金融經(jīng)濟學(xué)之四(1)

金融經(jīng)濟學(xué)之四（1）：

均值-方差偏好下的投資組合選擇武漢大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院潘敏本章教學(xué)目的和要求1.了解和掌握投資組合理論中的均值—方差分析的假設(shè)條件及其與期望效用理論的兼容性；2.掌握投資組合收益與風(fēng)險度量的基本方法及其計算；3.掌握均值－方差模型描述的構(gòu)建最優(yōu)投資組合的技術(shù)路徑的規(guī)范數(shù)理模型；4.掌握兩基金分離定理的內(nèi)容及其經(jīng)濟學(xué)含義。教學(xué)重點1.均值—方差分析方法的合理性及其含義；

2.選擇最優(yōu)投資組合的數(shù)理方法及其中蘊涵的多元化投資、風(fēng)險、收益間關(guān)系；

3.掌握兩基金分離定理的內(nèi)容及其經(jīng)濟學(xué)含義。一、均值—方差分析的假設(shè)條件（一）問題的提出

1.前章對最優(yōu)投資組合的分析是建立在一般期望效用理論基礎(chǔ)之上的。在這種分析中，我們對經(jīng)濟主體的效用函數(shù)和資產(chǎn)的收益分布只做了一般性的規(guī)定。其結(jié)論的應(yīng)用范圍難以確定，也限制了期望效用理論在資產(chǎn)定價中的應(yīng)用。

2.Markowitz(1952)發(fā)展了一個在不確定條件下嚴格陳述的可操作的資產(chǎn)組合選擇理論：均值-方差方法Mean-Variancemethodology.

這一理論的問世，使金融學(xué)開始擺脫了純粹的描述性研究和單憑經(jīng)驗操作的狀態(tài)，標志著數(shù)量化方法進入金融領(lǐng)域。

馬科維茨的工作所開始的數(shù)量化分析和MM理論中的無套利均衡思想相結(jié)合，醞釀了一系列金融學(xué)理論的重大突破。正因為如此，馬科維茨獲得了1990年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。

馬科維茨投資組合選擇理論的基本思想為：投資組合是一個風(fēng)險與收益的trade-off問題，此外投資組合通過分散化的投資來對沖掉一部分風(fēng)險?！皀othingventured,nothinggained”——"foragivenlevelofreturntominimizetherisk,andforagivenlevelofrisktomaximizethereturn”——“Don’tputalleggsintoonebasket”3.馬科維茨均值-方差組合理論的基本內(nèi)容：在禁止融券和沒有無風(fēng)險借貸的假設(shè)下，以資產(chǎn)組合中個別資產(chǎn)收益率的均值和方差找出投資組合的有效前沿(EfficientFrontier)，即一定收益率水平下方差最小和一定方差水平下收益率最大的投資組合，并導(dǎo)出投資者只在有效組合前沿上選擇投資組合。欲使投資組合風(fēng)險最小，除了多樣化投資于不同的資產(chǎn)之外，還應(yīng)挑選相關(guān)系數(shù)較低的資產(chǎn)。4.均值-方差組合選擇的實現(xiàn)方法：

（1）收益——證券組合的期望報酬（2）風(fēng)險——證券組合的方差（3）風(fēng)險和收益的權(quán)衡——求解二次規(guī)劃首先，投資組合的兩個相關(guān)特征是：（1）它的期望回報率（均值）（2）可能的回報率圍繞其期望偏離程度的某種度量，其中方差作為一種度量在分析上是最易于處理的。

其次，理性的投資者將選擇并持有有效率投資組合，即那些在給定的風(fēng)險水平下的期望回報最大化的投資組合，以及那些在給定期望回報率水平上使風(fēng)險最小的投資組合。再次，通過對某種資產(chǎn)的期望回報率、回報率的方差和某一資產(chǎn)與其它資產(chǎn)之間回報率的相互關(guān)系（用協(xié)方差度量）這三類信息的適當分析，辨識出有效投資組合在理論上是可行的。

最后，通過求解二次規(guī)劃，可以算出有效投資組合的集合，計算結(jié)果指明各種資產(chǎn)在投資者的投資中所占份額，以便實現(xiàn)投資組合的有效性——即對給定的風(fēng)險使期望回報率最大化，或?qū)τ诮o定的期望回報使風(fēng)險最小化。5.馬科維茨均值-方差組合理論的假設(shè)條件：（1）單期投資單期投資是指投資者在期初投資，在期末獲得回報。單期模型是對現(xiàn)實的一種近似描述，如對零息債券、歐式期權(quán)等的投資。雖然許多問題不是單期模型，但作為一種簡化，對單期模型的分析成為我們對多期模型分析的基礎(chǔ)。（2）投資者事先知道資產(chǎn)收益率的概率分布，并且收益率滿足正態(tài)分布的條件。

（3）經(jīng)濟主體的效用函數(shù)是二次的，即。（4）經(jīng)濟主體以期望收益率（亦稱收益率均值）來衡量未來實際收益率的總體水平，以收益率的方差（或標準差）來衡量收益率的不確定性（風(fēng)險），因而經(jīng)濟主體在決策中只關(guān)心資產(chǎn)的期望收益率和方差。（5）經(jīng)濟主體都是非飽和的和厭惡風(fēng)險的，遵循占優(yōu)原則，即：在同一風(fēng)險水平下，選擇收益率較高的證券；在同一收益率水平下，選擇風(fēng)險較低的證券。

6.問題：為何在馬科維茨的均值-方差分析中需要對效用函數(shù)和資產(chǎn)收益率的分布作出限制？（二）均值-方差分析的局限性

M-V模型以資產(chǎn)回報的均值和方差作為選擇對象，但是一般而言，資產(chǎn)回報的均值和方差不能完全包含個體資產(chǎn)選擇時的所有個人期望效用函數(shù)信息。對于任意的效用函數(shù)和資產(chǎn)的收益分布，期望效用并不能僅僅用預(yù)期收益和方差這兩個元素來描述。

例1:

假設(shè)有兩個博彩L1和L2，其中：

L1=[0.75；10，100]，

L2=[0.99；22.727，1000]E（R1）=32.5E（R2）=32.5Var（R1）=1518.75Var（R2）=9455.11顯然，L2的風(fēng)險比L1大。

考慮一個效用函數(shù)為，顯然，該個體為風(fēng)險厭惡者，其在兩個博彩中的期望效用分別為：

Eu(R1)=4.872Eu(R2)=5.036

即該風(fēng)險厭惡者在預(yù)期收益相等的兩個博彩中，方差較大的博彩獲得的期望效用較高。

一般地，假設(shè)經(jīng)濟主體在未來的全部收益或財富是一個隨機變量，關(guān)于這個未來財富變量的效用函數(shù)可以通過泰勒展開式在經(jīng)濟行為主體對于這個隨機變量的預(yù)期值周圍展開。即

兩邊取期望值后得到：

顯然，對于具有嚴格凹的遞增效用函數(shù)的經(jīng)濟主體而言，其評價風(fēng)險資產(chǎn)的效用不能僅僅只考慮其期望收益率和方差，因為三階以上的中心矩E（R3）也影響其期望收益。

但是，如果財富的高階矩為0或者財富的高階矩可用財富的期望和方差來表示，則期望效用函數(shù)就僅僅是財富的期望和方差的函數(shù)。（三）均值—方差分析的基本假設(shè)

定理一：在經(jīng)濟主體的未來收益或財富為任意分布的情況下，如果經(jīng)濟主體的效用函數(shù)為二次效用函數(shù)那么，期望效用僅僅是財富的期望和方差的函數(shù)。證明：

定理二：在經(jīng)濟主體的偏好為任意偏好的情況下，如果資產(chǎn)收益的分布服從正態(tài)分布，則期望效用函數(shù)僅僅是財富的期望和方差的函數(shù)。在收益分布為正態(tài)分布的情況下，上述展開式中，三階以上的中心矩中，奇數(shù)項為零，偶數(shù)階的中心矩可寫成均值和方差的函數(shù)。（三）二次效用函數(shù)與收益正態(tài)分布假設(shè)的局限性

1.二次效用函數(shù)的局限性二次效用函數(shù)具有遞增的絕對風(fēng)險厭惡和滿足性兩個性質(zhì)。滿足性意味著在滿足點以上，財富的增加使效用減少，遞增的絕對風(fēng)險厭惡意味著風(fēng)險資產(chǎn)是劣質(zhì)品。這與那些偏好更多的財富和將風(fēng)險視為正常商品的投資者不符。所以在二次效用函數(shù)中，我們需要對參數(shù)b的取值范圍加以限制。

2.收益正態(tài)分布的局限性（1）資產(chǎn)收益的正態(tài)分布假設(shè)與現(xiàn)實中資產(chǎn)收益往往偏向正值相矛盾。收益的正態(tài)分布意味著資產(chǎn)收益率可取負值，但這與有限責(zé)任的經(jīng)濟原則相悖（如股票的價格不能為負）。（2）對于密度函數(shù)的分布而言，均值-方差分析沒有考慮其偏斜度。概率論中用三階矩表示偏斜度，它描述分布的對稱性和相對于均值而言隨機變量落在其左或其右的大致趨勢。顯然，正態(tài)分布下的均值-方差分析不能做到這一點。

（3）用均值-方差無法刻畫函數(shù)分布中的峭度。概率論中用四階矩表示峭度。但這一點在正態(tài)分布中不能表達。實際的經(jīng)驗統(tǒng)計表明，資產(chǎn)回報往往具有“尖峰”“胖尾”的特征。這顯然不符合正態(tài)分布。

盡管均值-方差分析存在缺陷，且只有在嚴格的假設(shè)條件下才能夠與期望效用函數(shù)的分析兼容，但由于其分析上的靈活性，相對便利的實證檢驗以及簡潔的預(yù)測功能，使其成為廣泛運用的金融和財務(wù)分析手段。二、資產(chǎn)組合收益與風(fēng)險的度量及分散化效應(yīng)（一）先行案例

A公司的股票價值對糖的價格很敏感。多年以來，當當?shù)靥堑漠a(chǎn)量下降時，糖的價格便猛漲，而A公司便會遭受巨大的損失。該公司股票收益率在不同狀況下的情況如下：糖生產(chǎn)的正常年份異常年份股市的牛市股市的熊市糖的生產(chǎn)危機概率0.50.30.2收益率%2510-25

假定某投資者考慮下列幾種可供選擇的資產(chǎn)，一種是持有A公司的股票，一種是購買無風(fēng)險資產(chǎn)，還有一種是持有糖業(yè)公司B的股票?，F(xiàn)已知投資者持有50%A公司的股票，另外的50%在無風(fēng)險資產(chǎn)和持有糖業(yè)公司股票之間進行選擇。無風(fēng)險資產(chǎn)的收益率為5%。糖業(yè)公司B的股票收益率變化如下：糖生產(chǎn)的正常年份異常年份股市的牛市股市的熊市糖的生產(chǎn)危機概率0.50.30.2收益率%1-535

投資者不同投資策略下期望收益與標準差：

資產(chǎn)組合預(yù)期收益率%標準差(%)全部投資在于A公司股票10.518.90A公司股票和無風(fēng)險資產(chǎn)各投資50%7.79.45A公司和B公司股票各投資50%8.254.83（二）資產(chǎn)的期望收益（均值）（1）單一資產(chǎn)的期望收益在任何情況下，資產(chǎn)的均值或期望收益是其收益的概率加權(quán)平均值。Pr(s)表示s狀態(tài)下的概率，r(s)為該狀態(tài)下的收益率，則期望收益E(r)為

在上例中，我們可以算出投資于A公司股票的期望收益率為10.5%。2.資產(chǎn)組合的期望收益（均值）

資產(chǎn)組合的期望收益是構(gòu)成組合的每一資產(chǎn)收益率的加權(quán)平均，以構(gòu)成比例為權(quán)重.每一資產(chǎn)對組合的預(yù)期收益率的貢獻依賴于它的預(yù)期收益率，以及它在組合初始價值中所占份額，而與其他一切無關(guān)。上例中第一種投資組合的收益率為7.75%，第二種投資組合的收益率為8.25%.

假定市場上有資產(chǎn)1，2，，N。資產(chǎn)i的期望收益率為，方差為i，資產(chǎn)i與資產(chǎn)j的協(xié)方差為ij（或相關(guān)系數(shù)為ij）（i=1，2，，n，j=1，2，，m）投資者的投資組合為：投資于資產(chǎn)i的比例為，i=1，2，，N，則資產(chǎn)組合的期望收益為

（三）資產(chǎn)的方差1.單一資產(chǎn)的方差

資產(chǎn)收益的方差是期望收益偏差的平方的期望值：在上例中，A公司股票收益的方差為357.25，標準差為18.9%。B公司股票收益率的標準差為14.75%.2.資產(chǎn)組合的方差（1）兩資產(chǎn)組合收益率的方差方差分別為與的兩個資產(chǎn)以W1與W2的權(quán)重構(gòu)成一個資產(chǎn)組合的方差為，如果一個無風(fēng)險資產(chǎn)與一個風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成組合，則該組合的標準差等于風(fēng)險資產(chǎn)的標準差乘以該組合投資于這部分風(fēng)險資產(chǎn)的比例。

在上例中投資組合1的標準差為9.45%，投資組合2的方差為23.3%，標準差為4.83%。（2）多資產(chǎn)組合的方差

（四）資產(chǎn)的協(xié)方差

協(xié)方差是兩個隨機變量相互關(guān)系的一種統(tǒng)計測度，即它測度兩個隨機變量，如資產(chǎn)A和B的收益率之間的互動性。（五）相關(guān)系數(shù)

與協(xié)方差密切相關(guān)的另一個統(tǒng)計測量度是相關(guān)系數(shù)。事實上，兩個隨機變量間的協(xié)方差等于這兩個隨機變量之間的相關(guān)系數(shù)乘以它們各自的標準差的積。

資產(chǎn)A和資產(chǎn)B相關(guān)系數(shù)為

測量兩種股票收益共同變動的趨勢: -1.0+1.0

完全正相關(guān):+1.0

完全負相關(guān):-1.0

在-1.0和+1.0之間的相關(guān)性可減少風(fēng)險但不是全部

在上例中，投資組合2中兩公司股票收益的協(xié)方差為

-240.5，其相關(guān)系數(shù)為-0.86。

（六）多個資產(chǎn)的方差-協(xié)方差矩陣（七）資產(chǎn)組合的風(fēng)險分散效應(yīng)資產(chǎn)組合的方差不僅取決于單個資產(chǎn)的方差，而且還取決于各種資產(chǎn)間的協(xié)方差。隨著組合中資產(chǎn)數(shù)目的增加，在決定組合方差時，協(xié)方差的作用越來越大，而方差的作用越來越小。例如，在一個由30種證券組成的組合中，有30個方差和870個協(xié)方差。若一個組合進一步擴大到包括所有的證券，則協(xié)方差幾乎就成了組合標準差的決定性因素。

風(fēng)險的分散化原理被認為是現(xiàn)代金融學(xué)中唯一“白吃的午餐”。將多項有風(fēng)險資產(chǎn)組合到一起，可以對沖掉部分風(fēng)險而不降低平均的預(yù)期收益率。

假定資產(chǎn)1在組合中的比重是w，則資產(chǎn)2的比重就是1-w。它們的預(yù)期收益率和收益率的方差分別記為E(r1)和E(r2)，21和22，組合的預(yù)期收益率和收益率的方差則記為E(r)和2。那么，因為-1≤≤+1，所以有[w1-(1-w)2]2≤2≤[w1+(1-w)2