E，點由橢圓外到橢圓內(nèi)，且前面已有橢圓扇形OFMD的初始點下，以交點D作為橢圓扇形的終止點，求出橢圓OFMD的面積，再計算三角形ODE的面積，這樣就直接得出橢圓與多邊形EABC的相交面積。

二、逐點計算法的思路當(dāng)選擇的凸多邊形的第一個頂點在橢圓內(nèi)或橢圓外時，其計算方法有所不同。

若第一點在橢圓內(nèi)，則沿逆時針方向一周，計算得出的三角形和橢圓扇形面積的矢量和，即是要求的凸多邊形潛在源與地震動衰減橢圓的相交面積。若第一點在橢圓外，則按逆時針方向一周后，再增加一個橢圓扇形的面積，才能得出橢圓與多邊形的相交面積。二、逐點計算法的思路選取A點作為初始點逆時針取向，首先由點A→點B，兩點均在橢圓外且線段AB與橢圓無交點，不作計算；由點B→點C，兩點均在橢圓外且線段BC與橢圓無交點，也不作計算；由點C→點E，點由橢圓外到橢圓內(nèi)，首先處理交點D，因前面沒有橢圓扇形的初始點，將其以特殊點存貯起來，并計算三角形ODE面積；由點E→點A，點有橢圓內(nèi)到橢圓外，計算三角形OEF面積，并將交點F作為橢圓扇形的初始點存貯起來，最后還需以存貯的F點作為橢圓扇形的終止點，計算出橢圓扇形的面積。

MNYCBXAFEOD三、程序設(shè)計的技術(shù)處理以地震動衰減橢圓的中心為坐標(biāo)原點，橢圓長軸為X軸，橢圓短軸為Y軸，建立直角坐標(biāo)系。

1、建立直角坐標(biāo)系三、程序設(shè)計的技術(shù)處理多邊形的頂點與橢圓的關(guān)系，可分為點在橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓上三種情況，在具體計算時，將點在橢圓上的點視為點在橢圓內(nèi)處理。在判定多邊形頂點與橢圓關(guān)系時，設(shè)一控制參數(shù)k(i)

k(i)=x2(i)

/a2+y2(i)

/b2(x(i),

y(i))為多邊形某一頂點的坐標(biāo)。若k(i)

>1，判定點在橢圓外，否則，則判定點在橢圓內(nèi)（k(i)

≤1）。

2、判定點與橢圓的關(guān)系三、程序設(shè)計的技術(shù)處理

多邊形的各邊與橢圓有不同的相交情況，需求出交點坐標(biāo)。設(shè)（x(2)，y(2)）、（x(3)，y(3)）是某條邊的兩個頂點，則有方程組：3、求解多邊形的邊與橢圓的交點三、程序設(shè)計的技術(shù)處理

若此方程組無實數(shù)解或僅有一組實數(shù)解，表明經(jīng)過多邊形某邊的直線與橢圓完全不相交或相切，可認(rèn)為多邊形的邊與橢圓無交點。

三、程序設(shè)計的技術(shù)處理若此方程組有二組實數(shù)解（x(7),y(7)）、（x(8),y(8)），則表示經(jīng)過多邊形某邊的直線與橢圓有兩個交點，但并不一定是多邊形某邊與橢圓的實交點。即使兩個都是多邊形某邊與橢圓的實交點，還需對其排序。下面解決如何取交點。

三、程序設(shè)計的技術(shù)處理引入?yún)⒖甲兞縋(1)、P(2)：

三、程序設(shè)計的技術(shù)處理（1）當(dāng)多邊形某條邊的兩個頂點，一個在橢圓內(nèi)，一個在橢圓外，則該邊與橢圓必有且只有一個實交點（x(4)，y(4)）。程序在計算時，由該條邊確定直線會與橢圓發(fā)生兩個交點，而實交點應(yīng)為線段（n點，（x(2)，y(2)）→n+1點（x(3)，y(3)））的內(nèi)比分點，P值大于0，另一個為外比分點，P值小于0，因而：

P(1)×P(2)＜0若P(1)＞0，則：x(4)=x(7)，y(4)=y(7)若P(1)＜0，則：x(4)=x(8)，y(4)=y(8)

①若P(1)＜0，P(2)＜0，該邊與橢圓無交點，兩交點均為線段（n點→n+1點）的外比分點。

三、程序設(shè)計的技術(shù)處理（2）多邊形某條邊的兩個頂點均在橢圓外，且方程組有兩組實數(shù)解。三、程序設(shè)計的技術(shù)處理當(dāng)P(1)＞

P(2)時：當(dāng)P(1)＜P(2)時：②若P(1)＞0，P(2)＞0，表示兩交點均為線段（n點→n+1點）的內(nèi)比分點，即該邊與橢圓有兩個交點，為：三、程序設(shè)計的技術(shù)處理4、計算三角形面積在累加面積時，三角形面積有正有負(fù)。由于是按逆時針方向取向，且三角形有一個頂點必為坐標(biāo)原點，則可以用兩個矢量叉乘求出三角形面積SA，即：若三角形以O(shè)點為公共頂點的兩邊（順序已定）表示的矢量叉乘方向垂直于橢圓面且朝上，亦即坐標(biāo)軸矢量X、Y叉乘的方向Z軸正方向，表達(dá)式為正值，表示加三角形面積。反之，表達(dá)式為負(fù)值，表示減三角形面積（參看舉例中三角形面積計算）。三、程序設(shè)計的技術(shù)處理橢圓扇形OFMD是需要計算的面積；若將D作為起點、F作為終點，求得的是橢圓扇形ODNF的面積。5、計算橢圓扇形面積NYCBXAFEODM三、程序設(shè)計的技術(shù)處理起始點為n點在橢圓內(nèi)，n+1點在橢圓外與橢圓的交點；或n點、n+1點均在橢圓外且與橢圓有兩交點的第二交點（x(6)，y(6)）。每當(dāng)遇到這兩種情況時，及時賦初始點。終止點為n點在橢圓外、n+1點在橢圓內(nèi)與橢圓的交點；或當(dāng)n點、n+1點均在橢圓外且與橢圓有兩交點的第1交點

（x(5)，y(5)）。每當(dāng)遇到這兩種情況時及時賦終止點。

由于本文采取得計算方法是逐點判定，橢圓扇形的起始

點（x(1)，y(1)）、終止點（x(9)，y(9)）在程序開始以及

每計算完一個橢圓扇形面積后均賦零值。三、程序設(shè)計的技術(shù)處理計算橢圓扇形面積的公式：三、程序設(shè)計的技術(shù)處理6、控制變量ks的選取若多邊形的所有頂點均在橢圓外，且每條邊與橢圓不相交，這表示要么多邊形包含橢圓，要么多邊形與橢圓不相交。為區(qū)分這兩種情況，設(shè)置控制變量ks。若坐標(biāo)原點與多邊形每條邊組成的三角形面積均為正，令ks

>0，表示多邊形包含橢圓。否則，ks<0，表示多邊形與橢圓不相交。四、舉例說明

在上圖中，凸多邊形的ABCD與橢圓的相交面積為：

S=S△OEF+S△OGC+S△OCH+S扇OFMG+S扇OHIE逆時針取點，采用逐點計算法，對于△OEF面積，E點在先，F(xiàn)點在后，矢量與矢量的叉乘方向指向坐標(biāo)軸矢量，叉乘的正向Z軸正方向，取正值。同樣，△

OGC、△

OCH的面積也為正值。

本方法規(guī)定橢圓扇形面積永遠(yuǎn)為正。A

YGBFE

D

HC

XOIM四、舉例說明（1）點A→點B，即點由橢圓外→橢圓外且與橢圓有兩交點

E、F。對于E點應(yīng)為計算橢圓扇形的終止點，因前面無

橢圓扇形的起始點，即x(1)=0，y(1)=0，將其值賦于

x(0)，y(0)；對于F點，此時有S=S△OEF；將F點值賦予

x(1)，y(1)。1、選擇A點為計算起點A

YGBFE

D

HC

XOIM四、舉例說明（2）點B→點C，即點橢圓外→橢圓內(nèi)，有一交點G。對于

G點應(yīng)為計算橢圓扇形的終止點，且x(1)，y(1)已賦值，此時應(yīng)有S=S△OEF+S扇OFMG；對于C點，此時：

S=S△OEF+S扇OFMG+S△OGC

A

YGBFE

D

HC

XOIM四、舉例說明（3）點C→點D，即點橢圓內(nèi)→橢圓外，有一交點H。對于H點，此時：

S=S△OEF+S扇OFMG+S△OGC+S△OCH；

將H點值賦于x(1)，y(1)。A

YGBFE

D

HC

XOIM四、舉例說明（4）點D→點A，即點橢圓外→橢圓外，有一交點I，看作無交點。由于逆時針走完一周，且起始亦即終點在橢圓外，需累加一個以x(0)，y(0)為終止點，即E點，x(1)，y(1)為初始點即H點的橢圓扇形OHIE的面積。因而最后有：

S=S△OEF+S扇OFMG+S△OGC+S△OCH+S扇OHIEA

YGBFE

D

HC

XOIM四、舉例說明選擇橢圓外的點B或點D，作為計算起點，計算過程相似，不再多述。A

YGBFE

D

HC

XOIM四、舉例說明2、選擇C點為計算起點（1）點C→點D，即點由橢圓內(nèi)→橢圓外，有一交點H。S=S△OCH，將H點值賦于x(1)，y(1)。A

YGBFE

D

HC