第九章 數(shù)字信號(hào)處理的有限字長(zhǎng)效應(yīng)

第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)理工學(xué)院9.1引言9.1.1數(shù)字系統(tǒng)與有限字長(zhǎng)效應(yīng)

前面的內(nèi)容，都只是涉及信號(hào)在時(shí)間上是離散的這一特征，并沒(méi)有涉及數(shù)值上離散的特征。而對(duì)于真正的數(shù)字信號(hào)的處理，只需要在前面所討論的離散時(shí)間信號(hào)處理的原理和方法的基礎(chǔ)上，加入字長(zhǎng)效應(yīng)的影響。實(shí)際實(shí)現(xiàn)一個(gè)離散系統(tǒng)時(shí)，無(wú)論是軟件還是硬件方式，都是以數(shù)字形式實(shí)現(xiàn)的，都要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行量化處理（即用有限字長(zhǎng)來(lái)表示），量化后的數(shù)據(jù)是有限精度的。把一個(gè)離散系統(tǒng)的數(shù)據(jù)認(rèn)為事無(wú)限精度的系統(tǒng)稱作取樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)；若離散系統(tǒng)的數(shù)據(jù)是有限字長(zhǎng)，則此系統(tǒng)就是數(shù)字系統(tǒng)?！诰耪聰?shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——

對(duì)于一個(gè)數(shù)字系統(tǒng)，由于本應(yīng)為無(wú)限精度的數(shù)據(jù)變?yōu)橛邢拮珠L(zhǎng)來(lái)進(jìn)行處理，因此肯定會(huì)對(duì)系統(tǒng)的特性產(chǎn)生一定影響，這就是有限字長(zhǎng)效應(yīng)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題本來(lái)是數(shù)字信號(hào)處理中的一個(gè)重要問(wèn)題，但是，隨著計(jì)算機(jī)和微處理器技術(shù)的飛速發(fā)展，運(yùn)算速度和運(yùn)算精度都在不斷提高，使得有限字長(zhǎng)效應(yīng)的重要性已逐漸降低。不過(guò)，在數(shù)字信號(hào)處理的一些實(shí)際應(yīng)用中，這個(gè)問(wèn)題還是存在的，因此，有必要了解它的影響以及降低影響的一些方法?！诰耪聰?shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——9.1.2關(guān)于數(shù)的表示進(jìn)行數(shù)字信號(hào)處理時(shí)，數(shù)的表示有定點(diǎn)制和浮點(diǎn)制兩種。浮點(diǎn)制運(yùn)算比定點(diǎn)制運(yùn)算的動(dòng)態(tài)范圍大，處理精度高，但實(shí)現(xiàn)較復(fù)雜而且運(yùn)算速度較慢，因而常用于計(jì)算機(jī)上的軟件實(shí)現(xiàn)，進(jìn)行非實(shí)時(shí)處理。在實(shí)時(shí)處理中定點(diǎn)制運(yùn)算得到廣泛應(yīng)用，因?yàn)樗\(yùn)算速度較快而且硬件實(shí)現(xiàn)較經(jīng)濟(jì)，但是由于定點(diǎn)運(yùn)算的動(dòng)態(tài)范圍和處理精度受限制較大，因而有限字長(zhǎng)效應(yīng)問(wèn)題比較突出。本章主要討論定點(diǎn)制算法的有限字長(zhǎng)效應(yīng)?！诰耪聰?shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——定點(diǎn)表示法所謂定點(diǎn)表示法，是指在計(jì)算機(jī)中所有數(shù)的小數(shù)點(diǎn)的位置人為約定固定不變。這樣，小數(shù)點(diǎn)的位置就不必用記號(hào)“．”表示出來(lái)了。一般地說(shuō)，小數(shù)點(diǎn)可約定固定在任何數(shù)位之后，但常用下列兩種形式：

顯然，定點(diǎn)數(shù)表示法使計(jì)算機(jī)只能處理純整數(shù)或純小數(shù)，限制了計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)的范圍。為了使得計(jì)算機(jī)能夠處理任意數(shù)，我們事先要將參加運(yùn)算的數(shù)乘上一個(gè)"比例因子"，轉(zhuǎn)化成純小數(shù)或純整數(shù)后進(jìn)行運(yùn)算。運(yùn)算結(jié)果比例因子還原成實(shí)際數(shù)值。比例因子要取得合適，使參加運(yùn)算的數(shù)、運(yùn)算的中間結(jié)果以及最后結(jié)果都在該定點(diǎn)數(shù)所能表示的數(shù)值范圍之內(nèi)?！诰耪聰?shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——（2）浮點(diǎn)表示法

在浮點(diǎn)表示法中，小數(shù)點(diǎn)的位置是浮動(dòng)的。為了使小數(shù)點(diǎn)可以自由浮動(dòng)，浮點(diǎn)數(shù)由兩部分組成，即尾數(shù)部分與階數(shù)部分。其中，尾數(shù)部分表示該浮點(diǎn)數(shù)的全部有效數(shù)字，它是一個(gè)有符號(hào)位的純小數(shù)；階數(shù)部分指明了浮點(diǎn)數(shù)實(shí)際小數(shù)點(diǎn)的位置與尾數(shù)（定點(diǎn)純小數(shù)）約定的小數(shù)點(diǎn)位置之間的位移量P。該位移量P（階數(shù)）是一個(gè)有符號(hào)位的純小數(shù)。

當(dāng)階數(shù)當(dāng)為+P時(shí)，則表示小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)P位；當(dāng)階數(shù)為－P時(shí)，則表示小數(shù)點(diǎn)和左移動(dòng)P位。因此，浮點(diǎn)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)隨著P的符號(hào)和大小而自由浮動(dòng)。

從上述可知，一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)是由兩個(gè)定點(diǎn)數(shù)組合而成的。而一個(gè)定點(diǎn)也可以看成是浮點(diǎn)數(shù)的一個(gè)特例。即當(dāng)浮點(diǎn)數(shù)的階數(shù)部分為零時(shí)（表示訪數(shù)實(shí)際小數(shù)點(diǎn)的位置與定點(diǎn)小數(shù)約定位置一致），這樣，浮點(diǎn)數(shù)只剩下尾數(shù)部分了。同理，定點(diǎn)數(shù)表示法是浮點(diǎn)數(shù)表示法的基礎(chǔ)，而浮點(diǎn)數(shù)表示法是定點(diǎn)數(shù)表示法的應(yīng)用——第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——9.1.3量化誤差數(shù)的定點(diǎn)表示：設(shè)寄存器長(zhǎng)L+1位，則除了一位符號(hào)位外，可表示的最小數(shù)為q=2-L，這個(gè)值稱為量化間距。若要處理的數(shù)有M+1位（含符號(hào)位），且M>L，則這個(gè)數(shù)要存儲(chǔ)于寄存器中就必須被量化。有兩種量化方法：截尾和舍入。截尾就是將寄存器容納不下的低位數(shù)截?cái)?；舍入是在?shù)據(jù)的L+1位上加1，然后截?cái)酁長(zhǎng)位?？梢?jiàn)，在定點(diǎn)制中可表示的數(shù)的位數(shù)由寄存器的長(zhǎng)度決定。當(dāng)數(shù)x被量化時(shí)，就引入誤差e，有： (9.1)

其中Q[x]為x的量化值，即經(jīng)截尾或者舍入后的值。——第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——由圖9.1可知，定點(diǎn)制截尾處理的量化誤差et的范圍為：補(bǔ)碼：-q<et≤0

原碼、反碼：當(dāng)x>0時(shí)，-q<et≤0

當(dāng)x<0時(shí)，0≤et<q圖9.1定點(diǎn)制截尾處理的量化特性——第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——由圖9.2可知定點(diǎn)制舍入處理的量化誤差er的范圍為：

-q/2<er≤q/2圖9.2定點(diǎn)制舍入處理的量化特性——第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——9.2A/D變換的字長(zhǎng)效應(yīng)所謂A/D變換即由模擬到數(shù)字的變換，一般可分為兩步，即抽樣與量化編碼。抽樣數(shù)據(jù)信號(hào)x(n)=xa(nTs)的每個(gè)抽樣值的精度是無(wú)限的，經(jīng)過(guò)量化編碼之后，成為有限精度的數(shù)字信號(hào)。9.2.1量化效應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分析

A/D變換的結(jié)果一般都用定點(diǎn)制補(bǔ)碼來(lái)表示。量化方法無(wú)論采取截尾還是舍入，其誤差都可以表示為：e=Q[x]-x。因此，量化后的抽樣值可以表示為：

x^(n)=Q[x(n)]=x(n)+e(n)（9.2）返回——第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——圖9.3A/D變換的模型為了對(duì)此模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，要對(duì)量化誤差序列e(n)作如下假設(shè)：1)e(n)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)序列；2)e(n)與信號(hào)x(n)不相關(guān)；3)e(n)本身樣值間不相關(guān)，即為白噪聲過(guò)程；4)e(n)具有等概率密度分布（在一定的量化間距上）。我們將e(n)作為量化噪聲，它是白噪聲，量化后的信號(hào)可以等效為無(wú)限精度信號(hào)與一噪聲相疊加。量化噪聲的均值和方差：舍入時(shí)：均值補(bǔ)碼截尾時(shí)：均值

定義:白噪聲是指功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)均勻分布的噪聲——第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——圖9.4量化噪聲的概率密度函數(shù)而信號(hào)功率與噪聲功率之比即信噪比為：

用對(duì)數(shù)表示：

(9.4)因此，寄存器長(zhǎng)度每增加一位（L加上1），信噪比約提高6db?！诰耪聰?shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——9.2.2線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)量化噪聲的響應(yīng)當(dāng)已量化的信號(hào)通過(guò)一LTI系統(tǒng)H(z)時(shí)，由于實(shí)際的輸入信號(hào)如(9.2)式所示，故輸出信號(hào)為：(9.5)

其中y(n)是此線性系統(tǒng)對(duì)無(wú)限精度信號(hào)x(n)的響應(yīng)，f(n)是系統(tǒng)對(duì)量化噪聲e(n)的響應(yīng)，故f(n)為輸出噪聲。輸出噪聲的功率為：

(9.6)

這個(gè)積分可以用留數(shù)定理來(lái)計(jì)算，其中積分圍線C是在H(z)與H(z-1)的公共收斂域內(nèi)的一條圍繞原點(diǎn)的閉合曲線。如果H(z)是穩(wěn)定系統(tǒng)，則可選單位園為圍線C，將z=ejω

代入(9.6)式，可以得到：

(9.7)——第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——9.3乘積誤差的影響

在數(shù)字網(wǎng)絡(luò)中，典型的乘法運(yùn)算可以表示為：

y(n)=ax(n)

這里x(n)為數(shù)據(jù)值，a為乘法器系數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，每次相乘后要對(duì)乘積作舍入或截尾處理。圖9.5相乘運(yùn)算的統(tǒng)計(jì)模型——第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——相乘后的實(shí)際結(jié)果為：由9.1節(jié)，舍入誤差范圍為：

e(n)的統(tǒng)計(jì)特性可利用9.2節(jié)的假設(shè)，故其均值為0，方差為：——第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——9.3.1IIR濾波器的有限字長(zhǎng)效應(yīng)首先來(lái)分析一階IIR濾波器：

其中含有乘積項(xiàng)ay(n-1)。可以將與系數(shù)a相乘后乘積的舍入誤差所產(chǎn)生的影響等效為存在噪聲源e(n)，如圖9.6所示。ax(n)e(n)圖9.6一階IIR濾波器的統(tǒng)計(jì)模型——第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——濾波器實(shí)際的輸出為：根據(jù)9.2.2節(jié)，可以求出輸出噪聲f(n)的方差（功率）為：

這里σe2如式(9.10)所示。H(z)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，有：

(9.13)式中的 可用留數(shù)定理計(jì)算，被積函數(shù)為：——第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——選單位園為積分圍線C，故被積函數(shù)在C內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)，即z=a，于是有：

代入(9.13)式可得由于乘積的舍入而產(chǎn)生的誤差中，直接型最大，級(jí)聯(lián)型次之，并聯(lián)型最?。贿@是各種結(jié)構(gòu)中所有舍入誤差所通過(guò)網(wǎng)絡(luò)的反饋環(huán)節(jié)的積累不同的結(jié)果?！诰耪聰?shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——9.3.2FIR濾波器的有限字長(zhǎng)效應(yīng)一個(gè)N階FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：

其差分方程為：

FIR濾波器的橫截型結(jié)構(gòu)是對(duì)其差分方程和系統(tǒng)函數(shù)的直接實(shí)現(xiàn)，圖9.13中的em(n)(m=0,1,…,N-1)是每次相乘后所產(chǎn)生的舍入噪聲，所有這些噪聲都直接加在輸出端，因而總的輸出噪聲就是這些噪聲的簡(jiǎn)單求和?！诰耪聰?shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——圖9.13FIR濾波器的橫截型結(jié)構(gòu)以及其中的相乘誤差——第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——設(shè)y(n)是FIR濾波器在無(wú)限精度情況下的輸出，而y(n)是乘積為有限精度情況下的輸出，f(n)為輸出噪聲，于是有： （9.29）每一次相乘后產(chǎn)生一個(gè)舍入噪聲，故實(shí)際的輸出為

——第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——比較(9.29)式和(9.30)式，可得：(9.31)故輸出噪聲的方差（功率）為： (9.32)因此，字長(zhǎng)越短，濾波器階數(shù)越高，由乘積誤差所產(chǎn)生的輸出噪聲就越大。對(duì)于乘積在補(bǔ)碼截尾處理下所產(chǎn)生的誤差，除了輸出噪聲不再具有零均值之外，其分析和計(jì)算完全可以同樣進(jìn)行?！诰耪聰?shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——9.4系數(shù)的量化效應(yīng)在實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器時(shí)，系數(shù)的精度都要受到存儲(chǔ)器字長(zhǎng)的限制，系數(shù)的量化誤差必然使系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)位置發(fā)生偏差，也必然使頻率響應(yīng)發(fā)生偏差；在IIR濾波器的情況下，還可能使某些極點(diǎn)從單位圓內(nèi)移出，從而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。本節(jié)主要討論系數(shù)的量化誤差對(duì)IIR濾波器極點(diǎn)位置的影響?！诰耪聰?shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：如果IIR濾波器直接按此形式實(shí)現(xiàn)，則其結(jié)構(gòu)為直接型或正準(zhǔn)型。當(dāng)系數(shù)量化后，實(shí)際的系統(tǒng)函數(shù)為：——第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——其中表示量化后的系數(shù)：

(9.35)這里Δai、Δbi是系數(shù)的偏差值，它們將分別引起零點(diǎn)和極點(diǎn)位置的偏差?，F(xiàn)在分析極點(diǎn)的情況。

(9.36)——第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——其中zk(k=1,2,…N)是系數(shù)為無(wú)限精度時(shí)的極點(diǎn)，設(shè)位置偏離后的極點(diǎn)為zk+Δzk，Δzk為極點(diǎn)位置偏差量，它是由于系數(shù)偏差Δbi引起的。顯然有：

k=1,2,…,n(9.37)——第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——看出，越大，Δbi對(duì)Δzk的影響就越大，因此是極點(diǎn)zk的偏差對(duì)于系數(shù)bi變化的靈敏度。由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)可知： (9.39)而由(9.36)式可得：

以及——第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——故由(9.39)式有：

將上式分子分母同乘以(-zN)，再令z=zk

，得到：

(9.39)——第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——

(9.39)式的分母的一個(gè)因式表示zk

外的一個(gè)極點(diǎn)指向zk的矢量，因此，極點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，分布越密集，這些矢量的長(zhǎng)度就越小，分母也就越小，因而極點(diǎn)zk對(duì)系數(shù)變化的靈敏度也就越大。這就說(shuō)明了為什么高階IIR濾波器若用直接型(正準(zhǔn)型)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，則系數(shù)的量化誤差將使極點(diǎn)位置發(fā)生大的偏差。

——第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——而級(jí)聯(lián)型與并聯(lián)型的情況就不一樣，無(wú)論是級(jí)聯(lián)的一個(gè)子網(wǎng)絡(luò)還是并聯(lián)的一個(gè)支路，都只實(shí)現(xiàn)一對(duì)共軛極點(diǎn)或一個(gè)單極點(diǎn)，極點(diǎn)間的距離就不會(huì)很小，極點(diǎn)對(duì)系數(shù)變化的靈敏就不會(huì)高。而且無(wú)論是級(jí)聯(lián)型還是并聯(lián)型，極點(diǎn)都具有獨(dú)立性，系數(shù)的量化誤差只是使得本子網(wǎng)絡(luò)的極點(diǎn)位置發(fā)生小的變化。

——第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——因此級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型系數(shù)量化對(duì)極點(diǎn)位置的影響小。系數(shù)量化對(duì)零點(diǎn)位置的影響可以類似地進(jìn)行分析，但并聯(lián)型結(jié)構(gòu)的IIR濾波器的零點(diǎn)除外。——第九章數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)——