線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

§3-5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一、穩(wěn)定性的基本概念

二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件三、勞思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)（1877、1895）四、勞思穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況五、勞思穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用（1）穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件。

一、穩(wěn)定性的基本概念

（2）自動控制理論的基本任務(wù)(之一)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題；提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施。對系統(tǒng)進行各類品質(zhì)指標(biāo)的分析必須在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下進行。例穩(wěn)定的擺不穩(wěn)定的擺(a)穩(wěn)定(b)臨界穩(wěn)定(c)不穩(wěn)定穩(wěn)定性的定義控制系統(tǒng)在外部擾動消失后，由初始偏差狀態(tài)恢復(fù)到原平衡狀態(tài)的性能。注意：控制系統(tǒng)自身的固有特性，取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入無關(guān)。不論擾動引起的初始偏差有多大，當(dāng)擾動取消后，系統(tǒng)都能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)。(a)大范圍穩(wěn)定大范圍穩(wěn)定:(b)小范圍穩(wěn)定否則系統(tǒng)就是小范圍穩(wěn)定的。注意：對于線性系統(tǒng)，小范圍穩(wěn)定大范圍穩(wěn)定。(a)不穩(wěn)定臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。注意：經(jīng)典控制論中，臨界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定。運動穩(wěn)定性（線性系統(tǒng)）對于線性系統(tǒng)只有大范圍穩(wěn)定的問題對于線性系統(tǒng)而言，平衡狀態(tài)穩(wěn)定性和運動穩(wěn)定性是等價的線性系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其動態(tài)過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零，則稱系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。如動態(tài)過程隨時間的推移而發(fā)散，稱為不穩(wěn)定。系統(tǒng)方程在不受任何外界輸入的條件下，系統(tǒng)方程的解在時間趨于無窮時的漸進行為。線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

穩(wěn)定的條件：假設(shè)系統(tǒng)在初始條件為零時，受到單位脈沖信號δ(t)的作用，此時系統(tǒng)的輸出增量（偏差）為單位脈沖響應(yīng)，這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動作用下，輸出信號偏離平衡點的問題，顯然，當(dāng)t→∞時，若：即輸出增量收斂于原平衡點，則線性系統(tǒng)是（漸近）穩(wěn)定。二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件理想脈沖函數(shù)作用下

R(s)=1。對于穩(wěn)定系統(tǒng),t

時,輸出量

c(t)=0。由上式知：如果pi和i均為負值,

當(dāng)t時,c(t)0。自動控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)特征方程的根全部具有負實部，即:閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部在S平面左半部。注意：穩(wěn)定性與零點無關(guān)S平面系統(tǒng)特征方程例結(jié)果：共軛復(fù)根，具有負實部，系統(tǒng)穩(wěn)定。三、勞思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)（1877、1895）（1）該判據(jù)出現(xiàn)的歷史條件（2）勞思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)的歷史條件和現(xiàn)狀在十九世紀(jì)后葉，由于無法解析求解高階多項式的根由于計算工具所限，數(shù)值求解也較難把‘求根的具體值’問題放松為‘判斷根是否小于零’問題。理論上還有一定的地位在研究相對穩(wěn)定性和保證系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍發(fā)揮作用由于數(shù)值求根已經(jīng)非常方便，該判據(jù)在直接判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性上的作用幾乎消退。赫爾維茨(Hurwitz)判據(jù)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：當(dāng)a0>0時，各階赫爾維茨行列式1、2、…、n均大于零。一階系統(tǒng)二階系統(tǒng)a0>0時,a1>0(全部系數(shù)數(shù)同號)a0>0時,a1>0,a2>0(全部系數(shù)數(shù)同號)a0>0時a0>0時三階系統(tǒng)a0>0時,a1>0,a2>0,a3>0(全部系數(shù)同號)a0>0時a1a2>a0a3四階系統(tǒng)a0>0時,a1>0,a2>0,a3>0,a4>0

(全部系數(shù)數(shù)同號)a0>0時一階系統(tǒng)a1>0(全部系數(shù)數(shù)同號)a1>0,a2>0(全部系數(shù)數(shù)同號)a1>0,a2>0,a3>0(全部系數(shù)數(shù)同號)a1a2>a0a3a1>0,a2>0,a3>0,a4>0(全部系數(shù)數(shù)同號)歸納：a0>0時二階系統(tǒng)三階系統(tǒng)四階系統(tǒng)例a1>0,a2>0,a3>0,a4>0K值的穩(wěn)定范圍各項系數(shù)均為正數(shù)a0>0時,單位反饋系統(tǒng),已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下：判斷上述系統(tǒng)開環(huán)增益K的穩(wěn)定域，并說明開環(huán)積分環(huán)節(jié)數(shù)目對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。系統(tǒng)1的閉環(huán)特征方程為：系統(tǒng)3的閉環(huán)特征方程為：系統(tǒng)2的閉環(huán)特征方程為：K的穩(wěn)定域為：K的穩(wěn)定域為：結(jié)論：增加系統(tǒng)開環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目對系統(tǒng)穩(wěn)定性不利。由于特征方程缺項，不存在K的穩(wěn)定域。勞斯陣列性質(zhì)：第一列符號改變次數(shù)==系統(tǒng)特征方程含有正實部根的個數(shù)。特征方程：勞斯陣列：勞斯(routh)判據(jù)如果符號相同系統(tǒng)具有正實部特征根的個數(shù)等于零系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號不同符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)具有的正實部特征根的個數(shù)系統(tǒng)不穩(wěn)定?？刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：勞思陣列第一列元素不改變符號。“第一列中各數(shù)”注：通常a0>0，因此，勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以簡述為勞斯陣列表中第一列的各數(shù)均大于零。特殊情況1：某行的第一列出現(xiàn)0特殊情況2：某一行元素均為0四、勞思穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況特殊情況1：某行的第一列出現(xiàn)0特殊情況：第一列出現(xiàn)0。解決方法：用因子(s＋a)乘以原特征方程。系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個正實部根。特殊情況2：某一行元素均為0特殊情況：某一行元素均為0解決方法：全0行的上一行元素構(gòu)成輔助方程，求導(dǎo)后方程系數(shù)構(gòu)成一個輔助方程。各項系數(shù)均為正數(shù)求導(dǎo)得:例如，一個控制系統(tǒng)的特征方程為

列勞斯表顯然這個系統(tǒng)處于臨界(不)穩(wěn)定狀態(tài)。

勞斯陣列出現(xiàn)全零行:大小相等符號相反的實根共軛虛根對稱于實軸的兩對共軛復(fù)根系統(tǒng)在s平面有對稱分布的根五、勞思穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用2、實際系統(tǒng)希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。此法可以估計一個穩(wěn)定系統(tǒng)的各根中最靠近右側(cè)的根距離虛軸有多遠，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的“程度”。1、穩(wěn)定判據(jù)能回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根的具體數(shù)據(jù)。解決的辦法為變量的特征方程式，然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線右側(cè)。代入原方程式中，得到以

設(shè)用勞斯判據(jù)檢驗下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并檢驗有幾個根在垂線的右方。

例3-8解：列勞斯表

第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。令代入特征方程：式中有負號，顯然有根在的右方。列勞斯表第一列的系數(shù)符號變化了一次，表示原方程有一個根在垂直直線的右方。圖3-21單位反饋控制系統(tǒng)方塊圖時，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是什么？

已知一單位反饋控制系統(tǒng)如圖3-21所示，試回答

例3-9時，閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定？

排勞斯表

第一列均為正值，S全部位于左半平面，故

解：

系統(tǒng)穩(wěn)定特征方程為時，閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

閉環(huán)特征方程為

列勞斯表未完待續(xù)

利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)可確定系統(tǒng)一個或兩個可調(diào)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

欲使系統(tǒng)穩(wěn)定第一列的系數(shù)必須全為正值

§3-6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算

減小穩(wěn)態(tài)誤差是控制系統(tǒng)設(shè)計的主要目標(biāo)之一概述穩(wěn)態(tài)誤差是衡量系統(tǒng)控制準(zhǔn)確度的度量本書討論所謂原理性穩(wěn)態(tài)誤差，他取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，傳遞函數(shù)和輸入函數(shù)的形式。一、誤差與穩(wěn)態(tài)誤差1、

在系統(tǒng)輸入端定義的誤差：E(s)=R(s)-H(s)C(s)2、

在系統(tǒng)輸出端定義的誤差：該誤差物理存在，激勵G(s)的信號該誤差在系統(tǒng)中并不存在，而是人們對誤差的期望3、

誤差的組成：隨時間衰減為零的“自由誤差分量輸入引起的強迫分量，即穩(wěn)態(tài)誤差分量穩(wěn)態(tài)誤差如系統(tǒng)穩(wěn)定，且存在，那么下式成立系統(tǒng)穩(wěn)定是前提，穩(wěn)態(tài)誤差和系統(tǒng)本身性質(zhì)、輸入信號有關(guān)即穩(wěn)態(tài)誤差是有限值，或無窮分量例3-11

二、系統(tǒng)類型式中，K為開環(huán)增益；τi和Tj為時間常數(shù)；當(dāng)輸入信號形式一定時，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差就取決于開環(huán)傳遞函數(shù)所描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。開環(huán)傳遞函數(shù)ν為開環(huán)系統(tǒng)在s平面坐標(biāo)原點上的極點重數(shù)。ν=0，稱為0型系統(tǒng)；ν=1，稱為Ⅰ型系統(tǒng)；ν=2，稱為Ⅱ型系統(tǒng)……。優(yōu)點：可以根據(jù)已知的輸入信號形式，迅速判斷系統(tǒng)是否存在原理性穩(wěn)態(tài)誤差及其大小。

令由于s→0時，G0(s)H0(s)→1因此，有則表明影響穩(wěn)態(tài)誤差的諸因素是：系統(tǒng)型別、開環(huán)增益、輸入信號的形式和幅值。三、階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)位置誤差系數(shù)習(xí)慣上常把系統(tǒng)在階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差稱為靜差。0型系統(tǒng)稱為有（靜）差系統(tǒng)或令階無差度系統(tǒng)，Ⅰ型系統(tǒng)稱為一階無差度系統(tǒng)，Ⅱ型系統(tǒng)稱為二階無差度系統(tǒng)，…四、斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)速度誤差系數(shù)（圖3-32Ⅰ型單位反饋系統(tǒng)的速度誤差）

穩(wěn)態(tài)誤差：表明：0型系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時不能跟蹤斜坡輸入；Ⅰ型單位反饋系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)輸出速度恰好與輸入速度相同，但存在一個穩(wěn)態(tài)位置誤差；Ⅱ型及Ⅱ型以上的系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)時能準(zhǔn)確跟蹤斜坡輸入信號，不存在位置誤差。五、

加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)加速度誤差系數(shù)圖3-33Ⅱ型單位反饋系統(tǒng)（的加速度誤差）表明：0型及Ⅰ型單位反饋系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時都不能跟蹤加速度輸入；Ⅱ型單位反饋系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)輸出的加速度與輸入加速度函數(shù)相同，但存在一定的穩(wěn)態(tài)位置誤差；Ⅲ型及Ⅲ型以上的系統(tǒng)，只要系統(tǒng)穩(wěn)定，其穩(wěn)態(tài)輸出能準(zhǔn)確跟蹤加速度輸入信號，不存在位置誤差。說明：（1）靜態(tài)誤差系數(shù)僅僅是對于單位反饋控制系統(tǒng)而言。（2）如果系統(tǒng)承受的輸入信號是多種典型函數(shù)的組合，可用疊加原理。

例3-13

r(t)=1(t),t,t2/2時，

ess=0,1,∞

六、

動態(tài)誤差系數(shù)（廣義誤差系數(shù)）將誤差傳遞函數(shù)Φe(s)在s=0的鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)，得于是誤差信號可以表示為該誤差級數(shù)收斂于s=0的鄰域，相當(dāng)于在時間域內(nèi)t→∞時成立。取拉氏反變換，得：說明：（1）習(xí)慣上稱C0為動態(tài)位置誤差系數(shù)，稱C1為動態(tài)速度誤差系數(shù)，稱C2為動態(tài)加速度誤差系數(shù)。（2）“動態(tài)”的含義是指這種方法可以完整地描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差ess(t)隨時間變化的規(guī)律，而不是指誤差信號中的瞬態(tài)分量ets(t)隨時間變化的情況。（3）公式中的輸入信號及其各階導(dǎo)數(shù)中不包含r(t)中隨時間增長而趨近于零的分量。

確定動態(tài)誤差系數(shù)的簡便方法——長除法（見例3-14）在特定系統(tǒng)中動態(tài)誤差系數(shù)與靜態(tài)誤差系數(shù)之間的關(guān)系：

0型系統(tǒng)：C0=1/（1+Kp）

Ⅰ型系統(tǒng)：C1=1/Kv

Ⅱ型系統(tǒng)：C2=1/Ka七、擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差（1）對擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差的要求理想情況下，希望擾動對系統(tǒng)輸出不產(chǎn)生影響根據(jù)疊加定理，以下推導(dǎo)在輸入為零的假設(shè)下進行（2）擾動作用下，穩(wěn)態(tài)誤差的表述把擾動作用下的理想輸出定義為零，于是輸出端誤差為根據(jù)疊加定理，以下推導(dǎo)在輸入為零的假設(shè)下進行（3）擾動作用下，穩(wěn)態(tài)誤差的求解3.6.3擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差負載力矩的變化、放大器的零點漂移、電網(wǎng)電壓波動和環(huán)境溫度的變化等，這些都會引起穩(wěn)態(tài)誤差。擾動不可避免它的大小反映了系統(tǒng)抗干擾能力的強弱。

擾動穩(wěn)態(tài)誤差控制對象

控制器下面分析擾動對輸出的影響輸出對擾動的傳遞函數(shù)

(3-71)

由擾動產(chǎn)生的輸出

(3-72)

圖3-23控制系統(tǒng)系統(tǒng)的理想輸出為零

擾動產(chǎn)生的輸出端誤差信號

(3-73)

(3-74)

終值定理

若令圖3-23中的

(3-75)

開環(huán)傳遞函數(shù)為

(3-76)

(3-77)

下面討論時系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差。0型系統(tǒng)1當(dāng)擾動為一階躍信號，即

(3-78)

I型系統(tǒng)2

對參考輸入，都是I型系統(tǒng)，產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差也完全相同

抗擾動的能力是完全不同

階躍信號

A斜坡信號

階躍信號

斜坡信號B擾動穩(wěn)態(tài)誤差只與作用點前的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。如中的時，相應(yīng)系統(tǒng)的階躍擾動穩(wěn)態(tài)誤差為零；斜坡穩(wěn)態(tài)誤差只與中的增益成反比。至于擾動作用點后的，其增益的大小和是否有積分環(huán)節(jié)，它們均對減小或消除擾動引起的結(jié)論穩(wěn)態(tài)誤差沒有什么作用。

3II型系統(tǒng)

三種可能的組合

結(jié)論第一種組合的系統(tǒng)具有II型系統(tǒng)的功能，即對于階躍和斜坡擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差均為零

第二種組合的系統(tǒng)具有I型系統(tǒng)的功能，即由階躍擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差為零，斜坡產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差為。

系統(tǒng)的第三種組合具有0型系統(tǒng)的功能，其階躍擾動產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差為，斜坡擾動引起的誤差為。

3.6.4減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施

提高系統(tǒng)的開環(huán)增益和增加系統(tǒng)的類型是減小和消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的有效方法順饋控制作用，能實現(xiàn)既減小系統(tǒng)的穩(wěn)定誤差，又能保證系統(tǒng)穩(wěn)定性不變的目的其他條件不變時影響系統(tǒng)的動態(tài)性能

穩(wěn)定性對擾動進行補償？？圖3-27與圖3-26對應(yīng)的信號流圖梅遜公式

分析

引入前饋后，系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項式?jīng)]有發(fā)生任何變化，即不會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性

由于分母的s階次一般比分子的s階次高，故式(3-80)的條件在工程實踐中只能近似地得到滿足。

為了補償擾動對系統(tǒng)輸出的影響

(3-79)

(3-80)

對擾動進行全補償?shù)臈l件

2.按輸入進行補償圖3-28按輸入補償?shù)膹?fù)合控制系統(tǒng)？？

(3-81)

(3-82)

輸入信號的誤差全補償條件

(3-83)

(3-85)

(3-84)

系統(tǒng)的輸出量在任何時刻都可以完全無誤差地復(fù)現(xiàn)輸入量，具有理想的時間響應(yīng)特性

前饋補償裝置系統(tǒng)中增加了一個輸入信號

完全消除誤差的物理意義

其產(chǎn)生的誤差信號與原輸入信號產(chǎn)生的誤差信號相比，大小相等而方向相反

由于的頻段內(nèi)實現(xiàn)近似全補償，以使的形式簡單并易于實現(xiàn)。一般具有比較復(fù)雜的形式，故全補償條件(3-84)的物理實現(xiàn)相當(dāng)困難。在工程實踐中，大多采用滿足跟蹤精度要求的部分補償條件，或者在對系統(tǒng)性能起主要影響小結(jié)時域分析是通過直接