第四章(均衡凈保費(fèi))

第四章均衡凈保費(fèi)一均衡凈保費(fèi)產(chǎn)生的原因壽險(xiǎn)中自然保費(fèi)是根據(jù)被保人的出險(xiǎn)概率和保額計(jì)算保費(fèi)，保費(fèi)會隨著被保人的年齡增大而提高，使人們年老時(shí)因繳不起昂貴的保費(fèi)而退保，失去保險(xiǎn)保障。為克服自然保費(fèi)的這種不足，人們提出采用均衡凈保費(fèi)繳費(fèi)方式：把自然保費(fèi)在長期內(nèi)均衡化、平均化，在保費(fèi)交付期內(nèi)，每隔一定時(shí)期交付相等數(shù)額的保險(xiǎn)費(fèi)。例1(x)購買了一份保險(xiǎn)，已知簡略未來生命時(shí)間長度的分布如下：保額為常數(shù)1，在被保人死亡年度末支付。假設(shè)保險(xiǎn)的年度保費(fèi)為P，在被保人或者的情況下每年年初支付。確定保費(fèi)P。（1）虧損概率小于20%；（百分位保費(fèi)）（2）等價(jià)原則；（3）指數(shù)保費(fèi)原則。二均衡凈保費(fèi)與躉繳凈保費(fèi)的關(guān)系（一）均衡凈保費(fèi)厘定原則——平衡原則：保險(xiǎn)人的潛在虧損(保險(xiǎn)人的損失)均值為零。=給付金現(xiàn)值-純保費(fèi)現(xiàn)值E（）=0E（給付金現(xiàn)值）=E（純保費(fèi)現(xiàn)值）均衡凈保費(fèi)與躉繳凈保費(fèi)的關(guān)系E（躉繳凈保費(fèi)現(xiàn)值）=E（均衡凈保費(fèi)現(xiàn)值）均衡凈保費(fèi)與躉繳凈保費(fèi)的關(guān)系（二）躉繳凈保費(fèi)是滿足未來給付的保費(fèi)，它理論上應(yīng)該等于均衡凈保費(fèi)的現(xiàn)值，均衡凈保費(fèi)的繳付是以被保人存活為條件的，它實(shí)際上是一個(gè)生存年金。設(shè)躉繳凈保費(fèi)為A,每期繳均衡凈保費(fèi)為P,每次一單位生存年金現(xiàn)值為，則有。三均衡凈保費(fèi)的種類完全離散均衡凈保費(fèi)死亡年末給付（離散）離散繳費(fèi)完全連續(xù)均衡凈保費(fèi)死亡即刻給付（連續(xù)）連續(xù)繳費(fèi)半連續(xù)均衡凈保費(fèi)死亡即刻給付（連續(xù)）離散繳費(fèi)本章介紹各種模型下的均衡凈保費(fèi)的計(jì)算公式。各種模型下的均衡凈保費(fèi)計(jì)算公式之間的關(guān)系。損失方差的計(jì)算：用于評估實(shí)際損失偏離收付平衡（E()=0）的程度?！?.1完全連續(xù)保費(fèi)

1終身人壽保險(xiǎn)條件：（x）死亡即刻給付1單位的終身人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從保單生效起按年連續(xù)交付保費(fèi)。（給付連續(xù)，繳費(fèi)也連續(xù)）厘定過程：

終身人壽保險(xiǎn)厘定過程：

2限期h年繳費(fèi)的終生壽險(xiǎn)假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的h年限期繳費(fèi)的完全連續(xù)型終生壽險(xiǎn)。3定期壽險(xiǎn)假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的n年定期壽險(xiǎn)。（年繳保費(fèi)次數(shù)與保險(xiǎn)期限相同）4n年生存保險(xiǎn)假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的n年生存保險(xiǎn)。5兩全保險(xiǎn)假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的n年普通兩全保險(xiǎn)。（年繳保費(fèi)次數(shù)與保險(xiǎn)期限相同）

兩全保險(xiǎn)厘定過程：

6h年限繳的n年兩全保險(xiǎn)假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的h年限繳的n年兩全保險(xiǎn)。7h年延期的終身生命年金假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的h年遞期終身命年金常見險(xiǎn)種的完全連續(xù)均衡凈保費(fèi)總結(jié)險(xiǎn)種保費(fèi)公式終身人壽保險(xiǎn)n年定期壽險(xiǎn)n年生存保險(xiǎn)n年兩全保險(xiǎn)h年支付終身壽險(xiǎn)h年支付n年兩全保險(xiǎn)n年延期終身生命年金例4.1已知利息力為0.06，死亡力為0.04，求注意當(dāng)為常值時(shí)，§4.2完全離散保費(fèi)1普通終身壽險(xiǎn)條件：（x）死亡年末給付1單位終身人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從保單生效起按年期初繳費(fèi)。厘定過程：2限期h年繳費(fèi)的終生壽險(xiǎn)假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的h年限期繳費(fèi)的終生壽險(xiǎn)。3定期壽險(xiǎn)假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的n年定期壽險(xiǎn)。（年繳保費(fèi)次數(shù)與保險(xiǎn)期限相同）4n年生存保險(xiǎn)假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的n年生存保險(xiǎn)。5兩全保險(xiǎn)假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的n年普通兩全保險(xiǎn)。（年繳保費(fèi)次數(shù)與保險(xiǎn)期限相同）

完全離散兩全保險(xiǎn)厘定過程：6h年限繳的n年兩全保險(xiǎn)假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的h年限繳的n年兩全保險(xiǎn)。7h年遞延終身生存保險(xiǎn)假設(shè)（x）投保保額為1個(gè)單位的h年遞延終身生存保險(xiǎn)常見險(xiǎn)種的完全離散均衡凈保費(fèi)總結(jié)險(xiǎn)種保費(fèi)公式終身人壽保險(xiǎn)n年定期壽險(xiǎn)n年生存保險(xiǎn)n年兩全保險(xiǎn)h年繳費(fèi)終身人壽保險(xiǎn)h年繳費(fèi)n年兩全保險(xiǎn)m年遞延終身生存保險(xiǎn)典型關(guān)系：例4.2設(shè)一個(gè)0歲生命的整值剩余壽命服從概率函數(shù)為在其死亡年末賠付1單位的保單，每年年初繳付保費(fèi)P。當(dāng)保費(fèi)按平衡原理決定時(shí)，計(jì)算保險(xiǎn)人虧損現(xiàn)值的期望值與方差（i=6%）。例4.2答案例3.3假設(shè)終身壽險(xiǎn)保單于30歲簽單，保險(xiǎn)金額為20000元，試求：（1）普通終身壽險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)；（2）20年限期繳費(fèi)終身壽險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)；（3）65歲繳清終身壽險(xiǎn)的年繳凈保費(fèi)；例4.3設(shè)年齡為25歲的人，購買15年定期壽險(xiǎn)，保額為1000元，試求其自然凈保費(fèi)和均衡凈保費(fèi)。例4.4設(shè)年齡為25歲的人，購買20年限繳的30年儲蓄壽險(xiǎn)，保額為1000元，試求其均衡凈保費(fèi)。例4.5試證：都是在（x）生存的前提下最多支付n年的年繳保費(fèi)，在n年期間兩保險(xiǎn)提供的保障一樣:在（x）死亡年度末支付1.若（x）生存至x+n年，對應(yīng)的保險(xiǎn)是給被保人在n時(shí)支付生存年金1，而則留給被保人一份單位保額的(x+n)的終身壽險(xiǎn)，且被保人無須再繳費(fèi)。在x+n年往后二者待遇差相當(dāng)于一份單位的n年期生存保險(xiǎn)，由n年繳費(fèi)，年繳對應(yīng)。半連續(xù)均衡純保費(fèi)厘定

（終身壽險(xiǎn)為例）條件（x）死亡即刻給付1單位賠償金，而被保險(xiǎn)人從保單生效起按年期初繳費(fèi)。厘定過程：常見險(xiǎn)種的半連續(xù)均衡凈保費(fèi)保費(fèi)總結(jié)險(xiǎn)種保費(fèi)公式終身人壽保險(xiǎn)n年定期壽險(xiǎn)n年兩全保險(xiǎn)h年繳費(fèi)終身人壽保險(xiǎn)h年繳費(fèi)n年兩全保險(xiǎn)n年生存保險(xiǎn)m年遞延終身生存保險(xiǎn)例4.6根據(jù)附錄示例生命表及利率6%計(jì)算例4.6答案例4.7(25)購買保額為1000元的半連續(xù)式壽險(xiǎn)保單，年利率6%在udd假設(shè)下計(jì)算下列各保單的年繳凈保費(fèi)。1普通終身壽險(xiǎn)；235年定期壽險(xiǎn)；335年儲蓄壽險(xiǎn)；435年限期繳費(fèi)終身壽險(xiǎn)?！?.3每年繳納數(shù)次的凈保費(fèi)厘定一：真實(shí)分繳保費(fèi)：年繳m次，死亡保額不作調(diào)整時(shí)的保費(fèi)。計(jì)算年繳m次，每1/m年初繳納等額的等額年度凈保費(fèi)。m一般為2,4或12。每年繳納數(shù)次的真實(shí)分繳凈保費(fèi)厘定條件：在每一保單年度內(nèi)，保費(fèi)分m次繳納。厘定過程：（終身壽險(xiǎn)為例）離散型真實(shí)分繳凈保費(fèi)公式總結(jié)險(xiǎn)種保費(fèi)公式終身人壽保險(xiǎn)n年定期壽險(xiǎn)n年生存保險(xiǎn)n年兩全保險(xiǎn)h年繳費(fèi)終身人壽保險(xiǎn)h年繳費(fèi)n年兩全保險(xiǎn)連續(xù)型真實(shí)分繳凈保費(fèi)公式總結(jié)險(xiǎn)種保費(fèi)公式終身人壽保險(xiǎn)n年定期壽險(xiǎn)

h年限繳n年生存保險(xiǎn)n年兩全保險(xiǎn)h年繳費(fèi)終身人壽保險(xiǎn)h年繳費(fèi)n年兩全保險(xiǎn)其中例4.7對于（50）的人死亡年末給付1萬元的20年期兩全保險(xiǎn)。計(jì)算按半年分期繳費(fèi)的凈均衡年保費(fèi)，年利率6%。決定相應(yīng)的死亡即刻給付的凈均衡年保費(fèi)。例4.7答案例4.7答案例4.8（40）的人簽發(fā)保額為5000元的全離散式25年的定期壽險(xiǎn)保單，試?yán)脫Q算函數(shù)表在UDD假設(shè)下計(jì)算（1）普通年繳凈保費(fèi)（2）季繳凈保費(fèi)（3）月繳凈保費(fèi)。例4.9（20）的人簽發(fā)保額為50000元的壽險(xiǎn)保單，試?yán)脫Q算函數(shù)表在UDD假設(shè)下計(jì)算下列保單的月繳凈保費(fèi)（1）普通年繳凈保費(fèi)（2）季繳凈保費(fèi)（3）。二比例保費(fèi)在六討論的分期繳付的年繳保費(fèi)中，被保人死亡收益金額不作調(diào)整，本節(jié)討論據(jù)被保人死亡時(shí)間與下次預(yù)定繳費(fèi)時(shí)間間隔長短退還部分保費(fèi)。在實(shí)際中按比例退還，不計(jì)利息。本節(jié)考慮利息，把年繳m次保費(fèi)序列看作比例期初生存年金。以h年繳費(fèi)n年定期兩全保險(xiǎn)為例例4.10年齡50歲者購買保額為10000元的20年普通儲蓄壽險(xiǎn)的比例保單，每年真實(shí)繳付保費(fèi)兩次。在UDD假設(shè)下求年均衡凈保費(fèi)增加多少？累計(jì)增額收益在保險(xiǎn)實(shí)踐中，有些保單規(guī)定被保人死亡時(shí)退還已繳凈保費(fèi)的累積，這種退還有兩種不同的規(guī)定：不計(jì)息退還過去的已繳凈保費(fèi)的累積和以規(guī)定的利息退還過去的已繳凈保費(fèi)的累積部分。例4.11(x)的n年定期壽險(xiǎn)，若被保人在保險(xiǎn)期內(nèi)死亡，除了賠付10000元外，還退還過去的已繳凈保費(fèi)的累積