第七講：平面立體的投影及其截切

第五章平面立體平面立體的投影；平面立體的表面定點(diǎn)和取線。平面立體的截切2/1/202315.1平面立體的投影及面上取點(diǎn)、取線基本立體組合體底面為多邊形棱柱棱錐錐頂平行四邊形由一個(gè)底面和幾個(gè)棱面組成。由兩個(gè)底面和幾個(gè)棱面組成。2/1/20232平面立體的放置同一物體因其擺放位置的不同，可繪制出不同的投影圖。2/1/20233直棱柱的投影特性:

一個(gè)投影為多邊形，另外兩個(gè)投影輪廓線為矩形。繪制平面立體中所有輪廓線（棱線及邊）的投影,不可見(jiàn)的線用虛線表示。長(zhǎng)對(duì)正寬相等高平齊VHW——物體的投影規(guī)律每一個(gè)投影圖中，均包含立體的所有幾何元素。2/1/20234棱錐的投影特性:

一個(gè)投影為多邊形，另外兩個(gè)投影輪廓線為三角形。2/1/20235點(diǎn)的可見(jiàn)性規(guī)定：若點(diǎn)所在的平面的投影可見(jiàn)，點(diǎn)的投影也可見(jiàn)；若平面的投影積聚成直線，點(diǎn)的投影也可見(jiàn)。

由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取點(diǎn)、取線與在平面上取點(diǎn)、取線的方法相同。一、棱柱1、棱柱的三面投影圖的繪制2、棱柱面上取點(diǎn)、取線

aa

a

(b)b

b在圖示位置時(shí)，六棱柱的兩底面為水平面，在水平投影中反映實(shí)形。前后兩棱面是正平面，其余四個(gè)棱面是鉛垂面，它們的水平投影都積聚成直線，與六邊形的邊重合。2/1/20236(

)

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s二、棱錐1、棱錐的三面正投影圖的繪制2、在棱錐面上取點(diǎn)、取線

kk

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b

a

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a(c)bsn

n

n同樣采用平面上取點(diǎn)法。棱錐處于圖示位置時(shí)，其底面ABC是水平面，在水平投影上反映實(shí)形。側(cè)棱面SAC為側(cè)垂面，另兩個(gè)側(cè)棱面為一般位置平面。SABC2/1/202371、由點(diǎn)的已知投影及其可見(jiàn)性確定點(diǎn)所在位置;2、利用積聚性或平面上取點(diǎn)的方法求另一投影;3、根據(jù)兩已知投影求第三投影，并判斷可見(jiàn)性。棱柱或棱錐面上取點(diǎn)的步驟:2/1/20238三、棱臺(tái)特點(diǎn)：底面——多邊形，且對(duì)應(yīng)邊互相平行；棱線——互不平行，但延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)；棱面——梯形。2/1/20239四棱臺(tái)的投影如下圖示2/1/202310基本概念截切：是指用一個(gè)或多個(gè)平面與立體相交。截平面

——用以截切立體的平面。截交線

——截平面與立體表面的交線。截（斷）面——由截交線圍成的平面圖形。5.2平面立體的截切截平面截交線截面截交線截交線的性質(zhì)：截交線是由直線組成的封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平面與立體表面（棱面或底面）的交線，其邊數(shù)是截平面截到的表面的個(gè)數(shù)。其形狀取決于平面體的形狀及截平面對(duì)平面體的截切位置。2/1/2023111.單一平面截切平面立體,截交線在一個(gè)截平面內(nèi)；2.多個(gè)平面截切平面立體,截交線在多個(gè)截平面內(nèi)，這時(shí)相鄰截平面之間還有交線，應(yīng)準(zhǔn)確求出。一、平面截切的基本形式截交線的每條邊是截平面與立體表面的交線。求截交線的實(shí)質(zhì)是求兩平面的交線重點(diǎn)討論的問(wèn)題：截交線的分析和投影作圖

。2/1/202312確定截交線的形狀二、平面截切體的畫圖⒈

求截交線的方法：關(guān)鍵是正確地畫出截交線的投影。⒉求截交線的作圖步驟：☆截平面與立體的相對(duì)位置☆截平面與投影面的相對(duì)位置確定截交線的投影特性★空間及投影分析★畫出截交線的投影分別求出各棱線與截平面的交點(diǎn)，并連接成多邊形?；蚍謩e求出截平面與棱面的交線。★求各棱線與截平面的交點(diǎn)→棱線法?！锴蟾骼饷媾c截平面的交線→棱面法。2/1/202313例1:求四棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影。321(4)1●2●4●3●1●2●4●★空間分析交線的形狀？3●★投影分析★求截交線★分析棱線的投影★檢查尤其注意檢查截交線投影的類似性。截平面與體的幾個(gè)棱面相交？截交線水平、側(cè)面投影上的形狀？單一平面截切平面立體2/1/202314我們采用的是哪種解題方法？棱線法！例1：求四棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影。2/1/202315

注意：1、要逐個(gè)截平面分析和繪制截交線。2、當(dāng)平面體只有局部被截切時(shí)，先假想為整體被截切，求出截交線后再取局部。例2：求四棱錐被截切后的水平和側(cè)面投影。121(2)2●1●Ⅰ、Ⅱ兩點(diǎn)分別同時(shí)位于三個(gè)面上。三面共點(diǎn)：補(bǔ)畫棱線兩個(gè)平面截切平面立體2/1/202316例2：求四棱錐被截切后的水平和側(cè)面投影。我們采用的是哪種解題方法？棱面法！2/1/202317練習(xí)

求立體切割后的投影。23

541116654326ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ4（5）2（3）兩個(gè)平面截切平面立體2/1/202318類似形類似形ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ23

541166543262（3）4（5）練習(xí)

求立體切割后的投影。2/1/202319例3:求八棱柱被平面P截切后的水平投影。Pv截交線的形狀？ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ15432876截交線的投影特性？2≡3≡6≡71≡84≡5求截交線154763281、補(bǔ)畫棱柱未截切時(shí)的水平投影；2、求棱線與截平面的交點(diǎn)；3、判斷可見(jiàn)性，順序連接各點(diǎn)。分析棱線的投影檢查截交線的投影單一平面截切平面立體加深圖線。2/1/202320例3:求八棱柱被平面P截切后的水平投影。作圖步驟:1、畫出棱柱未截切時(shí)的投影；2、求棱線與截平面的交點(diǎn)；3、判斷可見(jiàn)性,順序連接各點(diǎn)；4、確定截切后各棱線的長(zhǎng)度；5、用投影的對(duì)應(yīng)關(guān)系檢查截交線的投影；6、加深圖線。2/1/202321多個(gè)平面截切平面立體空間分析

1、三個(gè)平面截切棱臺(tái)，分別為水平面和兩側(cè)平面。2、多個(gè)平面截切立體時(shí)，截平面之間在立體內(nèi)部產(chǎn)生交線。作圖1、先假想水平面將棱臺(tái)完全截開(kāi)，求得水平投影，再在其上確定真正截到的部分。(c")d"(b")a"2、補(bǔ)出側(cè)面投影，求出側(cè)面投影的截交線。3、補(bǔ)全并加深所有棱線。abdc例4：補(bǔ)全水平投影，作出側(cè)面投影。2/1/202322(c")d"(b")a"abdc多個(gè)平面截切平面立體空間分析

1、三個(gè)平面截切棱臺(tái)，分別為水平面和兩側(cè)平面。2、多個(gè)平面截切立體時(shí)，截平面之間在立體內(nèi)部產(chǎn)生交線。作圖1、先假想水平面將棱臺(tái)完全截開(kāi)，求得水平投影，再在其上確定真正截到的部分。2、補(bǔ)出側(cè)面投影，求出側(cè)面投影的截交線。3、補(bǔ)全并加深所有棱線。例4：補(bǔ)全水平投影，作出側(cè)面投影。2/1/202323

例:求立體截割后的投影。87

111"2"10"5"96

1（3）

2（4）

10

5ⅠⅪⅡⅨⅩⅣⅢ7"11"8"

4"3"6"9"三個(gè)截平面截切平面立體

1'（2'）8'3'（4'）

10'（5'）9'

11'（6'）（7'）2/1/202324例：求立體截割后的投影。2/1/202325平面立體的投影圖畫法及面上找點(diǎn)、取線的方法。（畫平面立體的投影圖就是畫平面立體中所有棱線的投影,不可見(jiàn)的棱線用虛線表示.平面立體表面找點(diǎn)，利用平面上找點(diǎn)的方法。）棱柱的投影特性、投影圖畫法及其面上取點(diǎn)、取線的方法；棱錐的投影特性、投影圖畫法及其面上取點(diǎn)、取線的方法。本講小結(jié):重點(diǎn)掌握以下內(nèi)容2/1/202326注意分析平面體的棱線的投影。⑵分析截平面與被截立體對(duì)投影面的相對(duì)位置，以確定截交線的投影特性。⒉求截交線求截交線的解題方法與步驟⒈空間及投影分析⑴分析截平面與被截立體的相對(duì)位置，以

確定截交線的形狀。注意:當(dāng)立體被多個(gè)截平面截切時(shí)，要逐個(gè)截平面進(jìn)行截交線的分析與作圖。當(dāng)只有局部被截切時(shí)，先按整體被截切求出截交線，然后再取局部。

最后分析、整理平面體的棱線的投影。截交線的有關(guān)概念、性質(zhì)等。（截交線是由直線組成的封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平面與棱面的交線，其邊數(shù)是截平面截到的棱面的個(gè)數(shù)。）求截交線的方法：棱線法、棱面法2/1/202327例5:求立體切割后的投影。431265ⅠⅥⅤⅣⅢⅡ114565234（6）（2）（3）單一平面截切平面立體2/1/202328例5:求立體切割后的投影。4312114565234（6）（2）（3）ⅠⅥⅤⅣⅢⅡ類似形類似形652/1/202329例: