第四章(均衡凈保費)

第四章均衡凈保費一均衡凈保費產(chǎn)生的原因壽險中自然保費是根據(jù)被保人的出險概率和保額計算保費，保費會隨著被保人的年齡增大而提高，使人們年老時因繳不起昂貴的保費而退保，失去保險保障。為克服自然保費的這種不足，人們提出采用均衡凈保費繳費方式：把自然保費在長期內(nèi)均衡化、平均化，在保費交付期內(nèi)，每隔一定時期交付相等數(shù)額的保險費。例1(x)購買了一份保險，已知簡略未來生命時間長度的分布如下：保額為常數(shù)1，在被保人死亡年度末支付。假設(shè)保險的年度保費為P，在被保人或者的情況下每年年初支付。確定保費P。（1）虧損概率小于20%；（百分位保費）（2）等價原則；（3）指數(shù)保費原則。二均衡凈保費與躉繳凈保費的關(guān)系（一）均衡凈保費厘定原則——平衡原則：保險人的潛在虧損(保險人的損失)均值為零。=給付金現(xiàn)值-純保費現(xiàn)值E（）=0E（給付金現(xiàn)值）=E（純保費現(xiàn)值）均衡凈保費與躉繳凈保費的關(guān)系E（躉繳凈保費現(xiàn)值）=E（均衡凈保費現(xiàn)值）均衡凈保費與躉繳凈保費的關(guān)系（二）躉繳凈保費是滿足未來給付的保費，它理論上應(yīng)該等于均衡凈保費的現(xiàn)值，均衡凈保費的繳付是以被保人存活為條件的，它實際上是一個生存年金。設(shè)躉繳凈保費為A,每期繳均衡凈保費為P,每次一單位生存年金現(xiàn)值為，則有。三均衡凈保費的種類完全離散均衡凈保費死亡年末給付（離散）離散繳費完全連續(xù)均衡凈保費死亡即刻給付（連續(xù)）連續(xù)繳費半連續(xù)均衡凈保費死亡即刻給付（連續(xù)）離散繳費本章介紹各種模型下的均衡凈保費的計算公式。各種模型下的均衡凈保費計算公式之間的關(guān)系。損失方差的計算：用于評估實際損失偏離收付平衡（E()=0）的程度。§4.1完全連續(xù)保費

1終身人壽保險條件：（x）死亡即刻給付1單位的終身人壽保險，被保險人從保單生效起按年連續(xù)交付保費。（給付連續(xù)，繳費也連續(xù)）厘定過程：

終身人壽保險厘定過程：

2限期h年繳費的終生壽險假設(shè)（x）投保保額為1個單位的h年限期繳費的完全連續(xù)型終生壽險。3定期壽險假設(shè)（x）投保保額為1個單位的n年定期壽險。（年繳保費次數(shù)與保險期限相同）4n年生存保險假設(shè)（x）投保保額為1個單位的n年生存保險。5兩全保險假設(shè)（x）投保保額為1個單位的n年普通兩全保險。（年繳保費次數(shù)與保險期限相同）

兩全保險厘定過程：

6h年限繳的n年兩全保險假設(shè)（x）投保保額為1個單位的h年限繳的n年兩全保險。7h年延期的終身生命年金假設(shè)（x）投保保額為1個單位的h年遞期終身命年金常見險種的完全連續(xù)均衡凈保費總結(jié)險種保費公式終身人壽保險n年定期壽險n年生存保險n年兩全保險h年支付終身壽險h年支付n年兩全保險n年延期終身生命年金例4.1已知利息力為0.06，死亡力為0.04，求注意當(dāng)為常值時，§4.2完全離散保費1普通終身壽險條件：（x）死亡年末給付1單位終身人壽保險，被保險人從保單生效起按年期初繳費。厘定過程：2限期h年繳費的終生壽險假設(shè)（x）投保保額為1個單位的h年限期繳費的終生壽險。3定期壽險假設(shè)（x）投保保額為1個單位的n年定期壽險。（年繳保費次數(shù)與保險期限相同）4n年生存保險假設(shè)（x）投保保額為1個單位的n年生存保險。5兩全保險假設(shè)（x）投保保額為1個單位的n年普通兩全保險。（年繳保費次數(shù)與保險期限相同）

完全離散兩全保險厘定過程：6h年限繳的n年兩全保險假設(shè)（x）投保保額為1個單位的h年限繳的n年兩全保險。7h年遞延終身生存保險假設(shè)（x）投保保額為1個單位的h年遞延終身生存保險常見險種的完全離散均衡凈保費總結(jié)險種保費公式終身人壽保險n年定期壽險n年生存保險n年兩全保險h年繳費終身人壽保險h年繳費n年兩全保險m年遞延終身生存保險典型關(guān)系：例4.2設(shè)一個0歲生命的整值剩余壽命服從概率函數(shù)為在其死亡年末賠付1單位的保單，每年年初繳付保費P。當(dāng)保費按平衡原理決定時，計算保險人虧損現(xiàn)值的期望值與方差（i=6%）。例4.2答案例3.3假設(shè)終身壽險保單于30歲簽單，保險金額為20000元，試求：（1）普通終身壽險的年繳凈保費；（2）20年限期繳費終身壽險的年繳凈保費；（3）65歲繳清終身壽險的年繳凈保費；例4.3設(shè)年齡為25歲的人，購買15年定期壽險，保額為1000元，試求其自然凈保費和均衡凈保費。例4.4設(shè)年齡為25歲的人，購買20年限繳的30年儲蓄壽險，保額為1000元，試求其均衡凈保費。例4.5試證：都是在（x）生存的前提下最多支付n年的年繳保費，在n年期間兩保險提供的保障一樣:在（x）死亡年度末支付1.若（x）生存至x+n年，對應(yīng)的保險是給被保人在n時支付生存年金1，而則留給被保人一份單位保額的(x+n)的終身壽險，且被保人無須再繳費。在x+n年往后二者待遇差相當(dāng)于一份單位的n年期生存保險，由n年繳費，年繳對應(yīng)。半連續(xù)均衡純保費厘定

（終身壽險為例）條件（x）死亡即刻給付1單位賠償金，而被保險人從保單生效起按年期初繳費。厘定過程：常見險種的半連續(xù)均衡凈保費保費總結(jié)險種保費公式終身人壽保險n年定期壽險n年兩全保險h年繳費終身人壽保險h年繳費n年兩全保險n年生存保險m年遞延終身生存保險例4.6根據(jù)附錄示例生命表及利率6%計算例4.6答案例4.7(25)購買保額為1000元的半連續(xù)式壽險保單，年利率6%在udd假設(shè)下計算下列各保單的年繳凈保費。1普通終身壽險；235年定期壽險；335年儲蓄壽險；435年限期繳費終身壽險。§4.3每年繳納數(shù)次的凈保費厘定一：真實分繳保費：年繳m次，死亡保額不作調(diào)整時的保費。計算年繳m次，每1/m年初繳納等額的等額年度凈保費。m一般為2,4或12。每年繳納數(shù)次的真實分繳凈保費厘定條件：在每一保單年度內(nèi)，保費分m次繳納。厘定過程：（終身壽險為例）離散型真實分繳凈保費公式總結(jié)險種保費公式終身人壽保險n年定期壽險n年生存保險n年兩全保險h年繳費終身人壽保險h年繳費n年兩全保險連續(xù)型真實分繳凈保費公式總結(jié)險種保費公式終身人壽保險n年定期壽險

h年限繳n年生存保險n年兩全保險h年繳費終身人壽保險h年繳費n年兩全保險其中例4.7對于（50）的人死亡年末給付1萬元的20年期兩全保險。計算按半年分期繳費的凈均衡年保費，年利率6%。決定相應(yīng)的死亡即刻給付的凈均衡年保費。例4.7答案例4.7答案例4.8（40）的人簽發(fā)保額為5000元的全離散式25年的定期壽險保單，試?yán)脫Q算函數(shù)表在UDD假設(shè)下計算（1）普通年繳凈保費（2）季繳凈保費（3）月繳凈保費。例4.9（20）的人簽發(fā)保額為50000元的壽險保單，試?yán)脫Q算函數(shù)表在UDD假設(shè)下計算下列保單的月繳凈保費（1）普通年繳凈保費（2）季繳凈保費（3）。二比例保費在六討論的分期繳付的年繳保費中，被保人死亡收益金額不作調(diào)整，本節(jié)討論據(jù)被保人死亡時間與下次預(yù)定繳費時間間隔長短退還部分保費。在實際中按比例退還，不計利息。本節(jié)考慮利息，把年繳m次保費序列看作比例期初生存年金。以h年繳費n年定期兩全保險為例例4.10年齡50歲者購買保額為10000元的20年普通儲蓄壽險的比例保單，每年真實繳付保費兩次。在UDD假設(shè)下求年均衡凈保費增加多少？累計增額收益在保險實踐中，有些保單規(guī)定被保人死亡時退還已繳凈保費的累積，這種退還有兩種不同的規(guī)定：不計息退還過去的已繳凈保費的累積和以規(guī)定的利息退還過去的已繳凈保費的累積部分。例4.11(x)的n年定期壽險，若被保人在保險期內(nèi)死亡，除了賠付10000元外，還退還過去的已繳凈保費的累積