2019年育才高中選修12數(shù)學(xué)應(yīng)用練習(xí)題222反證法練習(xí)

2．2.2反證法1．認(rèn)識(shí)間接證明的一種基本方法——反證法，認(rèn)識(shí)反證法的思慮過程、特點(diǎn)．2．掌握反證法證題的步驟以及哪些種類的題目宜用反證法證明．基礎(chǔ)梳理反證法的定義：一般地，假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，所以說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證了然原命題成立，這樣的證明方法稱為反證法．基礎(chǔ)自測(cè)1．命題“關(guān)于x的方程ax＝b(a≠0)有獨(dú)一解”的結(jié)論的否定是(D)A．無解B．兩解C．最少兩解D．無解或最少兩解分析：易知此命題結(jié)論的否定是：無解或最少兩解．應(yīng)選D.2．已知α∩β＝l，a?α，b?β，若a，b為異面直線，則(B)A．a(chǎn)，b都與l訂交B．a(chǎn)，b最少有一條與l訂交C．a(chǎn)，b至多有一條與l訂交D．a(chǎn)，b都與l不訂交分析：若a，b都與l不訂交，則a∥l，b∥l，∴a∥b，這與a，b為異面直線矛盾．∴a，b最少有一條與l訂交．應(yīng)選B.3．用反證法證明“已知a3＋b3＝2，求證a＋b≤2”時(shí)的反設(shè)為______，得出的矛盾為______．分析：假設(shè)a＋b＞2，則a＞2－b，∴a3＞(2－b)3＝8－12b＋6b2－b3，又a3b3＝2，∴6b2－12b＋6＜0，即6(b－1)2＜0，由此得出矛盾．答案：a＋b＞26(b－1)2＜04．“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定應(yīng)是________________________________________________________________________．分析：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定應(yīng)是a，b，c中都是奇數(shù)或最少有兩個(gè)偶數(shù)．答案：a，b，c中都是奇數(shù)或最少有兩個(gè)偶數(shù)(一)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的一般步驟反設(shè)——即先弄清命題的條件和結(jié)論，而后假設(shè)命題的結(jié)論不成立；歸謬——從反設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；斷言——由矛盾得出反設(shè)不成立，從而判定原命題的結(jié)論成立．（二）反證法得出的矛盾反證法的要點(diǎn)是在正確的推理下得出矛盾，這些矛盾常常表現(xiàn)為以下幾個(gè)方面：1與已知條件矛盾；與假設(shè)矛盾；與數(shù)學(xué)公義、定理、公式或已被證了然的結(jié)論矛盾；與簡(jiǎn)單的、明顯的事實(shí)矛盾．（三）注意事項(xiàng)一定先否定結(jié)論，即一定結(jié)論的反面，同時(shí)注意反設(shè)的正確性，特別當(dāng)出現(xiàn)兩種以上狀況時(shí)應(yīng)特別認(rèn)真，一定排列出各種狀況，缺乏任何一種可能，反證法都是不完整的．一定從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即把結(jié)論的反面作為條件，而且一定依照這一條件進(jìn)行推證，不然，只否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法．反證法常用于直接證明比較困難的命題，比方某些初始命題(包含部分基本定理)、必然性命題、存在性問題、獨(dú)一性問題、否定性問題、帶有“至多有一個(gè)”或“最少有一個(gè)”等字眼的問題．使用反證法證明問題時(shí)，正確地做出反設(shè)是正確運(yùn)用反證法的前提，常有“反設(shè)詞”以下：原?x?x最少至多最少至多p或p＝＞＜不行且詞成立一個(gè)一個(gè)n個(gè)n個(gè)q立q反?x0?x0一個(gè)最少至多最少綈p且綈p或設(shè)≠≤≥不行都n－1n＋1成立兩個(gè)綈q綈q)詞立沒有個(gè)個(gè)1．反證法屬邏輯方法范圍，它的慎重表此刻它的原理上，即“否定之否定等于一定”，此中：第一個(gè)否定是指“否定結(jié)論(假設(shè))”，第二個(gè)否定是指“邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè)”．反證法屬“間接解題方法”，書寫格式易錯(cuò)之處是“假設(shè)”易錯(cuò)寫成“設(shè)”．2．適適用反證法證明的命題：(1)否定性命題；(2)獨(dú)一性命題；(3)至多、最少型命題；(4)明顯成立的問題；(5)直接證明有困難的命題．3．使用反證法證明問題時(shí)，正確地作出反設(shè)(即否定結(jié)論)是正確運(yùn)用反證法的前提，常有的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”列表以下：2常有的矛盾主要有：(1)與假設(shè)矛盾；(2)與公認(rèn)的事實(shí)矛盾；(3)與數(shù)學(xué)公義、定理、公式、定義或已被證了然的結(jié)論矛盾．1．應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中要把以下哪些作為條件使用(C)①結(jié)論相反的判斷，即假設(shè)；②原命題的條件；③公義、定理、定義等；④原結(jié)論A．①②B．①②④C．①②③D．②③2．用反證法證明命題“一個(gè)三角形不可以有兩個(gè)直角”的過程歸納為以下三個(gè)步驟：A＋∠B＋∠C＝°＋°＋∠C＞°，這與三角形內(nèi)角和為°①∠9090180180矛盾，所以∠A＝∠B＝°不成立；②所以一個(gè)三角形中不可以有兩個(gè)直角；③假90設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)直角，不如設(shè)∠A＝∠B＝90°.此中序次正確的選項(xiàng)是(C)A．①②③B．①③②C．③①②D．③②①分析：依據(jù)反證法的步驟，簡(jiǎn)單知道選C.3．在用反證法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，假如原命題的否定項(xiàng)不只一個(gè)時(shí)，一定將結(jié)論的否定狀況逐個(gè)辯駁，才能一定原命題的結(jié)論是正確的．比方：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB＞∠APC，求證：∠BAP＜∠CAP.用反證法證明時(shí)應(yīng)分：假設(shè)________和________兩類．分析：由于小于的否定是不小于，所以應(yīng)填∠BAP＝∠CAP和BAP＞∠CAP.答案：∠BAP＝∠CAPBAP＞∠CAP．求證：假如ab，那么nanbn∈，且n．4>>0>(N>1)nnnnb，或nn證明：假設(shè)a不大于b，則a＝a＜bn當(dāng)a＝b時(shí)，則有a＝b.這與a＞b＞0相矛盾．3n當(dāng)a＜b時(shí)，則有a＜b，這也與a＞b相矛盾．n所以a＞b.1．“實(shí)數(shù)a，b，c不全為0”的意思為(D)A．a(chǎn)，b，c均不為0B．a(chǎn)，b，c中至多有一個(gè)為0C．a(chǎn)，b，c中最少有一個(gè)為0D．a(chǎn)，b，c中最少有一個(gè)不為02．以下命題中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是(D)A．三角形中最少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°B．四周體的三組對(duì)棱都是異面直線C．區(qū)間(a，b)上單調(diào)函數(shù)f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)D．設(shè)a，b∈Z，若a＋b是奇數(shù)，則a，b中為奇數(shù)的一個(gè)也沒有3．用反證法證明命題“假如a＞b，則3a＞3b”時(shí)，假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是(D)A.3a3b3a＜3b＝B.C.3333bD.3333a＝b且a＜a＝b或a＜b分析：簡(jiǎn)單知道，“3333b或33a＞b”的否定是“a＜a＝b”，所以選D.4．假如兩個(gè)實(shí)數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)(A)A．最少有一個(gè)是正數(shù)B．兩個(gè)都是正數(shù)C．一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù)D．兩個(gè)都是負(fù)數(shù)分析：假設(shè)兩個(gè)都是負(fù)數(shù)，其和必為負(fù)數(shù)，矛盾，所以選A.1115．a(chǎn)＞0，b＞0，c＞0，則三個(gè)數(shù)a＋b，b＋c，c＋a(D)A．都大于2B．都小于2C．最少有一個(gè)數(shù)不大于2D．最少有一個(gè)數(shù)不小于21111＋b＋1＋c＋1≥＋＋＝若三個(gè)數(shù)分析：6.bcaabc222111D.2bca6x2y2a＞b＞的離心率為1Fc，，方程ax6．設(shè)橢圓a＋b＝1(0)2，x2(0)2＋bx－c＝0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)Px1()(C)422A．必在圓x＋y＝2上22B．必在圓x＋y＝2外22C．必在圓x＋y＝2內(nèi)D．以上三種情況都有可能1分析：∵e＝a＝2，∴a＝2c.∴b2＝a2－c2＝3c2.假設(shè)點(diǎn)P(x1，x2)不在圓x2＋y2＝2內(nèi)，22222b2則x1＋x2≥2，但x1＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝－a＋盾．∴假設(shè)不成立．

2c3c22c7＝4c2＋2c＝4＜2，矛∴點(diǎn)P必在圓x2＋y2＝2內(nèi)．應(yīng)選C.7．命題“在△ABC中，A＞B則a＞b”，用反證法證明是，假設(shè)是________．分析：命題的結(jié)論是a＞b，假設(shè)應(yīng)是“a≤b”．答案：a≤b8．用反證法證明命題：“a，b∈N，ab可以被5整除，那么a，b中最少有一個(gè)能被5整除．”那么假設(shè)的內(nèi)容是____________________．分析：“最少有n個(gè)”的否定是“最多有n－1個(gè)”．答案：a，b中沒有一個(gè)能被5整除9．命題“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，則a＝b＝1”用反證法證明時(shí)應(yīng)假設(shè)為________．答案：a≠1，或b≠110．若以下方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0最少有一個(gè)方程實(shí)根，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍．分析：設(shè)三個(gè)方程均無實(shí)根，則有16a2－4（－4a＋3）＜0，＝（a－1）2－4a2＜0，4a2－4（－2a）＜0，1－2＜a＜2，解得a＜－1，或a＞1，3－2＜a＜0，3所以－2＜a＜－1.3所以當(dāng)a≥－1，或a≤－2時(shí)，三個(gè)方程最少有一個(gè)方程有實(shí)根．11．假如非零實(shí)數(shù)a，b，c兩兩不相等，且2b＝a＋c，211證明：b＝a＋c不成立．52112a＋c2b證明：假設(shè)b＝a＋c成立，則b＝ac＋ac，∴b2＝ac.b＝a＋c＋2＝ac，即a2＋c2＝ac，又∵222即(a－c)2＝0.∴a＝c，這與a，b，c兩兩不相等矛盾．211∴b＝a＋c不成立．xx－212．已知f(x)＝a＋x＋1(a＞1)，證明方程f(x)＝0沒有負(fù)數(shù)根．證明：假設(shè)x0是f(x)＝0的負(fù)數(shù)根，則x0＜0且x0≠－1且axo＝－x0－2，x0－2x0＋1∴＜axo＜＜－1x0＜，這與x0＜0矛盾，故方程fx)01?0x0＋1＜1，解得2＜2(＝0沒有負(fù)數(shù)根．?品嘗高考1．(2014·山東卷)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0最少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是(A)A．方程B．方程C．方程D．方程

x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根3x＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根3x＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根3x＋ax＋b＝0恰有兩個(gè)實(shí)根分析：由于“方程x3＋ax＋b＝0最少有一個(gè)實(shí)根”等價(jià)于“方程x3＋ax＋b0的實(shí)根大于或等于1”，所以要做的假設(shè)是“方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根”．2．以以下圖，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn)．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的長(zhǎng)；用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．分析：(1)如圖，取CD的中點(diǎn)G，連接MG，NG，∵ABCD，DCEF為正方形，且邊長(zhǎng)為2，∴MG⊥CD，MG＝2，