車線動力學(xué)(耦合振動3)

第五節(jié)半車━軌道空間耦合振動模型的有限單元解法車輛━軌道空間耦合振動求解，涉及到系統(tǒng)中眾多的：耦合關(guān)系非線性因素時變特性求解過程十分復(fù)雜，因而最有效的方法為有限單元法。一、模型特點及變量選擇半車━軌道的“垂向━橫向非線性空間耦合振動時變模型”Mc,Jc耦合特性：

輪軌垂向振動耦合：輪軌接觸力或彈簧輪軌橫向振動耦合：蠕滑力和輪緣力非線性特性(坐標(biāo)原點位于系統(tǒng)不受任何力時的質(zhì)心位置)：輪軌間垂向力或非線性赫茲接觸彈簧輪軌間非線性蠕滑力時變特性：半車模型在軌道移動，車輛每前進一步，振動方程均需重新組建。車輛自由度車體：沉浮(車體在曲線上受到的未被平衡離心力則以等效離心力和力矩施加于轉(zhuǎn)向架二系懸掛點上)轉(zhuǎn)向架構(gòu)架：橫移、沉浮、搖頭、側(cè)滾及點頭輪對：橫移、沉浮、搖頭、側(cè)滾車輛自由度共14個。軌道自由度鋼軌：8N(每一枕跨為一個單元，每一鋼軌節(jié)點有垂向位移、繞y軸的轉(zhuǎn)角、橫向位移、繞z軸的轉(zhuǎn)角4個未知變量，兩股鋼軌)軌枕：3N(沉浮、橫移、側(cè)滾)軌道自由度數(shù)：11N

輪軌間設(shè)置4個輪緣力未知變量。

(1)當(dāng)輪緣貼靠鋼軌時，輪緣力未知量列入方程，同時引入輪軌橫向位移協(xié)調(diào)條件；

(2)而當(dāng)輪軌不貼靠時，總剛中與輪緣力對應(yīng)的主元賦大值。振動模型中總的未知變量數(shù)為11N+18個。變量位置部件位置曲線外軌(4N)1～4N曲線內(nèi)軌(4N)4N+1～8N軌枕(3N)8N+1～11N第1輪對(4)11N+1～11N+4第2輪對(4)11N+5～11N+8構(gòu)架(5)11N+9～11N+13車體(1)11N+14輪緣力(4)11N+15～11N+18二、系統(tǒng)動能、勢能、虛功

及振動方程的組建１、振動系統(tǒng)的總動能(質(zhì)量矩陣)左右鋼軌軌枕輪對構(gòu)架車體２.振動系統(tǒng)的總應(yīng)變能(剛度矩陣與荷載列陣)

（未包含輪軌接觸彈簧的應(yīng)變能）外軌彎曲內(nèi)軌彎曲外軌扣件橫向剛度內(nèi)軌扣件橫向剛度外軌扣件垂向剛度內(nèi)軌扣件垂向剛度道床橫向剛度道床外側(cè)垂向彈簧剛度道床內(nèi)側(cè)垂向彈簧剛度一系懸掛橫向剛度一系懸掛縱向剛度曲線半徑的影響，進入荷載列陣一系懸掛垂向剛度二系懸掛搖頭角剛度二系懸掛側(cè)滾角剛度二系懸掛點頭角剛度二系懸掛垂向剛度二系懸掛橫向剛度３、振動系統(tǒng)中的阻尼力虛功(阻尼矩陣)外軌扣件橫向阻尼內(nèi)軌扣件橫向阻尼外軌扣件垂向阻尼內(nèi)軌扣件垂向阻尼道床橫向阻尼道床外側(cè)垂向阻尼道床內(nèi)側(cè)垂向阻尼一系懸掛垂向阻尼二系懸掛垂向阻尼二系懸掛搖頭阻尼二系懸掛側(cè)滾阻尼二系懸掛點頭阻尼二系懸掛橫向阻尼4、蠕滑力虛功(荷載列陣)縱向蠕滑力橫向蠕滑力自旋蠕滑力矩

5、輪緣力及輪緣摩擦力虛功(剛度矩陣)輪緣橫向力輪緣摩擦力6、曲線上未被平衡的離心力所作的虛功

(荷載列陣)輪對構(gòu)架車體7、輪軌接觸力虛功(剛度矩陣及荷載列陣)處理成彈簧的應(yīng)變能處理成力的虛功垂向力垂向力的水平分力8、重力所作的虛功(荷載列陣)三、振動方程的求解方法及過程振動系統(tǒng)的非線性振動方程組：不同時刻車輪處于軌道的不同位置，鋼軌不平順值也不相同，荷載列陣發(fā)生變化。荷載列陣中包含蠕滑力，隱含振動位移、速度。輪軌接觸力是波動的，輪軌接觸彈簧瞬時剛度依賴于接觸力。循環(huán)順序時間及車輪位置輪緣與鋼軌的貼靠判斷接觸力迭代蠕滑力飽和判斷及蠕滑力迭代

1、選擇積分方法根據(jù)方程組的強非線性和時變特性，選取無條件穩(wěn)定且無超調(diào)現(xiàn)象、對非線性方程有很強適應(yīng)性的Park積分方法，對微分方程進行求解。PARK方法的表達式：代入振動方程可得到：２、處理非線性因素振動系統(tǒng)中主要包含非線性接觸剛度和非線性蠕滑力兩種非線性因素。根據(jù)這兩種非線性因素不同的特點，采用不同的迭代方法進行處理。（1）用直接迭代法處理非線性蠕滑力因蠕滑力與蠕滑的關(guān)系曲線是凸曲線，蠕滑力的直接迭代過程是穩(wěn)定和收斂的。0對于每一次蠕滑力迭代，振動方程中的荷載列陣變?yōu)槌Ａ?。?）用牛頓迭代法處理非線性接觸力輪軌非線性接觸力與位移的關(guān)系曲線是凹曲線，直接迭代方法是發(fā)散的。因迭代中非線性剛度取為切線剛度，改善迭代收斂性的最簡化途徑是采用牛頓迭代法。３、啟步方法Park方法是線性多步法，不能自動啟步，需借助其它方法啟步。自動啟步的方法很多，可選取最常用的Wilson－θ法。啟步將輪軌接觸簡化為線性彈簧，可考慮非線性蠕滑力。使啟步運算比較簡便，避免對于非線性方程不收斂。振動方程組變?yōu)椋?、程序編制計算程序包含一個主程序和多個子程序

（1）鋼軌有限和無限單元剛度矩陣；

（2）鋼軌有限和無限單元質(zhì)量矩陣；

（3）鋼軌梁無限單元阻尼矩陣；（4）組集總質(zhì)量矩陣；（5）計算各車輪位置、車輪所在鋼軌單元形函數(shù)值、車輪下軌面不平順值；

（6）處理各部彈簧及相關(guān)的常數(shù)項；（7）處理各部阻尼及相關(guān)的常數(shù)項；（8）處理曲線上求被平衡的離心力、重力、輪軌間垂向力的水平分力、軌面不平順；（9）計算輪軌間的蠕滑力。（10）判斷輪緣與鋼軌的貼靠狀態(tài)，處理輪緣力及輪緣摩擦力；

（11）進行蠕滑力飽和判斷及修正；（12）用全主元高斯方法求解代數(shù)方程；（13）時間為0時計算各單元初始位置；（14）第一、二步Wilson－θ方法啟步；（15）從第三步開始用PARK方法處理振動方程。程序外層結(jié)構(gòu)框圖PARK方法程序框圖程序功能程序中線路曲線半徑、軌道垂向和橫向不平順可任意選擇，且內(nèi)外軌不平順可以不一樣。運算結(jié)果輸出為輪軌間蠕滑功、蠕滑力、輪軌垂向力、輪緣力，軌道振動的力、位移、速度和振動加速度。

5、計算方法的參數(shù)選擇正式進行計算之前，除對車輛、軌道系統(tǒng)中各有關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)要進行研究和選擇外，須對對程序計算結(jié)果進行校驗，并進行數(shù)值試驗，選擇與計算方法有關(guān)的合適的計算參數(shù)，如積分步長、收斂精度、模型長度等。（1）積分步長Park方法是無條件穩(wěn)定的，任意積分步長都能計算出結(jié)果。但步長增加時算法阻尼增大，步長太小耗費機時且增加舍入誤差，因此必須根據(jù)求解的頻率范圍選擇合適的步長。根據(jù)Park方法算法阻尼與積分步長的關(guān)系，對應(yīng)振幅誤差率小于2.5％的最高振型頻率為0.1/Δt（Hz），對應(yīng)振幅誤差率小于15％的最高振型頻率為0.15/Δt（Hz）。如積分步長取為0.001秒，則對應(yīng)100Hz振型的振幅誤差率為2.5％，對應(yīng)150Hz的振型的振幅誤率為15％。如要確保400Hz以內(nèi)的振幅誤差率小于2.5％，則積分步長應(yīng)小于0.00025秒。實際計算中，為節(jié)省機時，根據(jù)不平順的長度和列車速度進行時間步長數(shù)值試驗。步長從0.001秒開始反復(fù)折半，計算出2～3組結(jié)果，當(dāng)前后兩組結(jié)果的誤差在5～10％以內(nèi)時，認為步長是合適的。（2）迭代誤差限迭代誤差限依據(jù)節(jié)省機時且又滿足最終結(jié)果精度的原則而確定。在輪軌非線性接觸力的迭代過程中，首先控制廣義位移列陣（含位移、轉(zhuǎn)角）中各元素的精度，使位移增量列陣的2-范數(shù)小于10-8，即：相當(dāng)于位移、轉(zhuǎn)角的精度為10-6～10-7，力的精度為10-4～10-5。當(dāng)位移增量滿足精度時，判斷輪軌接觸力的精度，要求前后兩次接觸力值的相對誤差小于1％，而后輪軌接觸力按常力處理。蠕滑力迭代循環(huán)中，控制輪軌間縱向和橫向蠕滑力的精度，如前后兩次蠕滑力值的相對誤差小于1％。（3）軌道計算跨數(shù)選取如軌道計算段兩端采用無限單元，則基本上消除了模型的邊界效應(yīng)，軌道的截取長度只取決于不平順的長度和車輪駛出不平順后振動的